圆锥曲线专题复习第十六讲：图形问题4（解析版）

第十六讲：图形问题4【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，特殊四边形的性质；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中四边形的几何特征，以及几何特征的代数转换；拓展目标：能够熟练应用菱形，矩形，正方形的向量表示，并在平行四边形的基础上，增加相关的垂直的向量或斜率表示.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、菱形=1\*GB3①一组邻边相等的平行四边形，是菱形，即可以翻译成等腰三角形，三线合一进行计算.=2\*GB3②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以翻译用向量或斜率表示的直角关系.2、矩形=1\*GB3①有一个角是直角的平行四边形，是矩形，即可以翻译成直角三角形，用向量和斜率进行直角关系的表示.=2\*GB3②对角线相等的平行四边形，是矩形，即可以翻译成两条弦长相等，利用弦长公式求解.3、正方形即满足菱形的要求，又满足矩形的要求进行求解.【考点剖析】考点一：菱形例1．已知椭圆C：，，，，这四点中恰有三点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)点E是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值；(3)过的直线l交椭圆C于A、B两点，设直线l的斜率，在x轴上是否存在一点，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）因为，关于轴对称，根据题意以及椭圆的对称性可知，两点都在椭圆上，即有成立.若在椭圆上，则有.联立可得，，不合题意，舍去.所以，在椭圆上，即有，所以，代入，可得.所以，椭圆C的方程为.（2）要使面积最大，则应有点E到直线的距离最大.由，，可得直线方程为.过点作直线，使得，则到直线的距离即等于直线到直线的距离.显然，当直线与椭圆相切时，距离为最大或最小.则设直线方程为，联立直线与椭圆的方程可得，.因为，直线与椭圆相切，则，解得，.则当时，此时直线方程为，与直线距离最大，此时.又，所以面积的最大值为.（3）设，，假设在x轴上存在一点，使得、为邻边的平行四边形为菱形.因为直线过点，则直线的方程为，联立直线的方程与椭圆的方程可得，，恒成立，且，，，，所以，则的中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为，显然该直线过点.令，则，即.因为，所以，当且仅当时，即时，等号成立.所以，，所以，则，所以.即实数m的取值范围为.变式训练1．设椭圆：的左、右焦点分别为，，椭圆的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到菱形面积为.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在点使得以，为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【详解】（1）∵椭圆离心率为，连接椭圆的四个顶点的菱形面积为.∴，∴，，，故椭圆的方程为：.（2），设直线的方程为，将代入，得：，设，，则，，，因为以，为邻边的平行四边形是菱形，所以，又，∴，当时，，上式恒成立，当时，，若，则，当且仅当时取等号，所以；若，则，当且仅当时取等号，所以，综上，的取值范围为.变式训练2．已知抛物线：的顶点为O，焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点A、B，且．(1)求抛物线的标准方程；(2)过抛物线上一点P（非原点）作抛物线的切线，与x轴、y轴分别交于点M、N，，垂足为H，求证：四边形PFNH为菱形，【答案】(1)；(2)证明见解析．【详解】(1)设直线方程为，，由，得，所以，，，解得，所以抛物线方程为；(2)焦点为，准线方程是，设，则，，由，即，，所以，切线方程为，令得，因此，又，所以是平行四边形，而，所以四边形是菱形．变式训练3．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右两个焦点为、，动点P满足．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：线段上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，请给出证明：若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，理由见解析.【详解】(1)由题意得：，所以，，而，故动点P的轨迹E的方程为以点、为焦点的椭圆方程，由得：，，所以动点P的轨迹E的方程为；(2)存在，理由如下：显然，直线l的斜率存在，设为，联立椭圆方程得：，设，，则，，要想以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，则点D为AB垂直平分线上一点，其中，，则，故AB的中点坐标为，则AB的垂直平分线为：，令得：，且无论为何值，，点D在线段上，满足题意.