高等代数习题课指导讲义

PAGEPAGE15高等代数习题课指导高等代数习题课是在各章小单元授课基础上，帮助学生疏理相应小单元基础知识而设立的以练为主、讲练结合的教学形式，使学生进一步理解已授知识的重点，帮助学生克服学习中的难点，因而是整个课程教学的基本环节之一。教学中应明确目的，把握全局，突出练习，以提高习题课的教学质量。习题课1矩阵的运算与可逆矩阵（2学时）教学目的通过2学时的习题课教学实践，使学生进一步理解、掌握矩阵运算及其可逆矩阵的基础知识与基本方法，把握矩阵证题的基本技巧。基础提要略述（结合课堂练习题的解释，点述主要概念、相关定理及其基本方法）。课堂练习：1计算AB，BA，AB－BA，其中．2设A，B，C∈．证明，若AB=BA，AC=CA，则A(B+C)=(B+C)A；A(BC)=(BC)A．3设A=，A的主对角元素的和叫做A的迹，记作．设A，B，证明：1)2) 3)4)AB－BA．4设A(R)，且=A．证明，若=0，则A=0．5设A=B+C机遇，其中．证明下列命题彼此等价：1；2)BC=CB；3)CB是反对称矩阵．6设，且A2+A+In=0．证明，A可逆；并求A-17设是对合矩阵,即,且.证明：1)8设A，B，C．证明：1)若A非奇异，则AB=ACB=C；2)若A奇异，则1)的结论未必成立(举例说明)．9设可逆，且=，求．10设(R)．证明若以下三命题有两个成立，则其第三个也成立：1)A是对称矩阵；2)A是对合矩阵；3)A是正交矩阵．课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习建议。习题课2行列式的概念及其计算（2学时）教学目的通过本习题课的教学实践，提高学生对行列式定义、性质、定理及其应用的认识，把握行列式的计算。基础提要略述（类似习题课一的处理）。课堂练习：1已知204，527和255都能被17整除，利用行列式的定义、性质(不计算)证明下面行列式也能被17整除：．2设,求,这里取遍所有的n排列．3设是区间[a,b]上的可微函数，i，j=1，2，…，n．证明：．4证明：.5证明，，这里1)；其中Aij如§3所示；2)．课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习的建议。习题课3行列式的应用与矩阵的秩（1学时）教学目的通过一学时的习题课教学实践，增进学生对行列式在矩阵基础应用中的认识及其证题能力。基础提要略述（类似习题课一的处理）。课堂练习：1设，若时都有，则称A是一个上(下)三角矩阵．证明：1)两个上(下)三角矩阵的乘积仍是上(下)三角矩阵；2)可逆的上(下)三角矩阵的逆阵也是上(下)三角矩阵．2设．证明，存在非零矩阵，使AB=0的充分且必要条件为|A|=0．3设(C)．证明：1)=adj2)adj(kA)(adjA),kC3)adj(A)=(adjA)；4)若A非奇异，则adj(A1)=(adjA)1．4设，．证明：1)|adjA|；2)adj(adjA)．5若rankA=m(n)，则称A是行(列)满秩矩阵．证明，A是行(列)满秩矩阵的充分且必要条件为存在n(m)阶可逆矩阵Q(P)，使得A=(Im,0)Q（A=P）．课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习建议。习题课4向量的线性相关性与线性方程解的理论（2学时）教学目的通过2学时的习题课教学实践，增强学生对向量线性相关性概念的理解及其对线性方程组解的理论的认识，基本把握这样类型问题的证明。基础提要略述（类似习题课一的处理）。课堂练习：1同上题所设．设是中的r个向量，且中的每个向量都可以由线性表示．证明是的一个极大线性无关组．2设．证明，线性无关的充分且必要条件是3证明，非零向量组线性无关的充分且必要条件是每一个，1＜i≤t,都不能由它前面的向量线性表示．4设．证明，若rank(A,B)=rankA，则B的列向量组可以由A的列向量组线性表示；反之亦然．5设rankA=r．证明：1)若B是由A的s个行构成的矩阵，则rankB≥r+s－m．6设向量组的秩分别为．证明，．7.证明，若rankA=rankB，则线性方程组有解．8设，A去掉第j列所成矩阵的行列式记作．证明：1)是齐次线性方程组AX=0的解；2)若有，则是AX=0的一个基础解系，因此．9设，．证明，若齐次线性方程组AX=0与A1X=0同解，则A的第m行可以由它的前m－1行线性表示．10的导出组的一个基础解系，令证明：1)线性无关；2)若是的任一解，则，其中．课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习的建议。