《误差理论与测量平差基础教学》第五讲

第二章误差理论与最小二乘原理ErrorTheoryandTheLeastSquaresPrinciple编辑ppt

第四讲参数估计与最小二乘原理（复习）思考题

1、衡量估计量性质的标准有哪些，它们分别有什么含义？

无偏性：估值的数学期望等于真值。有效性：方差最小的无偏估值。一致性：随着观测值个数的增大估值以概率收敛于真值。编辑ppt思考题

第四讲参数估计与最小二乘原理（复习）编辑ppt3、什么情况下最小二乘估计与最大或然估计是一致的。当观测值服从正态分布时。似然函数：

第四讲参数估计与最小二乘原理（复习）编辑ppt

第四讲参数估计与最小二乘原理（复习）4、协方差阵与权阵之间的关系。权矩阵是与协方差矩阵的逆矩阵成比例的矩阵。编辑ppt

第四讲参数估计与最小二乘原理（复习）（1）形式上的不同……。（2）都是均方差的估计值。（3）真误差难得，残差易得，第二个公式应用面更广。（4）后一式称Bessel公式编辑ppt

第五讲方差及协方差矩阵的传播PropagationofVariance-CovarianceMatrix1、RaiseAQuestion

2、VarianceandStandardErrorofFunctions

ofRandomvariable3、PropagationofThevector’sVariance-CovarianceMatrix4、RelationofCovarianceMatrixBetweenVectors编辑pptNo.5PropagationofVariance-CovarianceMatrix补充知识

1协方差（covariance）(协方差的估值，仍然叫协方差)估值：协方差是两种真误差所以可能取值乘积的理论平均值协方差本身可以小于零编辑ppt补充知识

2.向量的协方差矩阵（covariancematrix）编辑ppt补充知识

3.向量间的协方差矩阵（covariancematrix）设：编辑ppt补充知识

4.向量的微分设：令：编辑ppt补充知识

4.向量的微分JacobianMatrix：isalsosometimescalledCoefficientMatrix(since,inthecaseofalinearmathematicalmodel,thepartialderivativesarejustthecoefficientoftheObs.)编辑ppt补充知识

5.观测值真误差与其函数真误差的关系设：其中：是常数，是观测值（随机变量），编辑ppt补充知识

5.观测值真误差与其函数真误差的关系设：泰勒级数展开：编辑ppt补充知识

5.观测值真误差与其函数真误差的关系设：编辑pptNo.5PropagationofVariance-CovarianceMatrix1、RaiseAQuestion

1)ThequestionishowtoestimatetheerrorsinZasfunctionsofrandomvariable编辑pptNo.5PropagationofVariance-CovarianceMatrix1、RaiseAQuestion

1)ThequestionishowtoestimatetheerrorsinZasfunctionsofrandomvariable编辑pptNo.5PropagationofVariance-CovarianceMatrix1、RaiseAQuestion

1)ThequestionishowtoestimatetheerrorsinZasfunctionsofrandomvariable编辑pptNo.5PropagationofVariance-CovarianceMatrixReducetothefollowquestion观测值的方差与观测值函数的方差之间的关系式，称为误差传播律。

求函数的方差已知函数关系式以及观测值的方差协方差编辑pptNo.5PropagationofVariance-CovarianceMatrix2)ErrorsPropagation:istheprocessofevaluatingtheerrorsinestimatedquantities(Z)asfunctionsoftheerrorinthemeasurements(L)1、RaiseAQuestion

编辑pptNo.5PropagationofVariance-CovarianceMatrix2.Varianceandstandarderroroffunctionsofrandomvariable设随机变量的函数由全微分得真误差之间得关系式中式中：为随机变量令：编辑pptNo.5PropagationofVariance-CovarianceMatrix2.Varianceandstandarderroroffunctionsofrandomvariable随机变量的函数上式取平方中误差形式式中：根据两端取期望编辑pptNo.5PropagationofVariance-CovarianceMatrixStepofSolution:1）ConstructtheMathematicalmodel;2）Ifthemodelisno-linear,linearizingitfirstly;3）ApplyingtheLawofPropagationofErrors;4）Substitutingstandarderrorforvariance.2.Varianceandstandarderroroffunctionsofrandomvariable编辑pptNo.5PropagationofVariance-CovarianceMatrixSomespecialcases：[1]观测值不相关时[2]线性函数编辑pptNo.5PropagationofVariance-CovarianceMatrixSomespecialcases：[1]观测值不相关时[2]线性函数[3]倍数函数[4]和差函数编辑pptNo.5PropagationofVariance-CovarianceMatrix中误差传播时2.Varianceandstandarderroroffunctionsofrandomvariable编辑ppt[1]观测值不相关时[2]线性函数[3]倍数函数[4]和差函数编辑pptNo.5PropagationofVariance-CovarianceMatrixExample1:

在视距测量中，测得标尺读书差d＝0.565m，中误差md＝±0.2mm，当视距常数为100时，求这两点间距离S及其中误差ms。2.Varianceandstandarderroroffunctionsofrandomvariable编辑pptExample1:

在视距测量中，测得标尺读书差d＝0.565m，中误差md＝±0.2mm，当视距常数为100时，求这两点间距离S及其中误差ms。解：函数关系式：距离观测值距离观测值的中误差编辑pptExample2:例2：已知水平角是两个方向观测值的差，两方向观测值独立等精度，设方向观测值的中误差，求角度的中误差。解：函数关系式：应用和差函数的方差公式得编辑pptExample3:例3：用线段比较法求航高时，设地面点间的距离为，其中误差为，量得两点在相片上的象点间的距离为，其中误差为，摄影主焦距为（常数），试求由公式计算航高的中误差。解：函数关系式：真误差关系式得注意：本例的两个距离值是独立的编辑ppt解：得：编辑pptNo.5PropagationofVariance-CovarianceMatrix3、Propagationofthevector’svariance-covariancematrixNowwehavemorethanoneunknown,sayavectorYofmunknowns,thatarerelatedtothenrandomvariableX.Inthiscase,wewilldiscussthelinearmodelfirstly.编辑ppt函数形式对应真误差得关系依方差定义非线性函数：求向量的微分得到真误差的线性形式传播形式编辑pptNo.5PropagationofVariance-CovarianceMatrix对应中误差的形式3、Propagationofthevector’svariance-covariancematrix编辑ppt3、Propagationofthevector’svariance-covariancematrix解：函数关系式：例：设在测站O等精度观测了三个方向a1，a2，a3，中误差均为ma，试求协方差矩阵和按z＝x-y算出的z角中误差。又知道：根据误差传播定律Z的函数可写为根据误差传播定律Ozyx321编辑pptNo.5PropagationofVariance-CovarianceMatrix3、PropagationofThevector’sVariance-CovarianceMatrixSummaryofsteps:Given:X,itsvariancematrix,modelRequired:unknownvector’svariancematrix1)Formthedirectmathematicalmodel2)EvaluatetheelementsofJacobianMatrix3)Applythelawofcovariance.编辑pptNo.5PropagationofVariance-CovarianceMatrix4、RelationofCovarianceMatrixBetweenVectorsGeneralLawofPropagationofVariance-CovarianceMatrix设编辑pptNo.5PropagationofVariance-Covarianc