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高等数学Ⅱ-2试卷A201106参考答案一、填空题（每小题2分，共10分）1.已知，则2.设，3.设，则4.展开成为的幂级数形式时，其收敛域是5.方程的通解为二、计算题（一）（每小题7分，共21分）1.求函数极限解：所以2.求直线在平面上的投影直线方程。解：过直线L的平面束方程为：，即其法线向量为，又平面的法向量为，因此应有代入平面束方程得故所求投影直线方程为3.设函数具有二阶连续偏导数，求解：三、计算题（二）（每小题7分，共21分）1.计算三重积分，其中是由曲面与所围成。解：两曲面的交线为，在的投影为。利用柱面坐标，另解：2.求上半球面被圆柱面所截，在圆柱面内部份的面积。解：利用极坐标圆柱对应的极坐标方程为3.求曲线积分，其中为抛物线，从到解：令在全平面有连续偏导数。因为，故积分与路径无关，其势函数故解：该方程为一阶线性微分方程，由常数变易公式得通解利用初始条件得，特解为4.设连续，且满足，求解：由连续知，可导，从而可导，且，进一步有二阶可导。，即满足方程及初始条件。下面求解此初值问题。对应齐次方程的特征方程为，特征根，齐次方程的通解为因不是特征方程的根，设是原方程的一个解，代入原方程易知，故原方程的通解为代入初始条件得，从而五、综合题（第1，2题各7分，第3题6分，共20分）1.证明曲面上任一点的切平面在各坐标轴上截距之和为常数，在第一卦限上。证：已知曲面上点处法线向量为，切平面方程为即切平面在三坐标轴上的截距分别为，且。2.设，级数发散，为一正常数，证明级数发散。证明：若正项级数收敛，则由比较比判别法知收敛，与已知矛盾

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