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文档简介

第

2.5节

几类特殊矩阵对称矩阵与反对称矩阵对角矩阵主对角线上的元素不全为零，其余的元素全都为零的方阵称为对角矩阵，如主对角线为

n

阶对角矩阵,其中未标记出的元素全为零,即aij

=0,i

j,

i,

j=1,2,…,

n

,对角矩阵常记为A

=diag(a

,a

,…,a

).1122nn例如对角矩阵对角矩阵的运算有以下简单性质:性质1

对角矩阵的和仍然是对角矩阵.性质2

数与对角矩阵的乘积仍然是对角矩阵.性质3

同阶对角矩阵的乘积仍然是对角矩阵,且它们的乘积满足矩阵乘法的交换律.性质4

对角矩阵A

与它的转置矩阵A

相等,T即

A=AT.性质5

对角矩阵A可逆的充分必要条件是主对角线上的元素全不为零，即a

(i=1,2,…n)ii全不为零，此时主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数量矩阵，记为kE

．性质6

n阶数量矩阵与所有n阶方阵可交换，即对任意一个n阶方阵Ａ都有(kE)A

=A(kE)．证明

由数乘矩阵的法则得(kE)A

=k(EA)=k(AE)=A(kE)．三角形矩阵主对角线下(上)方的元素全为零的方阵称为上

(下)三角形矩阵.

例如上三角形矩阵下三角形矩阵

2.5.3

对称矩阵与反对称矩阵在方阵A=(a

)

中,如果a

=a

(i,j

=1,2,ij

nijji…,n)或A=A，则称A

为对称矩阵.例如T实对称矩阵显然，对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵都是对称矩阵．在方阵A=(a

)

中,如果果a

=-a

(i,j

=1,2,ij

nijji…,n)或A

=－A，则称A

为反对称矩阵.T反对称矩阵由定义可知，反对称矩阵主对角线上的元素一定为零．性质7

对称（反对称）矩阵的和、差仍然是对称（反对称）矩阵．性质8

数乘对称（反对称）矩阵仍然是对称（反对称）矩阵．需要注意的是：两个对称（对对称）矩阵的乘积，不一定是对称（反对称）矩阵．例如都是对称矩阵，但是它们的乘积矩阵去不是对称矩阵．又如都是反对称矩阵，但是它们的乘积矩阵去不是反对称矩阵．性质9

奇数阶反对称矩阵的行列式等于零．证明，并且矩阵因为矩阵A

满足A

=ATA的阶数n是奇数，故有det(-A)=

(-1)

detA

=-

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