自动控制原理(胡寿松版)课件

自动控制原理(胡寿松版)课件第二章控制系统的数学模型内容提要：本章重点:

a、微分方程

建立系统输入输出模式数学模型：b、传递函数c、方块图d、信号流图动态结构图的绘制,等校变换方法；各种模型表达形式之间的相互转换；梅逊公式的应用

第二章控制系统的数学模型第一节控制系统的时域数学模型第二节控制系统的复数域数学模型第二章控制系统的数学模型第三节控制系统的结构图与信号流图问题：第二章控制系统的数学模型何为数学模型?数学模型的种类?常用数学模型的种类：

静态模型动态模型

描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式就称为数学模型

数学模型描述的是各变量间的动态关系，则为动态数学模型

数学模型表示的是各阶倒数均为零的静态下各变量之间的关系，则为静态数学模型分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。建立数学模型的方法分为解析法和实验法第二章控制系统的数学模型上一目录第二章自动控制系统的数学模型解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。第一节控制系统的时域数学模型第二章自动控制系统的数学模型（1）

确定系统的输入变量和输出变量一、建立系统微分方程的一般步骤

系统通常由一些环节连接而成，将系统中的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系统的微分方程。列写系统微分方程的一般步骤：

根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程组。（2）

建立初始微分方程组

将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。（3）消除中间变量，将式子标准化

下面举例说明常用环节和系统的微分方程的建立第一节控制系统的时域数学模型ucur二、常见环节和系统微分方程的建立1．RLC电路输入量：输出量：(1)确定输入量和输出量(2)建立初始微分方程组(3)消除中间变量，使式子标准化根据基尔霍夫定律得：

微分方程中只能留下输入、输出变量，及系统的一些常数。RLC电路是二阶常系数线性微分方程。第一节控制系统的时域数学模型+-uruc+-CLRii=CducdtLdidtur=Ri

++ucRCducdt+uc=ur+LCd2ucdt22．机械位移系统系统组成：质量弹簧阻尼器输入量弹簧系数km阻尼系数fF(t)输出量x(t)(2)初始微分方程组F=ma根据牛顿第二定律系统工作过程：(1)确定输入和输出F(t)–F1(t)–F2(t)=ma中间变量关系式:F1(t)=fdx(t)dtF2(t)=kx(t)a=d2x(t)dt2md2x(t)dt2fdx(t)dt+kx(t)=F(t)+消除中间变量得:第一节控制系统的时域数学模型3．电枢控制直流电动机Ua系统组成：直流电机负载输入:电枢电压励磁电流Ia电磁转矩Mm负载转矩Mc摩擦转矩Tf工作原理：

电枢电压作用下产生电枢电流，从而产生电磁转矩使电动机转动.输出:电动机速度第一节控制系统的时域数学模型第一节控制系统的时域数学模型由图，直流电动机的运动方程由三部分组成：1、电枢回路电压平衡方程：2、电磁转矩方程：3、电动机轴上的转矩平衡方程第一节控制系统的时域数学模型消除中间变量得到直流电动机的微分方程第一节控制系统的时域数学模型

由于电枢电感较小，通常可忽略不计，上式可简化为：式中：如果忽略和，上式可进一步简化为：第一节控制系统的时域数学模型

比较:R-L-C电路运动方程与M-S-D机械系统运动方程相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系。便于用简单系统去研究相似的复杂系统。第一节控制系统的时域数学模型二、控制系统微分方程的建立基本步骤：（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定系统中各个基本部件（元件）（2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应（3）消去中间变量第一节控制系统的时域数学模型举例4：速度控制系统的微分方程第一节控制系统的时域数学模型

控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机运放1运放2功放直流电动机第一节控制系统的时域数学模型减速器（齿轮系）测速发电机消去中间变量得微分方程如下：（其中系数由已知参数构成）第一节控制系统的时域数学模型三、线性系统的基本特性1、线性系统是指用线性微分方程描述的系统，其重要性质是可以应用叠加原理。2、叠加原理具有可叠加性和均匀性。例如：有线性微分方程若时，解为：若时，解为：第一节控制系统的时域数学模型可叠加性：当时，微分方程的解为均匀性：当时，A为常数，微分方程的解四、线性微分方程式的求解

