2023年中考数学二次函数压轴题汇编

2018年中考数学二次函数压轴题汇编1000字以下是2018年中考数学二次函数压轴题的汇编：1.二次函数图像向上开口，顶点坐标为$(3,-5)$，过点$(1,-11)$，求函数解析式。解：设所求函数为$f(x)=ax^2+bx+c$，代入已知条件得到以下三个方程组：\\begin{align}&f(3)=-5\\quad\\Rightarrow\\quad9a+3b+c=-5\\\\&f(1)=-11\\quad\\Rightarrow\\quada+b+c=-11\\\\&f(x)=ax^2+bx+c\\quad\\Rightarrow\\quadf'(x)=2ax+b\\end{align}因为图像向上开口，所以$a>0$。求出顶点对应的横坐标$x=-\\frac{b}{2a}=3$，代入上式3得到$b=-6a$。再将$b=-6a$代入上式2得到$c=-8a-11$。将$b=-6a$和$c=-8a-11$代入上式1得到$-33a=-32$，解得$a=\\frac{32}{33}$。因此所求函数的解析式为$f(x)=\\frac{32}{33}x^2-\\frac{64}{11}x-\\frac{619}{33}$。2.已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像经过点$(1,3)$，过点$(2,1)$的切线斜率为$-4$，求函数解析式。解：因为图像经过点$(1,3)$，所以有$f(1)=a+b+c=3$。又因为过点$(2,1)$的切线斜率为$-4$，所以有$f'(2)=4a+b=-4$。代入$f(1)=3$得到$b=-13-4a$。代入$f'(2)=4a+b=-4$得到$a=3$。因此$b=-13-4a=-25$，$c=f(1)-a-b=-3$。所以所求函数的解析式为$f(x)=3x^2-25x-3$。3.已知二次函数的图像过点$(2,1)$和$(4,-1)$，过点$(3,0)$的直线为该二次函数的切线，求函数解析式。解：因为过点$(3,0)$的直线为该二次函数的切线，所以在点$(3,0)$处二次函数的导数等于直线斜率。设所求函数为$f(x)=ax^2+bx+c$，代入已知条件得到以下三个方程组：\\begin{align}&f(2)=a(2)^2+b(2)+c=1\\\\&f(4)=a(4)^2+b(4)+c=-1\\\\&f'(3)=2a(3)+b=k\\qquad\\text{其中}k\\text{为直线斜率}\\end{align}联立以上三个方程解得$a=-\\frac{1}{2}$，$b=\\frac{11}{2}$，$c=-8$。因此所求函数的解析式为$f(x)=-\\frac{1}{2}x^2+\\frac{11}{2}x-8$。4.原点$O$到抛物线$y=ax^2+bx+c$的距离恒为定值$k$，求$a$的值。解：首先设抛物线的顶点坐标为$(h,k)$，则抛物线的解析式为$y=a(x-h)^2+k$。由于原点到抛物线的距离为$k$，所以有$\\frac{|ah^2+k|}{\\sqrt{a^2+1}}=k$。根据图像性质可以知道，抛物线的轴线与横轴平行，因此$h=0$。将$h=0$代入上式得到$|k|=k\\sqrt{a^2+1}$，解得$a=0$或者$a=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$，因此$a$的值为$0$或者$\\frac{\\sqrt{3}}{3}$。5.已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$经过点$(1,2)$，$(2,4)$，$(3,6)$，求函数解析式。解：由已知条件可得到以下三个方程组：\\begin{align}&f(1)=a+b+c=2\\\\&f(2)=4a+2b+c=4\\\\&f(3)=9a+3b+c=6\\end{align}将以上方程组整理成增广矩阵并进行高斯消元，解得$a=0$，$b=2$，$c=0$。因此所求函数的解析式为$f(x)=2x$。6.二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$与$g(x)=2x-1$在$x=2$处相切，求$a$的值。解：因为$f(x)$和$g(x)$在$x=2$处相切，所以它们在$x=2$处的函数值相等，且它们在$x=2$处的导数也相等。因此有以下两个方程：\\begin{align}&f(2)=g(2)\\quad\\Rightarrow\\quad4a+2b+c=3\\\\&f'(2)=g'(2)\\quad\\Rightarrow\\quad4a+b=2\\end{ali