全国通用版讲义第二章 点直线平面之间的位置关系2-3-3-2-3-4

直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质学习目标1.掌握空间中线面、面面垂直的性质定理.2.能够运用线面、面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.理解线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系．知识点一直线与平面垂直的性质定理思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？答案平行．梳理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b图形语言知识点二平面与平面垂直的性质定理思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．梳理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言1．若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α，则必有l⊥β.(×)2．已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．(×)类型一线面垂直性质定理的应用例1如图，已知正方体A1C.(1)求证：A1C⊥B1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.考点直线与平面垂直的性质题点应用线面垂直的性质定理判定线线平行证明(1)如图，连接A1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1.∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.又∵CC1∩A1C1＝C1，A1C1，CC1⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥平面A1C1C.又∵A1C⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.(2)连接B1A，AD1.∵B1C1∥AD，且B1C1＝AD∴四边形ADC1B1为平行四边形，∴C1D∥AB1.∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1.又∵MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，∴MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又∵AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，∴A1C⊥平面AB1D1.∴A1C∥MN.反思与感悟证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．跟踪训练1如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.考点直线与平面垂直的性质题点应用线面垂直的性质定理判定线线平行证明∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l.同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴l⊥平面PAB.又∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a.∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，PB⊂平面PAB，∴a⊥平面PAB.∴a∥l.类型二面面垂直性质定理的应用例2如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质判定线线垂直证明如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.反思与感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．跟踪训练2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为边AD的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质判定线线垂直证明(1)平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又BG⊂平面ABCD，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又BG∩PG＝G，PG，BG⊂平面PBG，∴AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.类型三垂直关系的综合应用例3如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)．(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)是否存在实数λ，使得平面BEF⊥平面ACD.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题(1)证明∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)解假设存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD.由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，BE⊂平面BEF，∴BE⊥平面ACD.又∵AC⊂平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝eq\r(2)，∴AB＝eq\r(2)tan60°＝eq\r(6)，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(7).由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝eq\f(6,\r(7))，∴λ＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(6,7).故当λ＝eq\f(6,7)时，平面BEF⊥平面ACD.反思与感悟立体几何中的探索性问题(1)探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么．解答此类问题，先观察与尝试给出条件再给出证明．(2)探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么．解答此类问题，常从条件出发，探索出要求的结论是什么．对于探索的结论是否存在问题．求解时，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾的结论．跟踪训练3如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题(1)证明设G为AD的中点，连接PG，BG，BD，如图．因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，所以△ABD为等边三角形，又因为G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PGB，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)解当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.如图，设F为PC的中点，则在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而PB∩GB＝B，EF∩DE＝E，PB，GB⊂平面PGB，EF，DE⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面PGB，由(1)得，PG⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，所以PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.1．从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行考点直线与平面垂直的性质题点应用线面垂直的性质定理判定线线平行答案B2．给出下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案D3．已知平面α⊥平面β，则下列命题中真命题的个数是()①α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任意一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α.A．4B．3C．2D．1考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质判定线面垂直答案C解析①设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线，为真命题；②β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线，为真命题；③α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题；④垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直，为假命题．4．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.考点平面与平面垂直的性质题点有关面面垂直性质的计算答案6解析∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，故EF＝AD＝6.5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SDC⊥平面SBC.考点平面与平面垂直的性质题点面面垂直性质的综合应用证明因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.又平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面SDC.又因为BC⊂平面SBC，所以平面SDC⊥平面SBC.1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：一、选择题1．设平面α⊥平面β，若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直答案C解析当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．2．已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m⊥n))⇒n∥α②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥β,n⊥β))⇒m∥n③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m⊥β))⇒α∥β④eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊂α,n⊂β,α∥β))⇒m∥n其中正确命题的序号是()A．②③B．③④C．①②D．①②③④考点直线与平面垂直的性质题点应用线面垂直的性质定理判定线线平行答案A3．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案D解析∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确．4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质判定线线垂直答案B解析因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.5．如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质判定线线垂直答案A解析在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，D在平面ABC内的射影H必在AB上．故选A.A．BD1∥B1CB．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥ACD．BD1⊥平面AB1C考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案C解析连接BD.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC，∴AC⊥BD.又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1.∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1.故选C.7．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为45°和30°.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于()A．2∶1B．3∶1C．3∶2D．4∶3考点平面与平面垂直的性质题点有关面面垂直性质的计算答案A解析如图：由已知得AA′⊥平面β，∠ABA′＝30°，BB′⊥平面α，∠BAB′＝45°.设AB＝a，则BA′＝eq\f(\r(3),2)a，BB′＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△BA′B′中，A′B′＝eq\f(1,2)a，∴eq\f(AB,A′B′)＝2.8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD，则在四面体A－BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC考点平面与平面垂直的性质题点面面垂直性质的综合应用答案D解析由题意得，BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ACD，∴AB⊥平面ADC，∴平面ABC⊥平面ADC.二、填空题9．a，b是异面直线，直线l⊥a，l⊥b，直线m⊥a，m⊥b，则l与m的位置关系是_____．考点直线与平面垂直的性质题点应用线面垂直的性质定理判定线线平行答案平行解析由线面垂直的性质定理可得．10．如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质判定线线垂直答案6解析∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，CO⊂平面ABC，∴CO⊥平面ABD.∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．∴图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．11．如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是______．(填上所有正确命题的序号)考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案②④解析因为PA⊂平面MOB，所以①不正确；因为MO∥PA，而且MO⊄平面PAC，所以②正确；OC不垂直于AC，所以③不正确；因为BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，所以④正确．三、解答题12．如图，三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC，求证：平面PAB⊥平面PBC.考点平面与平面垂直的性质题点面面垂直性质的综合应用证明∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，PA⊂平面PAC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.13．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，PA⊥AD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE，∴四边形ABED为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，四边形ABED为矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.∵PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF.∵CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF，∴CD⊥平面BEF.∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.四、探究与拓展14．如图，AA1，BB1为圆柱的母线，BC是底面圆的直径，D，E分别是BB1，A1C的中点．(1)证明：DE∥平面ABC；(2)证明：A1B1⊥平面A1AC.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明证明(1)如图，取AA1的中点F，连接DF，EF.因为D，E分别是BB1，A1C的中点，