工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。拉氏变换法求解微分方程的基本思路：线性微分方程时域t拉氏变换代数方程复数域s代数方程的解求解拉氏反变换微分方程的解第一节控制系统的时域数学模型1．拉氏变换的定义如果有一函数满足下列条件：(1)t

<0时

f(t)=0

(2)t≥0时f(t)是分段连续的

0(3)∫f(t)edt<∞-st∞f(t)的拉氏变换为：0F(s)=∫

f(t)edt-st∞记作

F(s)=L[f(t)]拉氏反变换为：f(t)=L-1

[F(s)]第一节控制系统的时域数学模型2．常用函数的拉氏变换(1)单位阶跃函数I(t)f(t)t010F(s)=∫

I(t)edt-st∞=S1(2)单位脉冲函数δ(t)f(t)t00F(s)=∫δ(t)edt-st∞=1(3)单位斜坡函数tf(t)t00F(s)=∫

tedt-st∞=S21(4)正弦函数Sinωtt0f(t)=s2+ω2ω0F(s)=∫Sinωtedt-st∞(5)余弦函数Cosωt0F(s)=∫Cosωtedt-st∞=s2+ω2s(6)指数函数-atef(t)t010F(s)=∫eedt∞-at-st=1s+a(7)抛物函数t212t2e120F(s)=∫

∞-stdtf(t)t0=S31第一节控制系统的时域数学模型3．拉氏变换的定理(1)线性定理L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)例求正弦函数f(t)=Sinωt的拉氏变换．解：2je-eSinωt=jωt-jωtL[Sinωt]=2j1s-jω[1-]s+jω1=s2+ω2ω(2)微分定理L[df(t)dt]=sF(s)-f(0)例求阶跃函数f(t)=I(t)的拉氏变换．

解：已知d[t]dt=I(t)L[t]=s21L[I(t)]=L(d[t]dt)=ss21-0=1sL[d2f(t)dt2]=s2F(s)-sf(0)-f'(0)第一节控制系统的时域数学模型(3)积分定理L[∫f(t)dt]=1sF(s)+f-1(0)s(4)延迟定理L[f(t-τ)]-τs=eF(s)例求f(t)=t-τ的拉氏变换．解：f(t)t0tτt-τ-τsF(s)=L[t]e=s2-τs1e(5)位移定理-atL[ef(t)]=F(s+a)解：例求f(t)=eSinωt的拉氏变换．-atF(s)=(s+a)2+ω2ω(6)初值定理Limf(t)=limsF(s)s→∞t→0(7)终值定理Limf(t)=limsF(s)t→∞s→0第一节控制系统的时域数学模型4．拉氏反变换象函数的一般表达式：F(s)=b0

sm+b1

sm-1

+···+bm-1s+bma0

sn+a1

sn-1

+···+an-1s+an分解为K(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm

)(s

–p1)(s

–p2)···(s

–pn

)=零点极点转换为=s-p1A1+s-p2A2+···+s-pnAn则p1tf(t)=A1ep2t+A2epntAne+···+

部分分式法求拉氏反变换,实际上是求待定系数A1,A2,…,An.极点的形式不同,待定系数的求解不同,下面举例说明.待定系数第一节控制系统的时域数学模型(1)不相等实数极点Ai=F(s)(s-pi)

s=pi解：例求拉氏变换．s2+4s+3F(s)=s2+5s+5(s+1)(s+3)F(s)=1+s+2=1++s+1A1s+3A2A1=F(s)(s-p1)

s=p1(s+1)(s+3)=s2+5s+5s=-1=(s+1)(s+3)(s+2)(s+1)21=A2=F(s)(s-p2)

s=p2s=-3=(s+1)(s+3)(s+2)(s+3)21=21+f(t)=δ(t)+e-t21e-3t第一节控制系统的时域数学模型(2)复数极点A(s)(s