考点二：矩形例1．从抛物线C：（）外一点作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点在抛物线C上，且（F为抛物线的焦点）.（1）求抛物线C的方程；（2）①求证：四边形是平行四边形.②四边形能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由.【答案】（1）；（2）①证明见解析；②能，.【详解】（1）因为，所以，即抛物线C的方程是.（2）①证明：由得，.设，，则直线PA的方程为（ⅰ），则直线PB的方程为（ⅱ），由（ⅰ）和（ⅱ）解得：，，所以.设点，则直线AB的方程为.由得，则，，所以，所以线段PQ被x轴平分，即被线段CD平分.在①中，令解得，所以，同理得，所以线段CD的中点坐标为，即，又因为直线PQ的方程为，所以线段CD的中点在直线PQ上，即线段CD被线段PQ平分.因此，四边形是平行四边形.②由①知，四边形是平行四边形.若四边形是矩形，则，即，解得，故当点Q为，即为抛物线的焦点时，四边形是矩形.变式训练1．已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线与抛物线交于不同两点.(1)记和的面积分别为，若，求直线的方程；(2)判断在轴上是否存在点，使得四边形为矩形，并说明理由.【答案】(1)；(2)不存在，理由见详解.【详解】（1）设直线方程为，联立，消去得，得①，②，又因为，则③由①②③解得，即直线的方程为，即（2）假设存在点，使得四边形为矩形，则互相平分所以线段的中点在上，则轴，此时则不成立.故在轴上不存在点，使得四边形为矩形变式训练2．已知抛物线，过点的动直线与相交于两点，抛物线在点和点处的切线相交于点，直线与轴分别相交于点.（1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）求证：点在直线上；（3）判断是否存在点，使得四边形为矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）焦点坐标为准线方程为（2）证明见解析（3）【详解】（1）焦点坐标为准线方程为；（2）由题意，知直线的斜率存在，故设的方程为，由方程组得，由题意，得，设，则，由导数几何意义得切线斜率，所以抛物线在点处的切线方程为，化简，得…①同理，抛物线在点处的切线方程…②联立方程①②，得即，，代入①，得，所以点，即，所以点在直线上；（3）假设存在点，使得四边形为矩形，由四边形为矩形，得，即，所以即由（2）得解得，所以；以下只要验证此时的四边形为平行四边形即可，在①中，令，得，同理得，所以直线的斜率为，直线的斜率为，所以，即，同理，所以四边形为平行四边形.∴存在点，使得四边形为矩形.变式训练3．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C的上顶点，且，．(1)求椭圆C的方程；(2)已知，其中O为坐标原点，过点D的直线与椭圆C交于E，G两点，点H在椭圆C上，探究：是否存在直线，使得四边形OEHG为矩形，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【详解】（1）由于,分别为椭圆的左右顶点以及上顶点，所以，，又，解得：，所以椭圆方程为：（2）由得，即，当直线无斜率时，即直线方程为：，若四边形OEHG为矩形，由椭圆的对称性可知：,则四边形OEHG为正方形，则，即此时将点代入椭圆方程中得，故四边形OEHG不能构成矩形，不满足题意，当直线有斜率时，则设方程为：，联立，设，所以，设的中点为，则，即若四边形OEHG为矩形，则也是的中点，因此,即,故在椭圆上，故，化简得：，显然方程无解，故四边形OEHG不能构成矩形，综上可知：不存在直线，使得四边形OEHG构成矩形，考点三：正方形例1．已知点是椭圆E：一点，且椭圆的离心率为.(1)求此椭圆E方程；(2)设椭圆的左顶点为A，过点A向上作一射线交椭圆E于点B，以AB为边作矩形ABCD，使得对边CD经过椭圆中心O.（i）求矩形ABCD面积的最大值；（ii）问：矩形ABCD能否为正方形？若能，求出直线AB的方程；若不能，请说明理由.【答案】(1)；(2)(i)；(ii).【详解】(1)令椭圆半焦距为c，依题意，，解得，所以椭圆E的方程为：.(2)(i)由(1)知，，设直线AB的斜率为，则直线AB的方程为：，由消去y并整理得：，点的横坐标，则点的横坐标有：，解得，则有，因矩形的边CD过原点O，则，因此，矩形的面积，当且仅当，即时取“=”，所以矩形ABCD面积的最大值是.(ii)假定矩形ABCD能成为正方形，则，由(i)知：，整理得：，即，而，解得，所以矩形ABCD能成为正方形，此时，直线AB的方程为.变式训练1．已知椭圆：（）的左顶点为，上顶点为，直线的斜率为，坐标原点到直线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)已知正方形的顶点、在椭圆上，顶点、在直线上，求该正方形的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，得，解得，即椭圆的方程为.（2）因为是正方形，所以对角线.设直线为，联立，得，由得，.设，，则，，.