信号与线性系统分析第一章

先修课后续课程《高等数学》《数字信号处理》《线性代数》《通信原理》《复变函数》……《电路分析基础》

课程性质该课程是将学生从电路分析的知识领域引入信号处理与传输领域的关键性课程，在教学环节中起着承上启下的作用

。现在是1页\一共有82页\编辑于星期三

与《电路分析》比较，更抽象，更一般化；应用数学知识较多，用数学工具分析物理概念；(信号与系统课程的核心，是教会我们如何利用数学工具，解决实际工程问题)主要工具：微分、积分、线性代数、复变函数、微分方程、差分方程；课程特点现在是2页\一共有82页\编辑于星期三主要内容信号与系统课程的知识结构，可以概括为一个任务，两种系统，两类方法，三大变换一个任务：分析系统对信号的响应两种系统：连续时间系统，离散时间系统两类方法：时域法，变换域法三大变换：傅里叶变换，拉斯变换，z变换现在是3页\一共有82页\编辑于星期三注重物理概念与数学分析之间的对照，注意分析结果的物理解释；在学习中要淡化数学背景，不要在繁琐的数学中过多纠缠，打破对课程的恐惧感；同一问题可有多种解法，应寻找最简单、最合理的解法，比较各方法之优劣；不要当成数学课程来学习；学习方法要做到：理解概念、掌握方法、多做多练、融会贯通。现在是4页\一共有82页\编辑于星期三(1)信号与系统（第二版）上、下册

郑君里、应启珩、杨为理北京.高等教育出版社.

2000年5月(2)Signalsandsystems（信号与系统）

ALANV.OPPENHEIM（刘树棠译）

西安.西安交通大学出版社,1997(3)信号与线性系统

管致中等北京.高等教育出版社,1992等等…参考书目现在是5页\一共有82页\编辑于星期三作业要求---每章一次,作业布置后一周后 交；独立完成,要有过程，不能只有答案；成绩构成---平时成绩（出勤、作业）+考试成绩考试方式---闭卷笔试其他问题现在是6页\一共有82页\编辑于星期三章节与学时分配第1章信号与系统（6学时）第2章连续系统的时域分析（6学时）第3章离散系统的时域分析（6学时）第4章傅里叶变换和系统的频域分析（16学时）第5章连续系统的S域分析（6学时）现在是7页\一共有82页\编辑于星期三本章内容1.1绪言1、信号的概念2、系统的概念1.2信号的描述与分类1、信号的描述2、信号的分类1.3信号的基本运算1、加法和乘法2、时间变换1.4阶跃函数和冲激函数一、阶跃函数二、冲激函数现在是8页\一共有82页\编辑于星期三三、冲激函数的性质1.5系统的描述一、系统的数学模型二、系统的框图表示1.6系统的特性和分析方法现在是9页\一共有82页\编辑于星期三1.1绪言一、概念1、信号：信息的表现形式，承载信息的工具。光、电、声音、图像….信号处理：对信号进行某种加工或变换。2、系统：产生、传输或处理信号的客观实体。由若干相互作用相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。如：通信系统、控制系统、计算机系统…现在是10页\一共有82页\编辑于星期三信号与系统常常紧密地联系在一起。没有信号的系统没有任何意义。系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。二、信号和系统的联系现在是11页\一共有82页\编辑于星期三系统的研究方法包括：系统分析：研究系统对于输入激励信号所产生的输出响应；系统综合：按某种需要提出对于给定激励信号的响应，再据此设计具体的系统；本课程的研究方法本课程的讨论范围着重系统分析，以通信系统和控制系统的基本问题为主要背景，研究信号进过系统传输或处理的一般规律。现在是12页\一共有82页\编辑于星期三一、信号的描述信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。描述信号的常用方法:表示为时间的函数/序列；信号的图形表示--波形“信号”与“函数”两词常相互通用。信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流1.2信号的描述和分类现在是13页\一共有82页\编辑于星期三二、信号的分类1.确定信号（规则信号）不确定信号（随机信号）可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号或规则信号。如正弦信号。若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为随机信号或不确定信号。研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只讨论确定信号。现在是14页\一共有82页\编辑于星期三确定信号与随机信号波形