–p1)(s

–p2)···(s

–pn

)F(s)=p1,p2共轭复数极点分解为=(s-p1)(s-p2)A1s+A2+s-p3A3+···+s-pnAnF(s)(s-p1)(s-p2)

s=p1=A1s+A2s=p1根据求待定系数A1,A2.例求拉氏变换．s(s2+9)F(s)=s+1解：A1s+A2+s(s2+9)F(s)=A3=A1s+A2s=j3F(s)(s2+9)s=j3A2=1

19A1=-

19A3=

-s/9+1

+s(s2+9)=1/9

s/9

-s(s2+9)F(s)=1/9

1

+(s2+9)1391-f(t)=Sin3t91Cos3t+第一节控制系统的时域数学模型(3)重极点A(s)(s

–p1)r(s

–pr+1)···(s

–pn

)F(s)=有r个重极点分解为=(s-p1)rA1+s-pr+1Ar+1+···+s-pnAn+(s-p1)r-1A2+···+s-p1Ardr-1[F(s)(s-p1)r]Ar=

s=p11

((r-1)!dsr-1)下面举例说明第一节控制系统的时域数学模型例求拉氏变换．(s+2)F(s)=s(s+1)2(s+3)解：F(s)=+s+1A1s+3A2(s+1)2+sA3+A4分解为按不相等实数极点确定A1,A3,A4得：-12A1=

23A3=

112A4=

d2-1[F(s)(s-p1)2]A2=

s=p11

((2-1)!ds2-1)d[=

s=-1ds](s+2)s(s+3)-34=

-34A2=

+-43+f(t)=e-t32e-3t2-te-t121将各待定系数代入上式得：第一节控制系统的时域数学模型5．用拉氏变换解微分方程

下面举例说明求解线性微分方程的方法。例求拉氏反变换．r(t)=20I(t)+2c

(t)=r(t)+3d2c(t)dt2dc(t)dtc(0)=5c'(0)=15解：(1)将微分方程拉氏变换s2C(s)-sc(0)-c'(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s)=20s20s+5s+30=C(s)(s2+3s+2)

(2)解代数方程s(s2+3s+2)

C(s)=5s2+30s+20(3)求拉氏反变换s(s+1)(s+2)=5s2+30s+20s+C(s)=+s+1A1s+2A2A3s+=+s+110s+25-10-10ec(t)=10+5e-t-2t第一节控制系统的时域数学模型例已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。r(t)=δ(t)+2c

(t)=r(t)+2d2c(t)dt2dc(t)dt

c(0)=c'(0)=0解：将方程两边求拉氏变换得：s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s)R(s)=1C

(s)=s2+2s+21=(s+1)2+11求拉氏反变换得：c(t)=e–t

sint

输出响应曲线c(t)r(t)r(t)t0c(t)第一节控制系统的时域数学模型

五、非线性元件微分方程的线性化

－－切线法或小偏差法切线法或小偏差法：是在一个很小范围内，将非线性特性用一段直线来代替。特别适用于具有连续变化的非线性特性函数。第一节控制系统的时域数学模型第一节控制系统的时域数学模型设连续变化的非线性函数y=f(x)，如下图，取某平衡状态A为工作点，对应有；当时，有。设函数y=f(x)在A点连续可微，则将它在该点附近用泰勒级数展开第一节控制系统的时域数学模型当增量()很小时，略去其高次幂项，则有令=，，，则线性化方程可简记为略去增量符号，便得函数y=f(x)在工作点A附近的线性化方程为y=Kx式中，，是比例系数，它是函数f(x)在A点的切线斜率。第二节控制系统的复数域数学模型一、传递函数的定义和性质三、典型环节的传递函数

拉氏变换可以简化线性微分方程的求解。还可将线性定常微分方程转换为复数S域内的数学模型—传递函数。第二章控制系统的数学模型二、传递函数的零点和极点及其对输出的影响输出拉氏变换

一、传递函数的定义和性质

设一控制系统输入输入拉氏变换输出传递函数的定义：

零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s)=表示为：将微分方程拉氏变换便可求得传递函数。系统G(S)第二节控制系统的复数域数学模型例求图示RLC电路的传递函数。+-uruc+-CLRi解：输出量输入量根据基尔霍夫定律：i=CducdtLdidtur=Ri

