全国通用版讲义第二章 点直线平面之间的位置关系滚动训练三

滚动训练三(§2.2～§2.3)一、选择题1．下列命题正确的是()A．两两相交的三条直线可确定一个平面B．两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案C解析对于A，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故A错误；对于B，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；对于C，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故C正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或共面直线，故D错误．故选C.2．设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为真命题的是()①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X，Y是平面；④X，Y，Z是平面．A．①②B．①③C．③④D．②③考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案D解析对于①X，Y，Z是直线，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三条棱：对于②X，Y是直线，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题，根据线面垂直的性质定理可知正确；③Z是直线，X，Y是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题，根据垂直于同一直线的两个平面平行，故正确；④X，Y，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三个面．故选D.3．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若m⊂α，α⊥β，则m⊥βB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊥β，则m∥αD．若m⊥α，m∥β，则α⊥β考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案D解析由m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，知在A中，若m⊂α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，故A错误；在B中，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故B错；在C中，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故C错误；在D中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．4．正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为eq\f(\r(2),2)，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为()A．30°B．60°C．45°D．90°考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角答案B解析过顶点作垂线，交底面于正方形对角线交点O，连接OE，∵正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为eq\f(\r(2),2)，∴PO＝eq\f(\r(2),2)，AB＝eq\r(3)，AC＝eq\r(6)，PA＝eq\r(2)，OB＝eq\f(\r(6),2)，∵OE与PA在同一平面，是△PAC的中位线，∴OE∥PA且OE＝eq\f(1,2)PA，∴∠OEB即为PA与BE所成的角，OE＝eq\f(\r(2),2)，在Rt△OEB中，tan∠OEB＝eq\f(OB,OE)＝eq\r(3)，∴∠OEB＝60°.故选B.5．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④直线B1D1与BC所成的角为45°.其中正确结论的个数为()A．4B．3C．2D．1考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案A解析在①中，由正方体的性质得，BD∥B1D1，∴BD∥平面CB1D1，故①正确；在②中，由正方体的性质得AC⊥BD，CC1⊥BD，又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1，∴AC1⊥BD，故②正确；在③中，由正方体的性质得BD∥B1D1，由②知，AC1⊥BD，∴AC1⊥B1D1，同理可证AC1⊥CB1，故AC1⊥平面CB1D1内的两条相交直线，∴AC1⊥平面CB1D1，故③正确；在④中，异面直线B1D1与BC所成的角就是直线BC与BD所成的角，故∠CBD为异面直线B1D1与BC所成的角，在等腰直角△BCD中，∠CBD＝45°，故直线B1D1与BC所成的角为45°，故④正确．故选A.6．三棱锥P－ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB＝BC＝CA＝2eq\r(3)，平面PAB⊥平面ABC，且三棱锥P－ABC的体积的最大值为()A．4B．3C．4eq\r(3)D．3eq\r(2)考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案B解析根据题意半径为2的球面上，且AB＝BC＝CA＝2eq\r(3)，△ABC是截面为大圆上的三角形，设圆心为O，AB的中点为N，ON＝eq\r(22－3)＝1，∵平面PAB⊥平面ABC，∴三棱锥P－ABC的体积最大时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PN＝eq\r(22－1)＝eq\r(3)，∴三棱锥P－ABC的体积的最大值为eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(3))2×eq\r(3)＝3，故选B.7．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝2BC，E是CD上一点，若AE⊥平面PBD，则eq\f(CE,ED)的值为()A.eq\f(3,2)B.eq\f(5,2)C．3D．4考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题答案C解析∵PD⊥底面ABCD，AE⊂底面ABCD，∴PD⊥AE，当AE⊥BD时，AE⊥平面PBD，此时△ABD∽△DAE，则eq\f(AB,AD)＝eq\f(AD,DE)，∵AB＝2BC，∴DE＝eq\f(1,4)AB＝eq\f(1,4)DC，∴eq\f(CE,ED)＝3.故选C.8．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°考点线面平行、垂直的综合应用题点直线与平面所成的角答案D解析∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB，∴tan∠ADP＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(2AB,2AB)＝1，∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.二、填空题9．二面角α－l－β为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是______．