习题课5数域F上多项式的因式分解问题（2学时）教学目的通过本习题课的教学实践，增进学生对一般数域F上多项式因式分解理论的认识，以便更好地把握其证题。基础提要略述（类似习题一的处理）。课堂练习：1证明，在F[x]中，若d(x)是f(x)与g(x)的一个公因式，且d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)，u(x)、v(x)F[x]则d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式．2设f(x)与g(x)是F[x]中的不全为零的多项式，而．证明，(f(x)，g(x))|h(x)；且deg(f,g)degh，此不等式取等号，当且仅当h(x)是f(x)与g(x)的最大公因式3设f(x)与g(x)是不全为0的多项式．证明：4设f(x)与g(x)不全为零，证明：1)若u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x)，g(x))，则(u(x)，v(x))=1；2．5证明，若，则．6设f(x)，g(x)，h(x)．证明，若(f(x)，g(x))=1，则(f(x)h(x)，g(x))=(h(x)，g(x)．7证明，(f(x)，g(x)h(x))=1的充要条件是(f(x)，g(x))=1且(f(x)，h(x))=1．8设p(x)是F[x]中次数1的多项式．证明，若对于F[x]中的任意多项式f(x)与g(x)，由p(x)|f(x)g(x)都可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)，则p(x)是F[x]上的不可约多项式．9设f(x)，g(x)F[x]．nN*．证明，．10．由．课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习的建议。习题课6C、R、Q上多项式的因式分解问题（2学时）教学目的通过2学时的习题课教学实践，增进学生对复数域、实数域及有理数域上多项式因式分解理论的认识，以把握这些数域上多项式证题的一般性与特殊性技巧。基础提要略述（类似习题课一的处理）课堂练习1证明，1是多项式的三重根．2设的一个k重根．证明，a是的一个k+3重根．3根．45证明，若p(x)是R上的不可约多项式，f(x)R[x]，且f(x)与p(x)在C上有公根，则p(x)|f(x)．6证明，实系数多项式f(x)在实数域上无重因式的充分且必要条件是在复数域上也无重因式．7设是整系数多项式，且bd+cd

是奇数．证明，f(x)在Q上不可约．8设f(x)Z[x]．证明：若f(0)与f(1)都是奇数，则f(x)不能有整数根．9设f(x)Z[x]．证明：若有一个偶数a及一个奇数b，使f(a)与f(b)都是奇数，则f(x)没有整数根．10证明：1)设f(x)Z[x]，m是f(x)的一个整根，则(1)|f(1)，(1+m)|f()2)课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习建议习题课7二次型基础（2学时）教学目的通过2学的习题课教学实践，增进学生对二次型（对称矩阵）化简、化简唯一性及其正定（半正定）二次型（矩阵）的认识，进一步把握矩阵的分块方法。基础提要略述（类似习题课一的处理）。课堂练习：1给出有理数域上的两个秩都是r的n阶对称矩阵A和B，它们在有理数域上不合同．2证明，任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：，若n=2r；，若n=2r+1．3证明，任何一个n阶可逆实对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：或．4．证明，必存在实n维向量，使．5设，其中6设B是nm阵，A是n阶正定矩阵．证明，rankBAB=rankB．7设A是实对称矩阵．证明，当实数t充分大时，tIn+A是正定矩阵．8的秩等于rankA，其中A=(aij)sn∈Fs×n．9证明，二次型是半正定的充分且必要条件是它的正惯性指数与秩相等．10证明，是半正定的．课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习建议。习题课8向量空间基础（2学时）教学目的通过2学时的习题课教学实践，增进学生对抽象的向量空间概念的理解，把握刻画向量空间的基础：基、维数及子空间直和的刻画。基础提要略述（类似习题课一的处理）课堂练习1设向量α1，α2，…，αr线性无关，而α1，α2，…，αr，β，γ线性相关．