++uc拉氏变换：RCsUc(s)+LCs2Uc(s)+Uc(s)=Ur(s)传递函数为:G

(s)=Uc(s)Ur(s)1LCs2+

RCs+

1=RCducdt+uc=ur+LCd2ucdt2第二节控制系统的复数域数学模型传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分子，分母的阶次是：。传递函数的性质传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出；传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关；传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；第二节控制系统的复数域数学模型传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为当

时，，所以，

传递函数与微分方程有相通性传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。第二节控制系统的复数域数学模型第二节控制系统的复数域数学模型例：求电枢控制直流电动机传递函数解：第二节控制系统的复数域数学模型根据线性叠加原理，分别研究到和到的传递函数第二节控制系统的复数域数学模型电动机转速在电枢电压和负载转矩同时作用下的响应特性为：零初始条件下拉氏变换得：(a0

sn+a1

sn-1

+···+an-1s+an)C(s)=(b0

sm+b1

sm-1

+···+bm-1s+bm)R(s)系统微分方程的一般表达式为：dtm+bmr(t)=b0dm-1r(t)dtm-1+b1+···dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+···dnc(t)dtna0dn-1c(t)dtn-1+a1dc(t)dt+an-1系统传递函数的一般表达式为=b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bma0sn+a1sn-1+···+an-1s+anR(s)C(s)G(s)=

将传递函数中的分子与分母多项式分别用因式连乘的形式来表示，即n>=mG(s)=K0(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm)(s

–p1)(s

–p2)···(s

–pn)根轨迹增益传递函数的极点传递函数的零点第二节控制系统的复数域数学模型二、传递函数的零点和极点及其对输出的影响第二节控制系统的复数域数学模型

将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称系统的零、极点图。零点用“O”表示极点用“×”表示零、极点分布图（零、极点图）第二节控制系统的复数域数学模型传递函数另一种表示形式为：式中，、称为时间常数；为传递系数或增益。第二节控制系统的复数域数学模型传递函数的零点和极点对输出的影响

（1）传递函数的极点可受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动模态。

现举例说明：

由于传递函数的极点就是微分方程的特征根，因此它们决定了所描述系统自由运动的模态，而且在强迫运动中（即零初始条件响应）也会包含这些自由运动的模态。设某系统传递函数为显然，其极点,,零点，自由运动的模态是和。第二节控制系统的复数域数学模型当，即时，可求得系统的零初始条件响应为=

式中，前两项具有与输入函数r（t）相同的模态，后两项中包含了由极点-1和-2形成的自由运动模态。这是系统“固有”的成分，但其系数却与输入函数有关，因此可以认为这两项是受输入函数激而形成的。第二节控制系统的复数域数学模型

（2）传递函数的零点不形成自由运动模态，却影响各模态在响应中所占的比重，影响响应曲线的形状。

现举例说明：设具有相同极点但零点不同的传递函数分别为，

第二节控制系统的复数域数学模型其极点都是-1和-2，的零点，的零点。在零初始条件下，它们的价跃响应分别是第二节控制系统的复数域数学模型第二节控制系统的复数域数学模型

不同的物理系统，其结构差别很大。但若从系统的数学模型来看，一般可将自动控制系统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解。

三、典型环节的传递函数第二节控制系统的复数域数学模型c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)放大倍数取拉氏变换:得传递函数:1．比例环节微分方程:R(s)C(s)G(s)==K

比例环节方框图KR(S)C(S)K1S·C(s)=R(s)=1S单位阶跃响应：拉氏反变换得:c(t)=K

单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)1r(t)Kc(t)第二节控制系统的复数域数学模型K=-R1R2