所以的中点的坐标为，由于正方形的对角线平分，所以点在直线上，即有，解得.所以.故正方形的面积为.变式训练2．已知椭圆过点，且离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于、两点，以为对角线作正方形，记直线与轴的交点为，问、两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)；(2).【详解】（1）设椭圆的半焦距为，显然点在椭圆上，即，椭圆的离心率，解得，所以椭圆的方程为:．（2）设，，由消去y并整理得:，由，可得，则有，，弦中点为，有，又直线与轴的交点，则，当时，正方形ABCD中，，则有，，当时，点M，N重合于原点O，，所以、两点间距离为定值．变式训练3．已知A，B，C是抛物线W：上的三个点，D是x轴上一点.（1）当点B是W的顶点，且四边形ABCD为正方形时，求此正方形的面积；（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形ABCD是否可能为正方形，并说明理由.【答案】（1）32；（2）不可能，理由见解析.【详解】（1）当点是的顶点时，设与相交于点，则，假设点在轴上方，则的坐标为，代入抛物线方程得，此时正方形的边长为，所以正方形的面积为．（2）四边形不可能为正方形．当点不是的顶点时，直线的斜率一定存在，设其方程为，、坐标分别为，，，，联立，则，所以，，因此，的中点的坐标为，，若四边形为正方形，则的中点也是，，因为点在轴上，所以，所以，代入，得，即，所以，化简得，①，因为，所以，化简得，②由①②得，，无解，故四边形不可能为正方形．【当堂小结】1、知识清单：（1）椭圆，双曲线，抛物线简单性质；（2）圆锥曲线中，特殊四边形翻译，即菱形，矩形和正方形的向量，斜率表示；2、易错点：简单性质的计算，特殊图形的向量的应用；3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；4、核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】1．已知动点C是椭圆：上的任意一点，是圆G：的一条直径（A，B是端点），的最大值是.（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的左、右焦点分别为点，过点且与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点.在线段上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【详解】（1）设点C的坐标为，则，由，又，可得，其中.因为，故当，即时，取，得有最大值，与条件矛盾；当，即时，的最大值是，由条件得，即，解得或（舍去）.综上所述，椭圆的方程是.（2）设点的中点坐标为，则满足，两式相减，整理得，从而直线的方程为，又右焦点的坐标是，将点的坐标代入的方程得，因为直线l与x轴不垂直，故，从而.假设在线段上存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，则线段的垂直平分线必过点M，而线段的垂直平分线方程是，将点代入得，得，从而.2．已知椭圆：的左、右焦点分别为点，，其离心率为，短轴长为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.【答案】（1）；（2）见解析.【详解】（1）由已知，得，，又，故解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1），知，如图，易知直线不能平行于轴.所以令直线的方程为，，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线的方程为，，，此时，，此时.故.所以四边形是平行四边形.若是菱形，则，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.3．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为，坐标原点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一点作两条直线分别与椭圆相交于点，（异于点），试判断以和为对角线的四边形是否为菱形?若是，求出直线的方程；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）四边形能为菱形，此时直线的方程为，或.【详解】解：（1）直线的方程为.由题意可得解得所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，若平行四边形为菱形，则为左顶点或右顶点，此时直线的方程为.当直线的斜率为0时，若四边形为菱形，则点为上顶点或下顶点，此时的方程为.当直线的斜率存在时，设，，，联立可得，则，所以，，.若四边形为菱形，所以，所以点.所以直线的斜率.所以，这与矛盾.所以四边形不能是菱形.综上，四边形能为菱形，此时直线的方程为，或.4．已知过椭圆方程右焦点、斜率为的直线交椭圆于、两点.