大学线性代数课件第四章第五节 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构

第四章第五节齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构线性方程组有解的判定条件问题：证必要性.(),,nDnAnAr阶非零子式中应有一个则在设=(),根据克莱默定理个方程只有零解所对应的nDn从而定理8这与原方程组有非零解相矛盾，().nAr<即充分性.(),nrAr<=设.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０，即可得方程组的一个非零解

.于是方程的个数小于未知量的个数，所以方程一定有非零解。齐次线性方程组的解的性质（可推广至有限多个解的线性组合）解向量：每一组解都是一个n维向量性质1：若是（1）的解，则仍然是（1）的解。解空间:的所有解向量的集合，对加法和数乘都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组的解空间。记为V例1

求下列线性方程组的解：x1–x2+5x3–x4=0,x1+x2–2x3+3x4=0,3x1–x2+8x3+x4=0,

x1+3x2–9x3+7x4=0.解最后一个矩阵所对应的线性方程组为取x3=C1,x4=C2得方程组的解为：C1,C2R.我们要寻找V中的一组解向量，它们的线性组合构成（1）的所有解。这就是齐次线性方程组的基础解系。设是的解，满足线性无关；的任一解都可以由线性表示。则称是的一个基础解系。定理9：设是矩阵，如果则齐次线性方程组的基础解系存在，且每个基础解系中含有个解向量。证明分三步:1.以某种方法找个解。2.证明这个解线性无关。3.证明任一解都可由这个解线性表示。证明：因为r(A)=r<n.所以A至少有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式全为零.

不妨设A的左上角

的一个r阶子式不为零，此时用初等行变换将A化为阶梯形形如:进一步，可以用初等行变换将A化为Jordan阶梯形矩阵0现对取下列组数：依次得从而求得原方程组的个解：下面证明是齐次线性方程组解空间的一个基．由于个维向量线性无关，所以个维向量亦线性无关.线性无关，加长无关由于是的解故也是的解.？？？课后思考

所以是齐次线性方程组解空间的一个基.由此得AX=0的同解方程组如下：c11x1+c12x2+…+c1rxr+c1,r+1xr+1+…+c1nxn=0,

c22x2+…+c2rxr+c2,r+1xr+1+…+c2nxn=0,crrxr+cr,r+1xr+1+…+crnxn=0.………………逐步回代可得方程组的一般解为x1=d11xr+1+d12xr+2+…+d1,nrxn,x2=d21xr+1+d22xr+2+…+d2,nrxn,………………xr=dr1xr+1+dr2xr+2+…+dr,nrxn,其中xr+1,…,xn为任意实数.将xr+1,xr+2,…,xn取下列nr

组值则可得nr个解向量：X1=[d11,…,dr1,1,0,…,0]TX2=[d12,…,dr2,0,1,…,0]T…………Xnr=[d1,

nr,…,dr,nr,0,…,1]T易知解向量X1,X2,…,Xnr线性无关.下证AX=0的每一解均可由X1,X2,…,Xnr线性表示.将一般解中的自由未知量xr+1,xr+2,…,xn任取一组数：k1,k2,…,knr,得相应解为x1=k1d11+k2d12+…+knrd1,

nrx2=k1d21+k2d22+…+knrd2,

nr………………xr=k1dr1+k2dr2+…+knrdr,

nrxr+1=k1xr+2=k2

xn=knr………………写成向量形式：X=[x1,…,xn]T=k1X1+k2X2+…+knrXnr所以X1,X2,…,Xnr是AX=0的解空间的一组基，从而AX=0的解空间是nr

维的.注：的基础解系实际上就是解空间的一个基。(1)(2)证明过程提供了一种求解空间基（基础解系）的方法。(3)基（基础解系）不是唯一的。(4)当时，解空间是当时，求得基础解系是则是的解，称为通解。齐次线性方程组解的结构的通解是推论齐次线性方程组As×nX=0满足：r(A)=r<n，则方程组的1）每个基础解系含有

n-r个解向量.2）任意

n-r+1个解向量线性相关.3）任意

n-r个线性无关解向量构成一个基础解系.是此齐次方程组的两个线性无关的解．

因为Ax=

0

的基础解系含有两个解，因此它的两个线性无关

证根据齐次方程组解的性质可知，组Ax=0的两个解．也是这个方程组的一个基础解系,其中数k≠0.也线性无关，所以向量组例2：例

3:

求下列齐次方程组的通解。解：初等行变换

上页最后一行最简形式矩阵对应的方程组为法1：先求通解，再求基础解系即是自由未知量。令则即为任意常数。法2：先求