比例环节实例(a)uruc-∞++R1R2运算放大器(b)线性电位器uc(t)+-R1R2+-ur(t)K=R2+R1R2传动齿轮(c)r(t)c(t)iK=i第二节控制系统的复数域数学模型单位阶跃信号作用下的响应:KTs+11s·C(s)=Ks+1/TKs+=R(s)=1s2．惯性环节微分方程:+c(t)=Kr(t)dc(t)dtT时间常数比例系数拉氏变换：TsC(s)+C(s)=KR(s)惯性环节的传递函数:R(s)C(s)G(s)=KTs

+

1=

惯性环节方框图R(S)C(S)1+Ts1拉氏反变换得:c(t)=K(1–etT-)

单位阶跃响应曲线设K=1r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.632第二节控制系统的复数域数学模型uruc-∞++R2R1C

惯性环节实例(a)运算放大器R2Cs+1R2/R1G(s)=–(b)RL电路+-u(t)RLuL(t)1/R(L/R)s+1G(s)=–第二节控制系统的复数域数学模型R(s)C(s)G(s)==1TsTsC(s)=R(s)=r(t)dc(t)dtT微分方程：时间常数3．积分环节传递函数：拉氏变换：

积分环节方框图R(S)C(S)Ts1单位阶跃响应：1TS1S·C(s)=R(s)=1S1TS2=1Tc(t)=t

单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T拉氏反变换得:第二节控制系统的复数域数学模型第二节控制系统的复数域数学模型如当输入量为常值A时，输出量须经过时间T才能达到输入量在t=0时的值A。！改善系统的稳态性能！具有明显的滞后作用

积分环节实例(a)运算放大器uc-∞++RCur1RCsG(s)=–(b)直流伺服电机+-UdMθsKG(s)=第二节控制系统的复数域数学模型4．微分环节R(S)C(S)Ts理想微分环节微分方程：微分时间常数

微分环节方框图单位阶跃响应：c(t)=Tdr(t)dtR(s)C(s)G(s)==TsTS1S·C(s)=R(s)=1S拉氏反变换得:c(t)=Tδ(t)

单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)c(t)r(t)运算放大器构成的微分环节-Δ∞++RucCurG(s)=RCs第二节控制系统的复数域数学模型+-uc+-CRurRC电路构成的实用微分环节RCsRCS+1G(s)=TsTs+1=

理想微分环节实际中是难以实现的，实际中常用含有惯性的实用微分环节。传递函数:单位阶跃响应:•

1sTsTs+1G(s)==1s+1/T

c(t)=etT-单位阶跃响应曲线r(t)r(t)t0c(t)c(t)1

由于微分环节的输出只能反映输入信号的变化率，不能反映输入量本身的大小，故常采用比例微分环节。

第二节控制系统的复数域数学模型采用运算放大器构成的比例微分环节：R1ucC1R2ur-Δ∞++传递函数：单位阶跃响应：c(t)=KTδ(t)+KR(s)C(s)G(s)==K(Ts+1)

单位阶跃响应曲线1c(t)r(t)r(t)t0c(t)第二节控制系统的复数域数学模型5.振荡环节

微分方程：+c

(t)=r(t)+2Td2c(t)dt2dc(t)dtT2ζ—时间常数—阻尼比ζT传递函数：1T2S2+2TS+1=R(s)C(s)G(s)=ζG(s)=T21T21T2S2+S+ζn2ωn2ωnζS2+2S+ω=T1ωn=—无阻尼自然振荡频率

振荡环节方框图S2+2ξωnS+ωn2ωn2R(S)C(S)单位阶跃响应：c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e

单位阶跃响应曲线1c(t)r(t)r(t)t0c(t)第二节控制系统的复数域数学模型1ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常见振荡环节的实例：(1)机械位移系统

(2)他激直流电动机

(3)RLC电路1/CeTaTms2+Tms+1=U(s)N(s)G(s)=Ur(s)Uc(s)1LCs2+RCs+1=G(s)=第二节控制系统的复数域数学模型R(s)C(s)G(s)==e-τsc(t)=r(t–τ)·1(t–τ)R(S)C(S)e-τs6．时滞环节延时时间数学模型：