现在是15页\一共有82页\编辑于星期三连续时间信号：在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。时间和幅值都为连续的信号称为模拟信号。2.连续信号和离散信号根据信号定义域的特点：连续时间信号离散时间信号现在是16页\一共有82页\编辑于星期三离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。若幅值也离散就为数字信号。只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余无定义。如右图的序列f(t)仅在一些离散时刻：tk(k=0,±1,±2,…)才有定义，其余时间无定义。现在是17页\一共有82页\编辑于星期三3.周期信号和非周期信号

根据信号在定义区间的变化规律分为：周期信号(periodsignal)：在定义(-∞，∞)区间，每隔一定时间T(或整数N），按相同规律重复变化的信号。f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。非周期信号：不具有周期性的信号。现在是18页\一共有82页\编辑于星期三例1，判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt现在是19页\一共有82页\编辑于星期三解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信号，其角频率和周期分别为ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2π。（2）cos2t和sinπt的周期分别为T1=πs，T2=2s，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。现在是20页\一共有82页\编辑于星期三现在是21页\一共有82页\编辑于星期三例3判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。

（1）f2(k)=sin(2k)（2）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)现在是22页\一共有82页\编辑于星期三解：（1）sin(2k)的数字角频率为β1=2rad；由于2π/β1=π为无理数，故f2(k)=sin(2k)为非周期序列。（2）sin(3πk/4)和cos(0.5πk)的数字角频率分别为β1=3π/4rad，β2=0.5πrad由于2π/β1=8/3，2π/β2=4为有理数，故它们的周期分别为N1=8，N2=4，故f1(k)为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。由上面几例可看出：①连续正弦信号一定是周期信号而正弦序列不一定是周期序列。②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。现在是23页\一共有82页\编辑于星期三实信号和复信号指数函数复指数现在是24页\一共有82页\编辑于星期三1.3信号的基本运算一、信号的＋、－、×运算两信号f1(·)和f2(·)的相+、－、×指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。如现在是25页\一共有82页\编辑于星期三现在是26页\一共有82页\编辑于星期三同一瞬时两信号对应值相加、相乘。现在是27页\一共有82页\编辑于星期三二、信号的时间变换运算1.反转(反折)：f(t)→f(–t)从图形上看是将f(·)以纵坐标为轴反转180o。如现在是28页\一共有82页\编辑于星期三2.平移（移位）:f(t)→f(t–t0)若t0(或k0)>0，则将f(·)右移；否则左移。如：现在是29页\一共有82页\编辑于星期三平移与反转相结合已知f(t)如下图所示，请画出f(2-t)法一：①先平移f(t)→f(t+2),②再反转f(t+2)→f(–t+2)现在是30页\一共有82页\编辑于星期三法二：①先反转f(t)→f(–t)②再平移f(–t)→f(–t+2)=f[–(t–2)]现在是31页\一共有82页\编辑于星期三3.尺度变换(横坐标展缩):f(t)→f(at)若a>1，则波形沿横坐标压缩；若0<a<1，则展开。如:现在是32页\一共有82页\编辑于星期三三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间t进行。例：已知f(t)，画出f(–4–2t)。平移、反转、尺度变换相结合现在是33页\一共有82页\编辑于星期三也可以先压缩、再平移、最后反转。现在是34页\一共有82页\编辑于星期三练习：-20442求：现在是35页\一共有82页\编辑于星期三三、信号的微数和积分微分/求导：突出变化积分：平滑现在是36页\一共有82页\编辑于星期三1.4阶跃函数和冲激函数普通函数：自变量与因变量之间的数值对应关系；奇异函数：不同于普通函数，物理量在时间或空间上集中于一点或突然变化的物理现象。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。如：阶跃函数和冲激函数。即本身、其导数或其积分有不连续点的函数；现在是37页\一共有82页\编辑于星期三一、阶跃函数定义：t01现在是38页\一共有82页\编辑于星期三用阶跃表示门函数/矩形脉冲用阶跃表示符号函数10tt1-1tsgn现在是39页\一共有82页\编辑于星期三阶跃函数性质：(1）可以方便地表示某些信号

r(t)=t(t),斜升函数f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（2）用阶跃函数表示信号的作用区间现在是40页\一共有82页\编辑于星期三问：如何用阶跃函数表示如下信号现在是41页\一共有82页\编辑于星期三1背景0t(1)宽度为

