理工类专业课复习资料-《常微分方程》知识点整理

-1-《常微分方程》复习资料解法：(1)分离变量，当Q(y)士0时，将(1.1)写成=f(x)dx，这样变量就“分离”了；(2)两边积分得j=jf(x)dx+c(1.2)，由(1.2)所确定的函数y=Q(x,c)就为(1.1)的解．注：若存在y0，使Q(y0)=0，则y=y0也是(1.1)的解，可能它不包含在方程(1.2)的通解中，必须予以补上．dxxdygygudxxxdxxdxdx解法：(1)作变量代换(引入新变量)u=y，方程化为du=g(u)u，(这里由于dy=xduxdxxdxdx(2)解以上的分离变量方程；(3)变量还原．3．(一阶线性微分方程与常数变异法)一阶线性微分方程a(x)+b(x)y+c(x)=0在a(x)士0的区间上可写成=P(x)y+Q(x)(3.1)，这里假设P(x),Q(x)在考虑的区间上是x的连续函数．若Q(x)=0，则(3.1)变为=P(x)y(3.2)，(3.2)称为一阶齐次线性方程．若Q(x)士0，则(3.1)称为一阶非齐次线性方程．解法：(1)解对应的齐次方程=P(x)y，得对应齐次方程解y=cejp(x)dx，c为任意常数；(2)常数变异法求解(将常数c变为x的待定函数c(x)，使它为(3.1)的解)：令y=c(x)ejp(x)dx为(3.1)的(3)故(3.1)的通解为y=ejp(x)dx(jQ(x)ejp(x)dxdx+)．4．(伯努利方程)形如=P(x)y+Q(x)yn的方程，称为伯努利方程，这里P(x),Q(x)为x的连续函数．(2)求以上线性方程的通解；(3)变量还原．5．(可解出y的方程)形如y=f(x,)(5.1)的方程，这里假设f(x,y,)有连续的偏导数．解法：(1)引进参数p=，则方程(5.1)变为y=f(x,p)(5.2)；(2)将(5.2)两边对x求导，并以=p代入，得p=+(5.3)，这是关于变量x,p的一阶微分方(3)(i)若求得(5.3)的通解形式为p=Q(x,c)，将它代入(5.2)，即得原方程(5.1)的通解y=f(x,Q(x,c))，-2-(ii)若求得(5.3)的通解形式为x=v(p,c)，则得(5.1)的参数形式的通解为〈，其中6．(可解出x的方程)形如x=f(y,)(6.1)的方程，这里假设f(y,y,)有连续的偏导数．解法：(1)引进参数p=，则方程(6.1)变为x=f(y,p)(6.2)；(2)将(6.2)两边对y求导，并以dy=p代入，得p=(2)将(6.2)两边对y求导，并以dy=p代入，得p=?y+?p?y(6.3)，这是关于变量y,p的一阶微分方(x=f(y,p)(3)若求得(6.3)的通解形式为C(y,p,c)=0，则得(6.1)的参数形式的通解为〈lC(y,p,c)=0，其中p是7．(不显含y的方程)形如F(x,)=0的方程，这里假设F(x,y,)有连续的偏导数． (3)把x=Q(t)，p=v(t)代入dy=pdx，并两边积分得y=jv(t)Q,(t)dt+c；(|x=Q(t) (4)通解为〈|ly=jv(t)Q,(t)dt+c．8．(不显含x的方程)形如F(y,)=0的方程，这里假设F(y,y,)有连续的偏导数．c9．(F(x,y(k),…,y(n-1),yn)=0(k>1)型可降阶高阶方程)特点：不显含未知函数y及y,,…,y(k-1)．-3-将y(k)z(x)连续积分k次，可得通解．10．(y(n)f(y,y(k),…,y(n1))型可降阶高阶方程)特点：右端不显含自变量x．解法：设yp(y)，则y.P,yP2P()2,…，代入原方程得到新函数P(y)的(n1)阶dx13．(存在唯一性定理)考虑初值问题f(x,y)(13.1)，其中f(x,y)在矩形区域R:xx0a,yy0b上连y(x0)y0M(x,y)R则初值问题(13.1)在区间xx0h上的解存在且唯一，这里hmin(a,b),MMaxf(x,y)M(x,y)Rndxx0xx0h，n1,2,…．14．(包络的求法)曲线族(x,y,c)0(14.1)的包络包含在下列两方程消去参数c而得到的曲线F(x,y)0之中．曲线F(x,y)0称为(14.1)的c判别曲线．线(x,y)0之中，此曲线称为(15.1)的p判别曲线，这里F(x,y,p)0是x,y,p的连续可微函数．16．(克莱罗方程)形如yxdyfdy(16.1)的方程，称为克莱罗方程，这里f(p)0．-4-如果x+f,(p)=0，它与等式y=xp+f(p)联立，则得到方程(16.1)的以p为参数的解：〈或p由这n个向量函数所构成的行列式W[x1(t),x2(t),…x由这n个向量函数所构成的行列式W[x1(t),x2(t),…xn(t)全W(t)=x21(t)x22(t)…x2n(t)称为这n个向量函数xn1(t)xn