时滞环节方框图传递函数：时滞环节作近似处理得1+τs1G(s)=1+τs+2!2s2+···

1τ1

阶跃响应曲线1c(t)r(t)r(t)t0c(t)τ第二节控制系统的复数域数学模型第二节控制系统的复数域数学模型惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。延迟环节从输入开始之初，在0-τ时间内没有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。延迟环节与惯性环节的区别

动态结构图是系统数学模型的另一种形式，它表示出系统中各变量之间的数学关系及信号的传递过程。第二章自动控制系统的数学模型第三节控制系统的结构图和信号流图

一、系统结构图的组成和绘制系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态结构图的基本符号有四种，即信号线、方框、综合点和引出点。第三节控制系统的结构图和信号流图1.信号线

带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。第三节控制系统的结构图和信号流图2.信号引出点/测量点

表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。第三节控制系统的结构图和信号流图3.比较点/综合点1.用符号“”及相应的信号箭头表示2.箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号第三节控制系统的结构图和信号流图4.方框/环节函数方块具有运算功能绘制动态结构图的一般步骤:（1）确定系统中各元件或环节的传递函数。（2）绘出各环节的方框，方框中标出其传递函数、输入量和输出量。（3）根据信号在系统中的流向，依次将各方框连接起来。第三节控制系统的结构图和信号流图第三节控制系统的结构图和信号流图例：如下图是一个电压测量装置，试绘制该系统的结构图第三节控制系统的结构图和信号流图解：系统的组成：比较电路、机械调制器、放大器、两相伺服电动机及指针机构。比较电路：调制器：放大器：第三节控制系统的结构图和信号流图两相伺服电动机：第三节控制系统的结构图和信号流图绳轮传动机构：测量电位器：

对于RLC电路，可以运用电流和电压平衡定律及复阻抗的概念，直接画出系统的动态结构图。例求图所示电路的动态结构图。ii1+-uiuo+-R2R1ci2解：I1(s)I2(s)+Uo(s)Ui(s)_Cs1R1+R2Uc(s)RC电路动态结构图：I(s)第三节控制系统的结构图和信号流图i1i2+-urC1uc+-C2R1R2例画出图所示电路的动态结构图。解：1R1I1(s)_1C1S1R21C2SUr(s)UC(s)I2(s)__U1(s)U1(s)I2(s)UC(s)U1(s)i1-i2第三节控制系统的结构图和信号流图二、动态结构图的等效变换与化简

系统的动态结构图直观地反映了系统内部各变量之间的动态关系。将复杂的动态结构图进行化简可求出传递函数。1．动态结构图的等效变换等效变换：被变换部分的输入量和输出量之间的数学关系，在变换前后保持不变。第三节控制系统的结构图和信号流图C1(s)（1）串联两个环节串联的等效变换：R(s)C(s)G2(s)G1(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)=G1(s)G2(s)G(s)=等效n个环节串联ni=1G(s)=ΠGi(s)C1(s)=R(s)G1(s)C(s)=C1(s)G2(s)=R(s)G(s)1G2(s)R(s)G1(s)C(s)G2(s)F(s)不是串联！R(s)G1(s)C(s)G2(s)C1(s)也不是串联！第三节控制系统的结构图和信号流图R(s)C(s)=G1(s)+G2(s)G(s)=(2)并联两个环节的并联等效变换：G1(s)+G2(s)R(s)C(s)++G2(s)R(s)C(s)G1(s)等效C1(s)=R(s)G1(s)C1(s)C2(s)=R(s)G2(s)C2(s)C(s)=C1(s)+C2(s)=R(s)G1(s)+R(s)G2(s)n个环节的并联

Σni=1G

(s)=Gi(s)第三节控制系统的结构图和信号流图E(s)=R(s)B(s)+–=R(s)E(s)G(s)H(s)+–1±G(s)H(s)R(s)E(s)=（3）反馈连接G(s)1±G(s)H(s)C(s)R(s)G(s)C(s)H(s)R(s)E(s)B(s)±环节的反馈连接等效变换：

根据框图得：等效R(s)C(s)1±G(s)H(s)G(s)=C

(s)=E(s)G(s)第三节控制系统的结构图和信号流图（4）综合点和引出点的移动1)