，高度为1/，面积为1矩形脉冲信号冲激信号2定义t0(1)二、冲激函数单位冲激函数：对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。（由狄拉克最早提出）现在是42页\一共有82页\编辑于星期三冲激函数性质②筛选特性〔(t)乘以普通函数x(t)〕t0(1)t0相乘t0(x(0))①时移性质t0(1)t0现在是43页\一共有82页\编辑于星期三第二种定义：广义函数定义③取样特性积分限必须包含发生冲激的时刻.一个函数x(t)与冲激函数(t)乘积下的面积等于x(t)在冲激所在时刻的值。现在是44页\一共有82页\编辑于星期三现在是45页\一共有82页\编辑于星期三③

δ(t)的尺度变换现在是46页\一共有82页\编辑于星期三现在是47页\一共有82页\编辑于星期三冲激偶信号：

取极限取极限求导现在是48页\一共有82页\编辑于星期三冲激偶的性质面积“筛选”现在是49页\一共有82页\编辑于星期三和互为微分和积分，单位冲激函数和单位阶跃函数的关系：利用单位冲激函数和单位阶跃函数表示任意信号函数：p20，例1.4-6现在是50页\一共有82页\编辑于星期三常用信号门信号或称矩形脉冲：三角形脉冲：现在是51页\一共有82页\编辑于星期三采样函数：现在是52页\一共有82页\编辑于星期三钟形信号(高斯函数)指数函数、e指数函数等现在是53页\一共有82页\编辑于星期三§1.4系统的描述系统分类：按数学模型的不同,系统可分为:即时系统与动态系统;连续系统与离散系统;线性系统与非线性系统;时变系统与时不变(非时变)系统等等.1、即时系统指的是在任意时刻的响应(输出信号)仅决定与该时刻的激励(输入信号),而与它过去的历史状况无关的系统。2、如果系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关而且与它过去的历史状况有关,就称之为动态系统。现在是54页\一共有82页\编辑于星期三•系统的数学模型

•系统的框图表示系统的描述3、当系统的激励是连续信号时,若响应也是连续信号,则称其为连续系统。4、当系统的激励是离散信号时,若其响应也是离散信号,则称其为离散系统。5、连续系统与离散系统常组合使用,可称为混合系统现在是55页\一共有82页\编辑于星期三一、系统的数学模型数学模型:系统基本特性的数学抽象,是以数学表达式来表征系统的特性.

描述连续系统的数学模型是微分方程,

而描述离散系统的数学模型是差分方程。现在是56页\一共有82页\编辑于星期三系统分析的基本思想：1.根据工程实际应用，对系统建立数学模型。

通常表现为描述输入－输出关系的方程。2.建立求解这些数学模型的方法。现在是57页\一共有82页\编辑于星期三例：写出右图示电路的微分方程。Us（t）LR+-+-Uc（t）C解：根据KVL有利用以上各元件端电压与电流的关系可得：现在是58页\一共有82页\编辑于星期三二、系统的框图表示系统的数学模型所包括基本运算：相乘、微分、相加运算。将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称框图。积分器的抗干扰特性比微分器的好。1、表示系统功能的常用基本单元有:积分器：现在是59页\一共有82页\编辑于星期三现在是60页\一共有82页\编辑于星期三系统模拟：实际系统→方程→模拟框图→实验室实现→指导实际系统设计例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，画框图。解：将方程写为y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)现在是61页\一共有82页\编辑于星期三例二（见书p25）已知某连续系统如下图所示，写出该系统的微分方程。y(t)++++f(t)--x(t)x’(t)x’’(t)a0b0b2b1解：图中有两个积分器，因而系统为二阶系统。设右端积分器的输出为x(t)，那么各积分器的输入分别是x’(t),x’’(t)。左方加法器的输出为现在是62页\一共有82页\编辑于星期三为了得到系统的微分方程，要消去x(t)及其导数。右方加法器的输出为以上三式相加并整理得：即：现在是63页\一共有82页\编辑于星期三系统模拟：实际系统→方程→模拟框图→实验室实现→指导实际系统设计例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，画框图。解：将方程写为y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)现在是64页\一共有82页\编辑于星期三例二（见书p25）已知某连续系统如下图所示，写出该系统的微分方程。y(t)++++f(t)--x(t)x’(t)x’’(t)a0b0b2b1解：图中有两个积分器，因而系统为二阶系统。设右端积分器的输出为x(t)，那么各积分器的输入分别是x’(t),x’’(t)。左方加法器的输出为现在是65页\一共有82页\编辑于星期三为了得到系统的微分方程，要消去x(t)及其导数。右方加法器的输出为以上三式相加并整理得：即：现在是66页\一共有82页\编辑于星期三根据框图求解微分的一般步骤：(1)选中间变量x(·)。对于连续系统,设其最右端积分器的输出x(t);（2）写出各加法器输出信号的方程；（3）消去中间变量x(·)现在是67页\一共有82页\编辑于星期三解：设辅助变量x(t)如图所示。由左端加法器得例：已知框图如下图所示，写出系统的微分方程。