（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；（2）当直线的斜率为1时，求的面积；（3）在线段上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）2；（2）；（3）存在，.【详解】（1）由椭圆方程得，则，所以椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；（2）右焦点，直线的方程为，设，，由得，解得，所以；（3）假设在线段上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形是菱形，因为直线与轴不垂直，所以设直线的方程为，由，可得，所以，设中点为，则，，即，，整理得，关于的方程有解，所以，.所以满足条件的点存在，且的取值范围是.5．已知抛物线的焦点为F，准线为l.设过点F且不与x轴平行的直线m与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M作直线垂直于l，垂足为N，直线MN与抛物线C交于点P.（1）求证：点P是线段MN的中点.（2）若抛物线C在点P处的切线与y轴交于点Q，问是否存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为的菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，或.【详解】（1）证明：由题意知直线m的斜率存在且不为0，故设直线m的方程为，代入，并整理得.所以，设，，则，.设，则，，即.由，得，所以MN中点的坐标为.将代入，解得，则，所以点P是MN的中点.（2）由，得，则，所以抛物线C在点的切线PQ的斜率为k，又由直线m的斜率为k，可得；又轴，所以四边形MPQF为平行四边形.而，，由，得，解得，即当时，四边形MPQF为菱形，且此时，所以，直线m的方程为，即或，所以存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为的菱形.6．如图，已知点，抛物线的焦点是，A，B是抛物线上两点，四边形是矩形．(1)求抛物线的方程；(2)求矩形的面积．【答案】(1)(2)8【详解】（1）因为抛物线的焦点是，所以，解得，所以抛物线的方程为；（2）设，，因为四边形FAPB是矩形，所以，且，即，，且．所以，，且．所以．解得，，由抛物线的定义得：，所以矩形的面积为：，．所以矩形的面积为8．7．已知抛物线C：，过点的动直线l与C交于两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q，直线与x轴分别相交于点.（1）写出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（2）求证：点Q在直线上；（3）判断是否存在点P，使得四边形为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）存在，点.【详解】（1）抛物线C：的焦点坐标为，准线方程为.（2）由题意，知直线l的斜率存在，故设l的方程为.由方程组得.由题意，得.设，，则，.由可得：，所以.所以抛物线在点处的切线方程为，化简，得①.同理，抛物线在点处的切线方程为②.联立方程①②，得，因为，解得：，代入①，得，所以点，即.所以点Q在直线上.（3）假设存在点P，使得四边形为矩形，由四边形为矩形，得，即，所以，即.由（2），得，解得.所以.以下只要验证此时的四边形为平行四边形即可.在①中，令，得.同理得.所以直线的斜率为，直线的斜率，所以，即.同理.所以四边形为平行四边形.综上所述，存在点，使得四边形为矩形.8．已知椭圆过点，过其右焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且．(1)求椭圆C的方程；(2)若矩形满足各边均与椭圆C相切，求该矩形面积的最大值，并说明理由．【答案】(1)(2)14，理由见解析【详解】（1）因为过椭圆的右焦点F且垂直于x轴直线交椭圆于A，B两点，，所以椭圆过点，又椭圆过点，有，变形，得代入②，得，即，，解得，则，所以椭圆的方程为；（2）①当MN的斜率为0时，，，此时，②当MN的斜率不存在时，，，此时，③当MN的斜率存在且不为0时，设直线：，直线：，，联立消去y得，，化简得，同理可得，所以两平行线MN和PQ的距离，以代替k，可得两平行线MQ和NP的距离，所以矩形MNPQ的对角线，根据基本不等式，当且仅当，即时等号成立，因为所以矩形MNPQ面积的最大值为.9．如图，椭圆的左､右焦点分别为､，过右焦点与x轴垂直的直线交椭圆于M､N两点，动点P､Q分别在直线MN与椭圆C上.已知，的周长为.(1)求椭圆C的方程；(2)若线段PQ的中点在y轴上，求三角形的面积；(3)是否存在以､为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上？若存在，求出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)；(3)存在，且点坐标为,.【详解】(1)由已知，所以，，从而，椭圆方程为；(2)显然，线段PQ的中点在y轴上，则，轴，，，所以；(3)假设存在以､为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上，