证明，或者β，γ中至少有一个可以由α1，α2，…，αr线性表示，或者向量组{α1，α2，…，αr，β}与{α1，α2，…，αr，γ}等价．2证明，复数域C作为实数域R上向量空间，维数是2．若C看成它自身上的向量空间，维数为何？3设V是数域F上的n维向量空间，是V中n个向量．证明，若V中每个向量都可以由线性表出，则是V的一个基．4证明，多项式组是F[x]n的一个基，并求多项式f(x)=在这个基下的坐标．51)证明，在C[x]n中，多项式组是一个基，其中是互不相同的数；2)在1)中，取为全体n次单位根，求由基到基的过渡过矩阵．6设W1，W2是数域F上向量空间V的两个子空间，α，β是V的两个向量，其中α∈W2，但αW1，又βW2．证明：1)7设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个基，而A，其中AFns．证明，dimL()=rankA．8设W1，W2，W都是F上向量空间V的子空间，并且WW1+W2．问：W=(W∩W1)+(W∩W2)是否总是成立？若W1W，则上式是否一定成立？9证明，若V=W1W2，W1=W11W12，则V=W11W12W2．10设W1，W是数域F上向量空间V的子空间，且W1W．若W1在V中的一个补空间是W2．证明W=W1(W2∩W)．课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习的建议习题课9线性映射(变换)及其矩阵（2学时）教学目的通过本习题课的教学实践，增进学生对线性映射（线性变换）运算及有限维向量空间线性变换矩阵的认识，把握高等代数两大主要研究对象的内在联系。基础提要略述（类似习题课—的处理）。课堂练习：1设是数域F上n维行空间，定义．1)证明是Fn的一个线性变换；2)求Ker和Im的维数．2设∈EndV．证明：ImKer当且仅当2=0；3设V和V都是数域F上的有限维向量空间，是V到V的一个线性映射．证明，存在直和分解V=UW，V=MN，使得Ker=U，并且．4设V是数域F上一个有限维向量空间．证明，若∈EndV，则下列三个条件是等价的：5设F上三维向量空间V的线性变换在基{}下的矩阵是A=，求在基的矩阵．若，求在基下的坐标．6设三维向量空间V上的线性变换在基下的矩阵为A=(aij)33∈M3(F)．1)求在基下的矩阵；2)求在基下的矩阵；3)求在基下的矩阵，其中k∈F且k≠0．7设{}是n维向量空间V的一个基，且并且线性无关．又设∈EndV，使得()=,．求在基下的矩阵．8在n维线性空间中，设有线性变换与向量，使得，但．证明，在某个基下的矩阵是．9证明：1)若A，B∈Mn(F)，A可逆，则AB~BA．2)若A~B，C~D，则diag(A，C)~diag(B，D)．10是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．证明，若在任意两个基下的矩阵都相同，则是位似变换．课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习的建议。习题课10线性变换的化简（2学时）教学目的通过2学时的教学实践，增进学生对线性变换的特征值、不变子空间等概念的理解，把握线性变换化简的原理及其基本方法。基础提要略述（类似习题课一的处理）课堂练习1设a，b，c∈C，令．证明，A，B，C彼此相似；且若BC=CB，则A，B，C的特征值至少有两个等于零．2设A是一个复n阶矩阵．证明：1)存在复n阶可逆矩阵T，使得．2)A相似于一个上三角矩阵．3设A是一个复n阶矩阵，是A的全部特征根(重根按重数计算)．证明：1)若f(x)是C上任意一个次数大于零的多项式,则是f(A)的全部特征根．2)若A可逆，则，并且是的全部特征根．4用HamiltonCayley定理证明：若n阶阵A的所有不同的特征值是，它们的重数分别是，则．5数域F上n维向量空间V的一个线性变换叫做一个对合变换，若．设是V的一个对合变换，证明：1)的特征值只能是1；2)V=V1V－1，这里V1是的属于特征值1的特征子空间，V－1是的属于特征值－1的特征子空间．6数域F上n维向量空间V的一个线性变换叫做幂零的，若存在一个自然数m，使．证明：1)是幂零变换当且仅当f()=n；2)若一个幂零变换可以对角化，则一定是零变换．71)；2)；3)；4)，；5)，是的属于特征值i的特征子空间，．8设V是复数域C上一个n维向量空间，,是V的线性变换，且=．证明：1)的每一特征子空间都在之下不变；2)与在V中有一公共特征向量．9设V是复数域上的n维向量空间，EndV在基下的矩阵是一Jordan块，即为之矩阵．证明：1)V中包含的－子空间只有V自身；2)V中任一非零－子空间都包含；3)V不能分解成两个非平凡的－子空间的直和．