全国通用版讲义第二章 点直线平面之间的位置关系章末检测试卷（二）

章末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．垂直于同一条直线的两条直线一定()A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案D解析两条直线同时垂直于同一条直线，这两条直线可能平行、相交、异面．2.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝2eq\r(2)，则异面直线BD与AC所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角答案C解析如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝eq\r(2)，所以∠BDE＝60°.3．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则()A．b⊥αB．b⊂αC．b∥αD．b∥α或b⊂α考点线面平行的判定题点线面平行的判定答案D解析当b⊂α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当b⊥α时，a⊥α，则a∥b.所以直线a⊥b，且a⊥α时，b∥α或b⊂α，故选D.4．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是()A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案D解析∵A1B1∥DC，A1B1＝DC，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，∵A1D⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C，故选D.5．已知PA⊥矩形ABCD，则下列结论中不正确的是()A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PD⊥BDD．PA⊥BD考点直线与平面垂直的性质题点根据线面垂直的性质判定线线垂直答案C解析如图所示，由于PA⊥平面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PA⊥BD(即D正确)，BC⊥PA，BC⊥BA，而PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB(即A正确)．同理PD⊥CD(即B正确)，PD与BD不垂直，所以C不正确．6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案B解析若m⊂β，α⊥β，则m与α的关系不确定，故A错误；若m∥α，则存在直线n⊂α，使m∥n，又由m⊥β，可得n⊥β，进而由面面垂直的判定定理得到α⊥β，故B正确；若α⊥β，α⊥γ，则β与γ关系不确定，故C错误；若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α与β可能平行，也可能相交(此时交线与m，n均平行)，故D错误．故选B.7．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“若α∥β，且α⊥γ，则β⊥γ”是真命题．若把α，β，γ中的任意两个平面换成直线，另一个保持不变，则在所得到的所有新命题中，真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案C解析若α，β换为直线a，b，则命题化为“若a∥b，且a⊥γ”，则b⊥γ，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“若a∥β，且a⊥b，则b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“若a∥α，且b⊥α，则a⊥b”，此命题为真命题．故真命题有2个．8．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案C解析由已知AC＝AB，E为BC的中点，得AE⊥BC.又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确．9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案D解析∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l.∵AB∥l，∴AB∥m.故A一定正确．∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m.故B一定正确．∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α.∴AB⊄β，l⊂β，∴AB∥β.故C也正确．∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．10．如图所示，空间四边形PABC的各边都相等，D，E，F，G分别是AB，BC，CA，AP的中点，下列四个结论中正确的个数为()①DF∥平面PBC；②AB⊥平面PDC；③平面PEF⊥平面ABC；④平面PAE⊥平面PBC.A．3B．2C．1D．0考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案A解析∵BC∥DF，DF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DF∥平面PBC，故①正确；∵PD⊥AB，CD⊥AB，PD∩CD＝D，∴AB⊥平面PDC，故②正确；∵PE⊥BC，AE⊥BC，PE∩AE＝E，∴BC⊥平面PAE，∵BC⊂平面PBC，∴平面PAE⊥平面PBC，故④正确．只有③错误，故选A.11．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝BC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是()①EF与BB1垂直；②EF⊥平面BCC1B1；③EF与C1D所成的角为45°；④EF∥平面A1B1C1D1.A．②③B．①④C．③D．①②④考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案B解析显然①④正确，②③错误．12．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°考点直线与平面所成的角题点直线与平面所成的角答案C解析当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥平面ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案②④14．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是________．考点直线与平面垂直的判定题点三角形的四心答案垂直解析∵PA＝PB＝PC，∴P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上．又外心在BC上，设为O，则PO⊥平面ABC.又PO⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABC.15．如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.考点平面与平面平行的性质题点与面面平行性质有关的计算答案eq\f(20,9)解析A∉a，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG，所以eq\f(AF,AC)＝eq\f(AE,AB).又eq\f(EG,BD)＝eq\f(AE,AB)，所以eq\f(AF,AC)＝eq\f(EG,BD).于是EG＝eq\f(AF·BD,AC)＝eq\f(5×4,5＋4)＝eq\f(20,9).16.如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题答案(6，＋∞)解析由题意知：PA⊥DE，又PE⊥DE，PA∩PE＝P，∴DE⊥平面PAE，又AE⊂平面PAE，∴DE⊥AE.易证△ABE∽△ECD.设BE＝x，则eq\f(AB,CE)＝eq\f(BE,CD)，即eq\f(3,a－x)＝eq\f(x,3).∴x2－ax＋9＝0，由Δ>0，a>0，解得a>6.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)如图(1)，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD；(2)如图(2)，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，求证：平面MNQ∥平面PBC.考点空间中的平行问题题点空间中的平行问题证明(1)E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴EF∥AD.又AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)∵点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，∴MQ∥AD，QN∥PB.∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴MQ∥BC.∵MQ∩QN＝Q，PB∩BC＝B，MQ，QN⊂平面MNQ，PB，BC⊂平面PBC，∴平面MNQ∥平面PBC.18．(12分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2eq\r(2)，∠BAD＝∠CDA＝45°.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明：CD⊥平面ABF.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明(1)解因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED，故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD，故ED⊥CD.在Rt△CDE中，因为CD＝1，ED＝2eq\r(2)，所以CE＝eq\r(CD2＋ED2)＝3，所以cos∠CED＝eq\f(ED,CE)＝eq\f(2\r(2),3).故异面直线CE与AF所成角的余弦值为eq\f(2\r(2),3).(2)证明如图，过点B作BG∥CD交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°.由∠BAD＝45°可得BG⊥AB，从而CD⊥AB.又因为CD⊥FA，FA∩AB＝A，FA，AB⊂平面ABF，所以CD⊥平面ABF.19.(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题(1)证明∵PA⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．20．(12分)如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求该五面体的体积．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明(1)证明连接AE.∵四边形ADEB为正方形，∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，∵G是EC的中点，∴GF∥AC.又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)证明∵四边形ADEB为正方形，∴EB⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，BE⊂平面ABED，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.∵CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.又∵BC∩BE＝B，BC，BE⊂平面EBC，∴AC⊥平面EBC.(3)解取AB的中点N，连接CN.∵AC＝BC，∴CN⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABED.∵△ABC是等腰直角三角形，∴CN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2).∵五面体C－ABED是四棱锥，∴V四棱锥C－ABED＝eq\f(1,3)S四边形ABED·CN＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).21．(12分)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.(1)求证：AD′⊥BE；(2)求四棱锥D′－ABCE的体积；(3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题(1)证明根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，∴∠DEA＝∠CEB＝45°，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE.∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，∴BE⊥平面D′AE，∵AD′⊂平面D′AE，∴AD′⊥BE.(2)解取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE.∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，D′F⊂平面D′AE，∴D′F⊥平面ABCE，∴VD′－ABCE＝eq\f(1,3)S四边形ABCE·D′F＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4).(3)解如图所示，连接AC交BE于Q，假设在D′E上存在点P，使得D′B∥平面PAC，连接PQ.∵D′B⊂平面D′BE，平面D′BE∩平面PAC＝PQ，∴D′B∥PQ，∴在△EBD′中，eq\f(EP,PD′)＝eq\f(EQ,QB).∵在梯形ABCE中，eq\f(EQ,QB)＝eq\f(EC,AB)＝eq\f(1,2)，∴eq