苏教版八年级上数学期末复习知识点总结+例题完美版

苏教版八年级上数学期末复习知识点总结+例

题(完美版)第一章三角形全等1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；③三角形全等不因位置发生变化而改变。2、全等三角形的性质：⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。⑵全等三角形的周长相等、面积相等。⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。3、全等三角形的判定：①边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。②角边角公理(ASA)第1页共1页有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。③推论（AAS）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。④边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等。⑤斜边、直角边公理（HL）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、证明两个三角形全等的基本思路：⑴已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）、⑵已知一边一角：①找一角（AAS或ASA）；②找夹边（SAS）、⑶已知两角：①找夹边（ASA）；②找其它边6人5）、ABCDE例题评析例1已知：如图，点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，求证：AB=AC、BCDEFA例2已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC,AB=DE,BC=EF,求证：△ABC^ADEF.BCDEFA例3已知：BE^CD,BE=DE,BC=DA,<证：①△BEC0ADEA；②DF^BC、例4如图，在AABE中，AB=AE,AD=AC,NBAD=NEAC,BC、DE交于点0、求证:⑴△ABC0AAED；（2）0B=0E、例5如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接8£,将ABCE绕点C顺时针方向旋转90得到△DCF,连接第1页共1页EF,若NBEC=60,求/£尸口的度数、例6如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点8落到点B,的位置，AB,与CD交于点E、（1）试找出一个三角形与4AED全等，并加以证明、（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PGLAE于G,PHLEC于H,PG+PH的值会变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出这个值。例7已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A,B重合），分别过A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点、（1）如图1,当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是,QE与QF的数量关系是;（2）如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3,当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明、复习作业：解答题1、（1）如下图，等边4ABC内有一点P若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,贝《NAPB=。分析：由于PA,PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将4ABP绕顶点A旋转到AACP,处，此时AACP/0这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出NAPB的度数。（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如右图，4ABC中，NCAB=90,AB=AC,E、F为BC上的点且NEAF=45,求证：EF2=BE2+FC2。第1页共1页2、如图所示，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△ABC^ABAD、求证：(1)0A=0B；(2)AB〃CD、3、如图所示，AABC0AADE,且NCAD=10,NB=ND=25,NEAB=120,求NDFB和NDGB的度数、4、如图所示，已知AE，AB,AF，AC,AE=AB,AF=AC、求证：(1)EC=BF；(2)EC±BF.5、已知：如图，AB=AE,N1=N2,NB=NE、求证：BC=ED、6、如图所示，在AABC中，AB=AC,BD，AC于D,CE，AB于E,BD,CE相交于F、求证：AF平分NBAC、7、AABC中，NACB=90,AC=BC=6,M点在边AC上，且CM=2,过M点作AC的垂线交AB边于E点、动点P从点人出发沿AC边向M点运动，速度为每秒1个单位，当动点P到达M点时，运动停止、连接EP,EC、在此过程中，⑴当t为何值时，AEPC的面积为10?(2)将AEPC沿CP翻折后，点E的对应点为F点，当t为何值时，PF〃EC?8、在AABC中，NABC=90,分别以边AB、BC、CA向AABC外作正方形ABHI、正方形BCGF、正方形CAED,连接GD,AG,BD、⑴如图1,求证：AG=B第1页共1页D、⑵如图2,试说明：S4ABC=S^CDG、（提示：正方形的四条边相等，四个角均为直角）图1图2第二章轴对称1、轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。2、轴对称的性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线；3、线段的垂直平分线：①性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。②判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等4、角的角平分线：①性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。②判定定理：到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。