课外建议结合练习讲评提出相应的补缺、复习建议习题课11矩阵相似问题（2学时）教学目的通过教学实践，增进学生对行列式因子、不变因子、初等因子、最小多项式等概念及处理矩阵相似方法的理解，把握矩阵相似的Jordan标准形、有理标准形的求解及其对矩阵相似化简的应用。基础提要略述（类似习题课一的处理）。1设A，B∈Mn(Q)，F为数域．证明，存在Q上的可逆阵P,使B=P－1AP存在F上的可逆阵T，使B=T－1AT．2证明，n阶矩阵A与其转置矩阵A相似．3设A为n阶矩阵，f(l)=l2－8l+15，g(l)=l2－4l+3，且f(A)=0，g(A)=0，求A的最小多项式．4两个n阶矩阵的特征多项式相同，它们的最小多项式是否也相同？5设AM3(C)．1)若A是幂零矩阵，求A的一切Jordan标准形；2)若A是幂等矩阵，求A的一切Jordan标准形．3)若A是对合矩阵，求A的一切Jordan标准形．4)设A任意，求A的一切Jordan标准形．6设A为n阶非零的幂零矩阵，证明A不能相似于对角矩阵．7设A为复n阶矩阵．证明，A的最小多项式mA()无重因式的充分且必要条件是8设AMn(C)，则有n阶复对称矩阵M1，M2，其中M1可逆，使得A=M1M9设A为复n阶矩阵．证明，A可表为一幂零矩阵N与一其初等因子由一次式构成的矩阵之和．课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习建议。习题课12Euelid空间的概念与基本结构问题（2学时）教学目的通过2学时的习题课教学实践，增进学生对实向量空间度量的理解，把握标准正交基的求解、应用及正交补定理的证明与应用。基础提要略述（类似习题课一的处理）。课堂练习：1证明，在一个Euclid空间中，对于任意向量α，β，以下等式成立：1)|α+β|2+|α－β|2=2|α|2+2|β|2；2)α,β=|α+β|2－|α－β|2．在解析几何里，等式1)的几何意义是什么？2设α1,α2,…,αn是Euclid空间的n个向量．行列式G(α1,…,αn)=叫做α1,…,αn的Gram行列式．证明，G(α1,…,αn)=0，必要且只要α1,…,αn线性相关．3设α，β是Euclid空间中的两个线性无关的向量，满足以下条件：和都是≤0的整数．证明，α与β的夹角只可能是或．4设V是一个n维Euclid空间，α1，…，αn是V的一个基．设c1，…，cn是任意给定的一组实数．证明，V中存在唯一的一个向量α，使得〈α，αj〉=cj，j=1，2，…，n．5证1.2)若A是一个n阶实矩阵，且|A|≠0，则A可以分解成A=QR，其中Q是正交矩阵，R是一个正对角的上三角形矩阵；并且这个分解是唯一的．3)若A是n阶正定矩阵，则存在一上三角形矩阵T，使A=T．6在R2中指定内积为〈α，β〉=x1y1+2x2y2．其中α=(x1，x2)，β=(y1，y2)．把这个Euclid空间记作V．找出V到带有标准内积的Euclid空间R2的一个同构映射．7证明，实系数线性方程组，i=1，2，…，n，有解的充分且必要条件是向量β=(b1，b2，…，bn)∈Rn与齐次线性方程组，i=1，2，…，n，的解空间正交．8设W是Euclid空间V的一个有限维子空间，用W表示V在W上的正交投影变换．证明，V在W上的正交投影变换存在，且等于1V－W．9设W是空间V的一个有限维子空间，α1，…，αm是W的一个正交基．证明，对于α∈V，有．课外建议结合练习讲评提出相应的补缺、复习建议。习题课13Euclid空间的正交变换与对称变换（2学时）教学目的通过2学时的教学实践，增进学生对对称变换（对称矩阵）结构与正交变换概念的理解，提高学生分析问题和解决问题的能力。基础提要略述（类似习题课一的处理），课堂练习1设A是n阶实矩阵．证明，存在正交矩阵U，使UAU为三角矩阵的充分且必要条件是A的特征根全为实数．2设A，B都是实对称矩阵．证明，存在正交矩阵U，使UAU=B的充分且必要条件是A，B有相同的特征值．3设A是n阶实对称矩阵，且A2=In．证明，存在正交矩阵U，使得．4设f(x1，x2，…，xn)=XAX是一个实二次型，是A的特征值，且1≤2≤…≤n．证明对任一X∈Rn，有1XX≤XAX≤nXX．5设A，B是两个n阶实对称矩阵，且B是正定矩阵．证明,存在一个n阶实可逆矩阵U,使UAU与UBU同时为对角矩阵．6设V是n维Euclid空间．证明，V的正交变换若有特征值，则它的特征值必为1或－1．7证明，在Euclid空间中，第二类正交变换一定以－1作为它的一个特征值．8设{α1,α2,…,αn}和{β1,β2,…,βn}是n维Euclid空间V的两个标准正交