考点空间角题点空间角的综合应用答案60°解析过直线a上一点作b的平行线b′，则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知，a与b′的夹角为60°，所以a与b所成角的大小是60°.10．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE异面，其中正确结论的序号是________．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案①②③解析∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是BD和AE的中点，取AD的中点G，连接MG，NG，易得AD⊥平面MNG，进而得到AD⊥MN，故①正确；连接AC，CE，根据三角形中位线定理，可得MN∥CE，由线面平行的判定定理，可得②MN∥平面CDE及③MN∥CE正确，④MN，CE异面错误；故答案为①②③.11．我们将一个四面体四个角中直角三角形的个数定义为此四面体的直度，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，AC⊥BC，则四面体ABCD的直度为________．考点空间中的垂直问题题点空间中的垂直问题答案4解析∵在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，∴AD⊥AB，AD⊥AC，AD⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩AD＝A，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥CD，∴四面体ABCD的四个面均为直角三角形，∴四面体ABCD的直度为4.三、解答题12．如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC；(2)AF⊥平面EDB.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明证明(1)取AB的中点M，连接FM，MC.∵F，M分别是BE，BA的中点，∴FM∥EA，FM＝eq\f(1,2)EA＝a.∵EA，CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，∴CD∥FM.又∵DC＝a，∴FM＝DC，∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC.∵FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC，∴FD∥平面ABC.(2)∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB.又∵AE⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，∴CM⊥AE，又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面EAB，∴CM⊥平面EAB，又AF⊂平面EAB，∵CM⊥AF.又∵CM∥FD，∴FD⊥AF.∵F是BE的中点，EA＝AB，∴AF⊥BE.又∵FD∩BE＝F，FD，BE⊂平面EDB，∴AF⊥平面EDB.13．如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.(1)求证：平面AEC⊥平面ABE；(2)已知点F在BE上，若DE∥平面ACF，DC＝CE＝eq\f(1,2)BC＝3，求三棱锥A－BCF的体积．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题(1)证明∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC.∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面BCE.∵CE⊂平面BCE，∴CE⊥AB.∵CE⊥BE，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，AB∩BE＝B，∴CE⊥平面ABE.∵CE⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面ABE.(2)解连接BD交AC于点O，连接OF.∵DE∥平面ACF，DE⊂平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，∴DE∥OF.又∵矩形ABCD中，O为BD中点，∴F为BE中点，即BF＝FE.在Rt△BEC中，∵BC＝6，EC＝3，∴BE＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3).∴S△BFC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×3eq\r(3)×3＝eq\f(9\r(3),4).又AB＝DC＝3，∴VA－BCF＝eq\f(1,3)×eq\f(9\r(3),4)×3＝eq\f(9\r(3),4).四、探究与拓展14．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为eq\f(9,4)，底面是边长为eq\r(3)的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)考点空间角题点空间角的综合运用答案B解析如图所示，作PO⊥平面ABC，则O为△ABC的中心，连接AP，AO.S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)×sin60°＝eq\f(3\r(3),4).∴＝S△ABC×OP＝eq\f(3\r(3),4)×OP＝eq\f(9,4)，∴OP＝eq\r(3).又OA＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)×eq\f(2,3)＝1，∴tan∠OAP＝eq\f(OP,OA)＝eq\r(3)，又0<∠OAP<eq\f(π,2)，∴∠OAP＝eq\f(π,3).15．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，PA＝1，PA⊥平面ABCD，点E是PC的中点，F是AB的中点．(1)求证：BE∥平面PDF；(2)求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．考点空间角题点空间角的综合运用(1)证明取PD的中点为M，连接ME，MF.∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线，∴ME∥CD且ME＝eq\f(1,2)CD.∵F是AB的中点且ABCD是菱形，AB∥CD且AB＝CD，∴ME∥AB且ME＝eq\f(1,2)AB.∴ME∥FB且ME＝FB.∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF.又BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF.(2)解由(1)得BE∥MF，∴直线BE与平面PAD所成角就是直线MF与平面PAD所成角．取AD的中点G，连接BD，BG.∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊥AD，BG⊂平面ABCD，∴BG⊥平面PAD，过F作FH∥BG，交AD于H，则FH⊥平面PAD，连接MH，则∠FMH就是MF与平面PAD所成的角．又F是AB的中点，∴H是AG的中点．连接MG，又M是PD的中点，∴MG∥PA且MG＝eq\f(1,2)PA.在Rt△MGH中，MG＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(1,2)，GH＝eq\f(1,4)AD＝eq\f(1,2)，∴MH＝eq\f(\r(2