5、等腰三角形：①性质定理：⑴等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线第1页共1页互相重合。（三线合一）②判断定理：一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。（等角对等边）6、等边三角形：①性质定理：⑴等边三角形的三条边都相等；⑵等边三角形的三个内角都相等，都等于60；拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质。②判断定理：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；⑵三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角是60的三角形是等边三角形；⑶有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。7、直角三角形推论：⑴直角三角形中，如果有一个锐角是30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。⑵直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。拓展：直角三角形常用面积法求斜边上的高。例题评析1、线段的对称轴有条，是2、线段垂直平分线上的点到的距离相等•・・・・・3、到距离相等的点在线段的垂直平分线上•・・・•・•・・・•・・・・例1：如图，在4ABC中，DE是AC的垂直平分线、（1）若AC=6,4ABD的周长是13,则4ABC的周长是； （2）若4ABC的周长是30,4ABD的周长是25,则AC=、例2：如图，在4ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、点D、（1）若BC=8,则4ADE的周长是；（2）若NBAC=110,那么NEAD=（3）第1页共1页若NEAD=100,那么NBAC=4、角的对称轴有条，是5、角平分线上的点到的距离相等;又•・.J6、角的内部到距离相等的点在角的平分线上•・・又•・・J例3：如图，在4ABC中，NC=90,AD平分NBAC、（1）若CD=5,则点D到AB的距离为、⑵若BD：DC=3：2,点D到AB的距离为6,则BC的长是、例4：如图，OP平分NAOB,PAOA,PBOB,垂足分别为A、B、下列结论中，不一定成立的是（）A、PA=PBB、PO平分NAPBC、OA=OBD、AB垂直平分OP补充：①三角形的三条边的垂直平分线的交点到的距离相等②三角形的三条角平分线的交点到的距离相等1、请你先在图的BC上找一点P,使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP上找一点Q,使QB=QC、2、如图，求作点P,使点P同时满足：①PA=PB；②到直线m,n的距离相等、7、等边对等角;J8、等角对等边.J第1页共1页9、等腰三角形、、重合（三线合一）（有条对称轴）•・•・・・・・•又:又:又•・・・•・・•・・・•例5:（1）等腰三角形的一边长为5,另一边长为n,则该等腰三角形的周长为（2）等腰三角形的两边长分别为4、5、则该等腰三角形的周长为（3）已知等腰三角形的一个外角为100,则这个等腰三角形的顶角为、（4）等腰4ABC中，若NA=30,则NB=、例6：（1）如图①，在Rt^ABC中，若AB=AC,AD=AE,NBAD=40，贝UNEDC=、（2）如图②，NACB=90,E、F为AB上的点，AE=AC,BC=BF,则NECF=、③⑶如图③，AB=AC=DC,且BD=AD,则NB=、例7：如图，NABC、NACB的平分线相交于点F,过点F作DE〃BC,交AB于点D,交AC于点E、试说明BD+EC=DE、例8：如图，已知AB=AC,AD=AE、求证：BD=CE、例9：在^ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，点E在AD上、（1）求证：BE=CE；（2）如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BFLAC,垂足为F,NBAC=45,原题设其它条件不变、求证：△AEF04BCF、10、（1）等边三角形的性质：等边三角形的三条边，三个角都是，每条边上都有三线合一，有条对称轴（2）等边三角形的3个判定方法：三条边都的三角形是等边三角形三个角都的三角形是等边三角形有一个角是的三角形是等边三角形例10：（1）如图①，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD与BE相交于第1页共1页点P,则NAPE=、（2）如图②，正方形ABCD,^EAD为等边三角形，则NEBC=、ABCD（3）如图③，已知等边AABC,AC=AD,且ACLAD,垂足为A,则NBEC=、①②③例11：如图，C为线段AE上一动点（点C不与点A、E重合），在AE的同侧分别作等边4ABC和等边^CDE，AD与BE相交于点O，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q,连接PQ、下列五个结论：①AD=BE；②PQ〃AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤NA0B=60,其中恒成立的有（填序号）、例12：如图，4ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE,使点E、A在直线DC的同侧，连接人£、求证：AE〃BC、11、直角三角形斜边上的中线等于:又J12、用等积法求直角三角形斜边上的高SAABC==13、直角三角形中，30的角所对的直角边等于:又J例12：（1）在Rt^ABC中，NC=90,CD是斜边AB的中线，且CD=4cm,则UAB=、（2）在Rt^ABC中，NC=90,NB=30,AB=8,则AC=、（3）在Rt^ABC中，NC=90,AC=8,BC=6,则AB边上的高CD=、例13：如图，在4ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接6尸，求证：第1页共1页GFLDE、例14：如图，已知：三角形ABC中，NA=90,AB=AC,D为BC的中点，E,F分别是AB,AC上的点，且BE=AF,求证：ADEF为等腰直角三角形、相关练习：1、如图，在4ABC中，BC=8cm,BP、CP分别是NABC和NACB的平分线，且PD〃AB,PE〃AC,求APDE的周长、2、如图，在边长为2等边AABC中，AD是BC边上的中线，E、F是AD的三等分点，则图中阴影部分的面积是cm2、3、如图，在AABC中，CD与C,分别是AABC的内角、外角平分线，DF〃BC交AC于点E、试说明（1）△DCF为直角三角形；（2）DE=EF、4、如图，AABC是等腰三角形，NB=NC,AD是底边BC上的高，DE〃AB交AC于点E、试找出图中除AABC外的等腰三角形，并说明你的理由、5、如图，AD是AABC的角平分线，点E在AB上，且AE=AC,EF〃BC交AC于点F、求证：EC平分NDEF、6、如图，AC平分NBAD,CE，AB于E,CFLAD于F,且BC=DC、BE与DF相等吗？