x(t)

x’(t)

x’’(t)y(t)+++f(t)--3245现在是68页\一共有82页\编辑于星期三由（2）式可知，响应y(t)是x(t)及其各阶导数的线性组合，因而以y(t)为未知变量的微分方程左端的系数应与式（1）相同。由（2）式得由右端加法器得现在是69页\一共有82页\编辑于星期三根据框图求系统数学模型的一般步骤：(1)选中间变量x(·)。对于连续系统,设其最右端积分器的输出x(t);

（2）写出各加法器输出信号的方程；（3）消去中间变量x(·)现在是70页\一共有82页\编辑于星期三1.6系统的特性和分析方法一、系统特性二、系统分析方法现在是71页\一共有82页\编辑于星期三一、系统特性连续的或离散的系统可分为：1、线性的和非线性的；2、时变的和时不变（非时变）的；3、因果的和非因果的；4、稳定的和非稳定的。本书主要讨论线性时不变系统现在是72页\一共有82页\编辑于星期三（1）线性性质系统的激励f(·)所引起的响应y(·):y(·)=T[f(·)]。线性性质包括两方面：齐次性和可加性。若系统的激励f(·)增大a倍时，其响应y(·)也增大a倍:T[af(·)]=aT[f(·)](齐次性)若系统对于激励f1(·)与f2(·)之和的响应等于各个激励所引起的响应之和:T[f1(·)+f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)](可加性)1、线性系统：满足线性性质的系统。现在是73页\一共有82页\编辑于星期三若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的，即T[af1(·)+bf2(·)]=aT[f1(·)]+bT[f2(·)]（2）动态系统是线性系统的条件动态系统不仅与激励{f(·)}有关，而且与系统的初始状态{x(0)}有关。初始状态也称“内部激励”。完全响应可写为:y(·)=T[{x(0)},{f(·)}]零状态响应为:yzs(·)=T[{0},{f(·)}]零输入响应为:yzi(·)=T[{x(0)},{0}]现在是74页\一共有82页\编辑于星期三当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：①可分解性：y(·)=yzs(·)+yzi(·)=T[{f(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}]②零输入线性：T[{af(·)},{0}]=aT[{f(·)},{0}](齐次性)T[{f1(t)+f2(t)},{0}]=T[{f1(·)},{0}]+T[{f2(·)},{0}]

(可加性)或T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(·)},{0}]+bT[{f2(·)},{0}]现在是75页\一共有82页\编辑于星期三T[{0},{ax(0)}]=aT[{0},{x(0)}](齐次性)T[{0},{x1(0)+x2(0)}]=T[{0},{x1(0)}]+T[{0},{x2(0)}](可加性)或T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]③零状态线性：注：三个条件缺一不可现在是76页\一共有82页\编辑于星期三例题解：（1）yzs(t)=2f(t)+1，yzi(t)=3x(0)+1显然，y(t)≠yzs(t)＋yzi(t)不满足可分解性，故为非线性。（2）yzs(t)=|f(t)|，yzi(t)=2x(0)y(t)=yzs(t)+yzi(t)满足可分解性；由于T[{af(t)},{0}]=|af(t)|≠ayzs(t)不满足零输入线性。故为非线性系统。例1：判断下列系统是否为线性系统？（1）y(t)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t)+1（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|（3）y(t)=x2(0)+2f(t)现在是77页\一共有82页\编辑于星期三（3）yzs(t)=2f(t),yzi(t)=x2(0)，显然满足可分解性；由于T[{0},{ax(0)}]=[ax(0)]2

≠ayzi(t)不满足零状态线性。故为非线性系统。（3）y(t)=x2(0)+2f(t)现在是78页\一共有82页\编辑于星期三（2）LTI连续系统的微分特性和积分特性①微分特性：若f(t)→yzs(t)，则f’(t)→y’zs(t)②积分特性：若f(t)→yzs(t)，则现在是79页\一共有82页\编辑于星期三