综合点之间或引出点之间的位置交换引出点之间的交换：b综合点之间交换：bccbaaaa±aa±b±c±a±c±b不改变数学关系不改变数学关系aa综合点与引出点之间不能交换！第三节控制系统的结构图和信号流图2）综合点相对方框的移动前移：R(s)C(s)G(s)±F(s)R(s)G(s)C(s)±F(s)G(s)C(s)±F(s)±C(s)F(s)1G(s)C(s)=R(s)G(s)±F(s)数学关系不变！后移：F(s)R(s)G(s)C(s)±C(s)=[R(s)±F(s)]G(s)F(s)R(s)G(s)C(s)±F(s)G(s)C(s)±C(s)G(s)G(s)第三节控制系统的结构图和信号流图3）引出点相对方框的移动C(s)R(s)C(s)G(s)前移：G(s)C(s)R(s)C(s)G(s)C(s)C(s)R(s)R(s)C(s)G(s)后移：R(s)R(s)C(s)G(s)R(s)R(s)G(s)1被移动的支路中串入适当的传递函数。第三节控制系统的结构图和信号流图举例说明例：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数C(s)/R(s)。第三节控制系统的结构图和信号流图第三节控制系统的结构图和信号流图本题特点：具有引出点、综合交叉点的多回路结构。解题思路：消除交叉连接，由内向外逐步化简。解题方法一之步骤1将综合点2后移，然后与综合点3交换。第三节控制系统的结构图和信号流图解题方法一之步骤2第三节控制系统的结构图和信号流图解题方法一之步骤3第三节控制系统的结构图和信号流图内反馈环节等效变换解题方法一之步骤4第三节控制系统的结构图和信号流图内反馈环节等效变换结果解题方法一之步骤5第三节控制系统的结构图和信号流图串联环节等效变换解题方法一之步骤6第三节控制系统的结构图和信号流图串联环节等效变换结果解题方法一之步骤7第三节控制系统的结构图和信号流图内反馈环节等效变换解题方法一之步骤8第三节控制系统的结构图和信号流图内反馈环节等效变换结果解题方法一之步骤9第三节控制系统的结构图和信号流图反馈环节等效变换解题方法一之步骤10第三节控制系统的结构图和信号流图等效变换化简结果解题方法一之步骤11第三节控制系统的结构图和信号流图将综合点③前移，然后与综合点②交换。解题方法二第三节控制系统的结构图和信号流图引出点A后移解题方法三第三节控制系统的结构图和信号流图引出点B前移解题方法四第三节控制系统的结构图和信号流图例求RC串联网络的传递函数。1R11C1S1C2S___R(S)C(S)1R2RC串联网络动态结构图解：错！C2S1R1注意：综合点与引出点的位置不作交换！R1_1R2C2S_1R1C1SR1C2S1R1C1S+11R2C2S+1_R(s)C(s)系统传递函数：R(s)C(s)(R1C1S+1)(R2C2S+1)+R1C2S1=H(s)=R1C2S(R1C1S+1)(R1C1S+1)G(s)=1第三节控制系统的结构图和信号流图结构图化简步骤小结确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简，求得各自的传递函数。若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。第三节控制系统的结构图和信号流图结构图化简注意事项：有效输入信号所对应的综合点尽量不要移动；尽量避免综合点和引出点之间的移动。第三节控制系统的结构图和信号流图第三节控制系统的结构图和信号流图三．信号流图的组成及性质x1x4x3x2abc11、信号流图的基本概念

支路：表示变量之间的传输关系。

节点：表示系统中的变量。

信号流图是一种表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。信号流图由节点和支路组成第三节控制系统的结构图和信号流图2、信流图的性质A、节点标志系统的变量；

B、支路相当于乘法器；

C、信号沿箭头单向传递；

D、系统的信号流图不是惟一的。第三节控制系统的结构图和信号流图3、信流图的基本术语源节点只有输出的节点，代表系统的输入变量。阱节点只有输入的节点，代表系统的输出变量。输出节点输入节点混合节点既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，混合节点变为输出节点。第三节控制系统的结构图和信号流图前向通路从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。回路起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益，用Lk表示。不接触回路相互间没有任何公共节点的回路第三节控制系统的结构图和信号流图第三节控制系统的结构图和信号流图根据微分方程绘制信号流图4、信流图的绘制

