非对称进化博弈

两人非对称博弈的复制动态和进化稳定性人是完全理性的还是有限理性的？经济学通常假设人们有完全理性，有始终追求最大利益的完美意识、分析推理和准确行为能力。现实是这样的吗？这种假设的现实性是有问题的。事实上人们只是在分析处理简单问题时接近完全理性要求，在分析处理复杂问题时理性的局限性很明显。不能满足完全理性要求的就是有限理性的。以有限理性为基础的博弈称为有限理性博弈。有限理性的博弈方往往不会一开始就找到最优策略，均衡通常是调整改进的结果，而且即使达到也可能再偏离。有限理性博弈是怎样形成的？有限理性博弈的有效分析框架是借鉴生物进化博弈理论发展起来的进化博弈论,也称为“经济学中的进化博弈论”。生物进化博弈理论是以达尔文的自然选择思想为基础的生物学理论，研究生物种群通过变异和增殖的共同作用，拥有增殖成功率较高形状的个体在种群中比例的变化、稳定及其对生物进化的影响。有限理性博弈方的学习和策略调整与生物进化博弈研究的生物特征动态变化很相似，而有限理性博弈的均衡稳定性则与生物进化博弈中描述性状特征频数、比例稳定性的“进化稳定策略”概念相似，因此借鉴生物进化博弈的分析方法讨论有限理性博弈是最有效的分析框架。有限理性博弈的核心不是博弈方的最优策略选择,而是群体成员采用特定策略比例的变化趋势和稳定性。进化博弈论与传统完全理性博弈理论的联系一方面进化博弈论是以传统的完全理性博弈论为基础的，进化博弈论研究的许多博弈问题和模型都是完全理性博弈的经典模型，而且在进化博弈分析中仍需要用完全理性博弈分析方法分析博弈方的策略和得益。另一方面进化博弈论中的两人非对称博弈的进化博弈分析对应的是两个(或多个)有差别的有限理性博弈方群体成员之间的随机配对博弈。一、一般两人非对称博弈的复制动态和进化稳定策略。博弈方2博弈方a,ab也c,c《，d2122写出复制动态方程。博弈方a,ab也c,c《，d21221＞博弈方1的复制动态方程^^全F(x,y)=x(tt)(u—u)dtxiiiii

电(')全F(x,y)=x(t)(u-u)TOC\o"1-5"\h\zdtx22121其中一一(abVv、米用a的人的期望得益u=(1,0)iiVi11…人u＜采用a的人的期望得益u=(0,1)fa112l"身(ab\(x\博弈方1群体的平均得益u=(x,x)11v1[112/d1人v2)2＞博弈方2的复制动态方程dv(t^-F(x,y)=v(t)(u—u)dtv11212dV2(t^-F(x,y)=v(t)(u—u)dtv22222其中采用。的人的期望得益1I采用。的人的期望得益1I采用。的人的期望得益2u=(x,x)u=(x,x)2212fa2clc2fa2clc2b2d2八0Jb2博弈方2群体的平均得益u=(x,x)fa2b2TV1'212lC2d2人V2J进化策略稳定性分析以博弈方1的复制动态方程为例，令「(x,y)=0，求得稳定状态x*，通过“稳定性定理”(在稳定状态处f'(xy)必须小于0,也就是说，当干扰使得x出现高于x*时，F(x,y)必须大于0，当干扰使得x出现低于x*时，F(x,y)必须小于0)x1x1判断x*是否为ESS。F(x)xNotESS二、例子F(x)xNotESS博弈方2v1-v打击不打0,02,21,51,5博x进入弈方1-x不进入