请说明理由、7、如图，C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），在AB的同侧分别作AACD和ABCE,CA=CD,CB=CE,NACD与NBCE都是锐角，且NACD=NBCE,连接AE交CD于点耽连接8口交CE于点N,AE与BD交于点P,连接PC、试说明：（1）第1页共1页△ACE^ADCB、(2)PC平分NAPB、8、如图，等边aABC中，D是AC的中点，延长BC到点E,使CE=CD,AB=10cm、(l)求8£的长；(2)试说明BD=ED9、画图、证明：如图，NA0B=90,点C、D分别在0A、0B上、(1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：作NAOB的平分线0P；作线段CD的垂直平分线EF,分别与CD、0P相交于E、F；连接OE、CF、DF、(2)在所画图中，①线段0E与CD之间有怎样的数量关系，并说明理由、②求证：△CDF为等腰直角三角形10、如图，已知点D为等腰直角4ABC内一点，NCAD=NCBD=15,E为AD延长线上的一点，且CE=CA、(1)求证：DE平分NBDC；(2)若点M在DE上，且DC=DM,求证：ME=BD、11、如图，设NBAC=0(OV0V9O)、现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB,AC上、从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1、(1)小棒能无限摆下去吗？答：第1页共1页、（填“能”或“不能”）（2）若已经摆放了3根小棒，则01=,02=,03=；（用含0的式子表示）（3）若只能摆放4根小棒，求0的范围、12、如图1,点P、Q分别是等边4ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M、（1）求证：△ABQ04CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，NQMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数、（3）如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M,则NQMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数、13、如图，在4ABC中，AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CD,BD=CF、（1）试说明DE=DF、（2）若NA=40,求NEDF的度数、14、如图，4ABC中，AB=AC,NBAC=54,NBAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将NC沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则NOEC为、第1页共1页15、如图，在4ABC中，AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点，MNLAC于点N,则MN等于16、如图，P为NAOB的平分线OC上任意一点，PMLOA于M,PN，OB于N,连接MN交OP于点D、贝1①PM=PN；②MO=NO；③OPLMN；④MD=ND、其中正确的有17、如图所示，等边三角形ABC的边长是6,点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP=CQ,设PQ与AC相交于点D、（1）当NDQC=30时，求AP的长、（2）作PELAC于E,求证：DE=AE+CD、18、如图，在4ABC中，已知BA=BC,NB=120,AB的垂直平分线DE交AC于点D、（1）求/人的度数；（2）若AC=6cm,求AD的长度、19、若直角三角形斜边上的高和中线分别为10cm、12cm,则它的面积为cm2、20、如图，某市把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，NACB=90o、AC=80m、BC=60m、（1）若入口£在边AB上，且与A、B距离相等，求从人口£到出口C的最短路线的长；（2）若线段CD是一条水渠，且点D在AB边上，已知水渠造价约为10元第1页共1页/m,则点D在距点A多远处，此水渠的造价最低？最低造价是多少？第三章勾股定理勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边1、勾股定理：直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。3、勾股数：满足@2+62=。2的三个正整数，称为勾股数。常见勾股数：3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13。4、简单运用：⑴勾股定理常用于求边长、周长、面积；理解：①已知直角三角形的两边求第三边，并能求出周长、面积。②用于证明线段平方关系的问题。③利用勾股定理，作出长为的线段⑵勾股定理的逆定理常用于判断三角形的形状；理解：①确定最大边（不妨设为c）；②若c2=a2+b2,则4ABC是以NC为直角的三角形；若a2+b2Vc2,则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2+b2>c2,则此三角形为锐角三角形（其中。为最大边）⑶难点：运用勾股定理立方程解决问题。例题评析1、勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方・・・・,•例1：（1）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,正方形第1页共1页A、B、C的面积分别是8cm2、10cm2、14cm2,则正方形D的面积是cm2、（2）如图，已知1号、4号两个正方形的面积为为7,2号、3号两个正方形的面积和为4,则a，b，。