微分方程先拉氏变换，指定系统变量，按因果关系排列，连成信号流图。例试绘制RC无源网络的信号流图。设电容初始为。解由基尔霍夫定律，列写微分方程式如下：ii1+-uiuo+-R2R1ci2第三节控制系统的结构图和信号流图各微分方程式进行拉氏变换，则有

经整理后得:第三节控制系统的结构图和信号流图

对变量，，，，，及分别设置七个节点；然后，用相应增益的支路将个节点连接起来，便得到RC无源网络的信号流图。第三节控制系统的结构图和信号流图由系统结构图绘制信号流图结构图上信号线变成小圆圈表示变量，方框变成增益线段（即支路），连成信号流图。例试绘制系统结构图对应的信号流程。第三节控制系统的结构图和信号流图解首先，在系统结构图的信号线上，用小圆圈标注各变量对于对应的节点，如图（a）所示。其次，将各节点按原来顺序自左向右排列，连接个节点的支路与结构图中的方框相对应，便得系统的信号流图，如图（b）所示。第三节控制系统的结构图和信号流图

注意比较点与引出点的关系：在结构图比较点之前没有引出点（但在比较点之后可以有引出点）时，只需在比较点后设置一个节点便可，见图（a）；但若在比较点之前有引出点时，就需在引出点和比较点各设置一个节点，分别标志两个变量，它们之间的支路增益是1，见图（b）。ΣLiΣLiLjΣLiLjLzΔ=1––++···四、梅森增益公式

回路内前向通道和反馈通道传递函数的乘积。梅森公式：回路传递函数：—特征式△—各回路传递函数之和。—两两互不相接触回路的传递函数乘积之和。—所有三个互不相接触回路的传递函数乘积之和。Φ(s)=Σnk=1PkΔkΔΣLiΣLiLjΣLiLjLzΣLiΣLiLjΣLiLjLz△k—将△中与第k条前向通道相接触的回路所在项去掉之后的剩余部分，称为余子式。Pk—第k条前向通道的传递函数。第三节控制系统的结构图和信号流图第三节控制系统的结构图和信号流图下面结合实例利用梅森公式求系统传递函数：例试用梅森公式求例2-14系统的传递函数。第三节控制系统的结构图和信号流图解由梅森公式求得系统传递函数为：例系统的动态结构图如图所示，求闭环传递函数。

G1G2G3H1G4H2___C(s)+R(s)解：系统有5个回路，各回路的传递函数为L1L1=–G1G2H1L2L2=–G2G3H2L3L3=–G1G2G3L4L4=–G1G4L5L5=–G4H2ΣLiLj=0ΣLiLjLz

=0Δ=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2P1=G1G2G3Δ1=1P2=G1G4Δ2=1将△、Pk、△k代入梅逊公式得传递函数：G1G2G3+G1G41+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2第三节控制系统的结构图和信号流图第三节控制系统的结构图和信号流图例试求信号流图中的传递函数解单独回路有四个，即两个互不接触的回路有四组，即三个互不接触的回路有一组，即信号流图特征式

从源节点R到阱节点C的前向通路共有四条

因此，由梅森公式求得系统传递函数为

=第三节控制系统的结构图和信号流图L1L2L3H1_+++G1+C(s)R(s)G3G2例求系统的闭环传递函数。解:L1=G3H1L2=–G1H1L3=–G1G2P1=G1G2Δ1=1–

G3H1Δ=1+G1G2+G1H1–G3H1R(s)C(s)1+G1G2+G1H1–G3H1G1G2(1–

G3H1)=第三节控制系统的结构图和信号流图五、闭环系统的传递函数1、系统的开环传递函数2、系统的闭环传递函数3、系统的误差传递函数第二章自动控制系统的数学模型_H(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)+D(s)1、系统的开环传递函数

闭环控制系统的典型结构：

开环传