解：首先分析博弈方1。1>博弈方1的复制动态方程—(-^=F(x,y)=x(t)(u一u)=x(t)11-x(t)]1-2y(t)]dt*111采用进入的人的期望得益匕=(1,0)=2-2y采用不进入的人的期望得益u=(0,1)12博弈方1群体的平均得益U1=(x采用进入的人的期望得益匕=(1,0)=2-2y采用不进入的人的期望得益u=(0,1)12博弈方1群体的平均得益U1=(x,1-x)(02、fy1口1/h-yJ=2x(1—y)+(1-x)(011(011111yyI1"12＞博弈方1的进化策略稳定性分析。1)当y=时，F(x,y)l_=x(t)H-x(t)]1-2y(t)]l_=x(t)Q-x(t)](1-1)三0，即所有2xy=1y=122x水平都是稳定状态。F(x,y)xx2)当y>2时，令F(x,y)=x(t)11-x(t)]1-2y(t)]=0，得x*=0和x*=1两个稳定状态，又因为F'(x,y)=11-2x(t)]1-2y(t)]，故F'(0,y)=11-2y(t)]<0，F'(1,y)=-11-2y(t)]>0，xxx所以x*=0是ESS。F(x,y)3)当y＜2时，令[3,力=0，得3)当y＜2时，令[3,力=0，得X*=0和X*=1两个稳定状态，同2)可得X*=1对博弈方2进行进化博弈分析。1＞博弈方2的复制动态方程…J0U21=(X,1-X)5,、(ou22=(x，1-x)]51)=5-5x0)"')全F(x,…J0U21=(X,1-X)5,、(ou22=(x，1-x)]51)=5-5x0)甘占一,其中」采用不进入的人的期望得益-<02Vy)博弈方1群体的平均得益U2=(x,1-x)551=y(1-y)(-2x)2＞博弈方2的进化策略稳定性分析。1)当X=0时，Fy(x,y)lx=°=y(t)h-y(t)](-2X0)三0，即所有y水平都是稳定状态。F(X,y)>y2)当x丰0时，必然有X>0，令Fy(x,y)=y(t)h-y(t)][-2x(t)]=0，得到y*=0和y*=1两个稳定状态，又因为F‘(x,y)=h—y(t)]|-2x(t)]-y(t)[-2x(t)]=h—2y(t)]|-2x(t)]，故F'(x,0)=[1-2x0][-2x(t)]<0，F'(x,1)=[1-2x1][-2x(t)]=2x(t)>0，所以y*=0是ESS。F(x,y)3、结合对两博弈方的进化策略稳定性分析，以]和y为坐标的坐标平面如下XX由上图可以看出，博弈的进化稳定策略只有X*=1和y*=0一点，其他点都不是复制动态中收敛和具有抗扰动的稳定状态。这意味着有限理性的博弈方通过长期反复博弈，学习和调整策略的结果是，潜在的进入者最终都会进入市场竞争，而先占领市场的阻入一方则会放弃采取不理智的报复措施。这与完全理性条件下博弈的淄博一完美纳什均衡完全一致，说明在这个问题上有限理性的博弈方通过学习是能够掌握淄博一完美纳什均衡策略的。(二)非对称鹰鸽博弈的进化博弈分析。博弈方1-X1博弈方1-X1-1，-510,0博弈方2y1-y鹰鸽鹰(抗击)鸽(不抗击)(入侵)(不入侵)1、对博弈方1的进化博弈进行分析。1＞博弈方1的复制动态方程。W)全F(x,y)=x(t)(u—u)=x(t)\1-x(t)](5-6y(t)]dtxiii其中J采用鹰(抗击)的人的期望得益u=(1,0)11采用鹰(不抗击)的人的期望得益七2=(0,1)(-1〔0博弈方1群体的平均得益U1=(x其中J采用鹰(抗击)的人的期望得益u=(1,0)11采用鹰(不抗击)的人的期望得益七2=(0,1)(-1〔0博弈方1群体的平均得益U1=(x,1-x)f-110]fy'〔05J7h-yJf-110、fy、k0nh-yJ=10-11y=5-5yI；y]2＞博弈方1的进化策略稳定性分析。1)当y=5时，F(x,y)l_=x(t)H-x(t)][5—6y(t)]l.6xy=2y=x水平都是稳定状态。=x(t)\1-x(t)](5-5)三0,即所有F(x,y)x2)当y>5时，令Fgx,y)=x(t)11一x(t)][5一6y(t)]=0，得x*=0和x*=1两个稳定状态，又因F'(x,y)=11一2x(t)][5一6y(t)](0,y)=11-0〕k-6y(t)]<0F'(1,y)=-[5一6y(t)]>0所以x*=0是ESS。F(x,y)同2)可得x*=1是同2)可得x*=1是ESS。采用进入的人的期望得益u=(x,1-x)采用不进入的人的期望得益u=(x,1-x)博弈方1群体的平均得益U2=(采用进入的人的期望得益u=(x,1-x)采用不进入的人的期望得益u=(x,1-x)博弈方1群体的平均得益U2=(x,1-x)<-5k2<-5I2<-5I20)1人0J0Y0)1=2-7x1＞博弈方2的复制动态方程dy(t)全F(x,y)=y(t)(u-u)=y(t)11-y(t)]1-6x(t)]dty212F(F(x,y)AF'(x,0)<02>博弈方2的进化策略稳定性分析。1)当x=6时，F(x,y)|=y(t)11-y(t)]1-6x(t)][=y(t)11-y(t)]1-1]三0，即所有y水平都是稳定状态。Fy(x,y)>y2)当x>6，令F(x,y)=y(t)11-y(t)]1-6x(t)]=0，得到y*=0和y*=1两个稳定状态，又因为Fy(x,y)=11-2y(t)]1-6x(t)]，故F'(x,0)=Q-0]1-6x(t)]<0，F'(x,1)=11-2]1-6x(t)]>0，所以y*=0是ESS。y*=03)当x<6，令F(x,y)=y(汕-y⑴]1-6x(,)]=0，得到y*=0和y*=1两个稳定状态,又因为f'(x,y)=11-2y(t)]1-6x(t)]，故F'(x,0)=11-0]1-6x(t)]>0，

曾1）="皿6"0，所以卜1是ESS。3、结合对两博弈方的进化策略稳定性分析，以］和y为坐标的坐标平面如下由图中箭头方向可以看出，在非对称鹰鸽博弈中，X*=1、y*=0和X*=0、y*=1是这个博弈的进化稳定策略。在这个博弈的复制动态进化博弈中，当初始情况落在A区域时会收敛到进化稳定策略x*=0、y*=1，即博弈方1位置群体都采用鸽（不抗击）策略，博弈方2位置群体都采用鹰（入侵）策略；当初始情况落在D区域时会收敛到进化稳定策略x*=1、y*=0，即博弈方1位置群体都采用鹰（入侵）策略，博弈方2位置群体都采用鸽（不入侵）策略；当初始情况落在B和C两个区域时，大部分可能性也是最终收敛到进化稳定策略x*=1、y*