三个方形的面积和为（3）如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两个小半圆的面积和为100、则大的半圆面积是、例2：（1）在Rt^ABC中，NA=90,NB=45,AB=3,则UAC=、BC=、⑵在Rt^ABC中，NB=90,NC=30,AB=3,则UAC=、BC=、（3）在Rt^ABC中，NC=90,AC：AB=3：4,AB=25,则AC=、BC=、（4）、在Rt^ABC中，AB=6,AC=8,则BC=、例3：（1）如图，已知AB=13,BC=14,AC=15,AD^BC于D,求AD长、（2）已知^ABC中，AB=13,AC=15,AD^BC,且AD=12,求BC的长、例4：（1）在Rt^ABC中，NA=90,ZB=45,BC=6,求AC和BC、（2）在Rt^ABC中，NB=90,NC=30,BC=3,求AB和AC、（3）若直角三角形中，一斜边比一直角边大2,且另一直角边长为6,求斜边的长、（4）等腰三角形ABC的面积为12,底上的高AD为4,求它的腰长（5）等腰三角形的周长是20cm,底第1页共1页边上的高是6加，求它的面积、例5：（1）在4ABC中，NC=90,AB=6,BC=8,DE垂直平分AB,求BE的长、（2）在^ABC中，NC=90,AB=6,BC=8,AE平分NCAE,ED，AB,求BE的长、（3）如图，折叠长方形纸片ABCD,是点口落在边BC上的点F处，折痕为AE,AB=CD=6,AD=BC=10,试求EC的长度、2、勾股定理的逆定理：一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形•・・・••例1：每个小正方形的边长为1、（1）求AABC的面积（2）判断AABC的形状例2：如图，在四边形ABCD中，AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12加，/人=90,求四边形ABCD的面积、例3：如图，在^ABC中，CD是AB边上的高，AD=9,BD=1,CD=3试问：4ABC是直角三角形吗？为什么？例4：如图，在△ABC中，AB=17cm,BC=16cm,BC边上的中线AD=15cm,求AC3、勾股数：常见勾股数有：3、、；5、、；6、、；9、、；例：下列命题中，是假命题的是（）、A、在^ABC中，若NB=NC=NA,则^ABC是直角三角形B、在4ABC中，若a2=(b+c)第1页共1页(b—c),则4ABC是直角三角形C、在4ABC中，若NA：NB：NC=3：4：5,则4ABC是直角三角形D、在4ABC中，若a：b：c=5：4：3,则4ABC是直角三角形4、补充：①长方体盒子内最长的线段；②长方体盒子外小虫爬行的最短路线；①圆柱体盒子内最长的线段②圆柱体盒子外小虫爬行的最短路线例2：底面周长为12,高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B,则蚂蚁爬行的最短距离是()、A、10B、8C、5D、4例3：某开发区有一空地ABCD,如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，NB=90,AB=3m,BC=4m,AD=12m,CD=13m,若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需要投入多少元？5、勾股定理的应用例1：(1)一轮船以16nmi1e/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12nmi1e/h的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距(2)一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5m,消防车的云梯最大升长为13m,则第1页共1页云梯可以达到该建筑物的最大高度是（3）一棵树在离地面9m处断裂，树的顶部落在离底部12m处，树折断之前有m、例2：如图，梯子人8靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为7m,梯子的顶端B到地面的距离为24m，现将梯子的底端A向外移动到人，使梯子的底端A到墙根O的距离等于15m、同时梯子的顶端8下降至B，那BB等于（）A、3mB、4mC、5mD、6m课后练习1：如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）。（1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；⑵在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数、2：《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时、一辆“小汽车”在一条城市街道上直道行驶，如图某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由、3：如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且NQPN=30,点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖第1页共1页拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由、如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？4：如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1km,BD=3km,CD=3km现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在河CD边上选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用？第四章实数1、平方根：⑴定义：一般地，如果x2=a（a，0）,那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。⑵表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。⑶性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②零的平方根是零；③负数没有平方根。2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。3、算术平方根：⑴定义：一般地，如果x2=a（a，0）,那么这个正数乂就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。⑵表示方法：记作“”，读作“根号a”。⑶性质：①一个正数只有一个算术平方根；②零的算术平方根是零；③负数没有算术平方根。⑷注意的双重非负性：（5）第1页共1页4、立方根：⑴定义：一般地，如果x3=a那么这个数乂就叫做a的立方根（或三次方根）。⑵表示方法：记作“”，读作“三次根号a”。⑶性质：①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③零的立方根是零。⑷注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。⑸5、开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。6、实数