专题34几何体外接球的与内切球解题策略(解析版)

专题34几何体外接球的与内切球（解析版）几何体的外接球问题：题目中涉及几何体外接球体，或者球内接几何体，再或者说球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球问题。几何体的外接球问题你通常会想到：①画出球体这类题80%以上①识别模型→②代入公式，、标明球心→②画出球的内接几何体→③寻找突破口建立方程。图，只需要2步搞定：就可以轻松求出外接球半径R都不用画常见几何体的外接球半径：正方体长方体正四面体例1．已知正方体棱长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰ABCD1111________为，则此时点构成的图形面积为.【答案】.【分析】设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，先确定球心在线段和中点的连线上，先求出OOOOOO，再用利勾股定值，然后用利勾股定理求出的值，于是得出1理求出点底面轨迹圆的半径长，最后用利圆的面【详解】如图所示，设三棱锥的外接球为球，球的半径的1在上积公式可求出答案．分别取、的中点、，则点在线段上，由于正方体的棱长为，2则的外接圆的半径为，设球的半径为，则，解得.所以，，3544OOOOOO2则11而点在上底面ABCD所形成的轨迹是以为圆心的圆，1111OPR2OO21，由于，所以11因此，点所构成的图形的面积为.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题.例2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为，体积为，则这个球的表面积是416（）A．10B．20C．24D．32【答案】C【分析】各顶点都在一个球面上的正四棱柱，棱柱的体对角线即为球的直径，再由球表面积公式即可求解.【详解】因为正四棱柱高为4，体积为16，所以正四棱柱的底面积为，正四棱柱的底面的边长为，正四棱柱的底面的对角线为，正四棱柱的对角线为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，即，R6,S4R224,球故选：CABCABC例3．在直三棱柱______.中，，，，，则该直三棱柱的外接球体积为111【答案】【分析】由直棱柱的特点可知，外接球球心位于上下底面外心连线的中点处，先通过解三角形得出底面的外接圆半径，然后求出外接球半径，得出外接球的体积.【详解】ACAB2BC22ABBCcosπ5，得在中，由余弦定理得2.4所以的外接圆半径.所以该三棱柱的外接球半径.所以外接球体积.故答案为：.【点睛】本题考查直棱柱的外接球半径计算，考查球的体积计算公式，难度一般，找出球心，解出半径是关键.模型一——圆柱外接球模型r，高为h的圆柱，求它的外接球半径一个底面半径为.变形一：如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如右图所示：我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型。在这里棱柱的高就是公式中的h，而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的r4例，一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则球的表面积为（）acmA．【答案】A【分析】B．C．D．由已知得正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径，求得外接球的半径，再由球的表面积公式可得选项.【详解】如图所示，正方体的体解得，对角线就是正方体的外接球的直径，设正方体的外接球为R，则，所以外接球的表面积为，故选：A.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积，关键在于求出球的半径，属于基础题.ABCABC中，，，，5例．在直三棱柱若该三棱柱的外接球表面积为，则三棱柱的高111为（）A．2【答案】C【分析】B．C．4D．利用余弦定理求得，利用正弦定理求得三角形外接圆半径，由此求得外接球半径的表达式，利用外接球的表面积列方程，解方程求得三棱柱的高.【详解】ACAB2BC22ABBCcosπ5，得.在中，24所以的外接圆半径.设该三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球半径.所以外接球表面积S4πR24π110h26π.解得24故选：C【点睛】本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查运算求解能力.变形二：如果把上面的那个三棱柱上面的B,C1两点去掉我们将得到右图三棱锥：1.为同一球面上的四个点在△ABC中，，ABAC23；AD=6，6A､B､C､D例．已知___________⊥平面，【答案】【分析】则该球的体积为.设的外接圆圆心为，球心为，根据线面垂直关系先求出，再求出由余弦定理求出，由为球的半径，所以为直角三角形，用勾股定理及可求出球的半径，再由球的体积公式即可求解.【详解】⊥平面，由题设的外接圆圆心为，球心为，所以平面，因为所以与平行，因为,OAOD，所以,因为，ABAC23，由余弦定理可得，所以，所以球的半径，34积为V3212821.所以球的体故答案为：【点睛】本题主要考查球体积的求法，球的内接问题，考查学生空间想象能力和计算能力.变形三规律总结：h2圆柱外接球模型-----Rr2适用于：4①圆柱-------r,h自带②直棱柱-------r:底面外接圆半径；h:直棱柱的高③一根侧棱⊥底面的锥体-------r:底面外接圆半径；h:垂直于底面的那条侧棱④一个侧面⊥矩形底面的四棱锥-------r:垂直底面的侧面的外接圆半径；h:垂直于那个侧面的底边长小结：求r的几种方法：①等边三角形：②直角三角形：r斜边的一半③已知一组对边和对角的非特殊三角形：利用正弦定理！！！PABCD中，底面是正方形，PDAB2，平面．在这个四棱7例．如图，在棱锥锥中放入一个球，则球的最大半径为（）A．B．D．C．2D【答案】【分析】设球心为，连接，、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，利用这五个棱锥的体积之和等SPABCD的体积，则球的最大半径可求于棱锥.【详解】ABADPDADD，解：由平面，，又，所以平面，所以PAAB，，设此球半径为，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为，连接，、、、，则把RS此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为．R1SPD12222，2四棱锥的体积V333PABCDABCD四棱锥的表面积422，S2S△PAD2SS212221222222△PABABCD因为，所以．故选：D.【点睛】考查利用等体积法求四棱锥内切球的半径，基础题.模型二——补全立方体模型.正四面体：方法：如图所示正四面体ABCD的外接球，类型一转化成正方体的外接球可转化为正方体的外接球.8例．三棱锥的所有顶点都在半径为的球的球面上若是等边三角形，平面平面，2.ABBC，则三棱锥体积的最大值为________.【答案】3【分析】作图，设，则，，312PO1xOO24x2，求出，根据图像得，底面三角形的面积最大221时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥的体积最大，进而求解可得答案【详解】根据ABBC可知，为三角形所在截面圆的直径，又平面平面，为等边三角形，所以在上，如图所示，设，则，，312PO1xOO24x2，，221，，，，当底面三角形的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥的体积最大，此时，故答案为：3【点睛】关键点睛：解题关键是根据三角形的形状判断球心的位置，得出到平面的最大距离，难度属于中档题类型二.有三个面是直角三角形的三棱锥：转化成正方体或长方体的外接球DA平面ABCABBC，，例9：已知球的面上四点A、B、C、D，DA=AB=BC=3，则球的体积等于.解析：DA=AB=BC=3，则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.（如图4）图4类型三.有四个面是直角三角形的三棱锥：转化成正方体或长方体的外接球AB平面BCDBCDC，若，例10.已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB6,AC=213,AD=8，则球的体积是.解析：构造下面的长方体，于是为球的直径（如图5）类型四.对棱相等的三棱锥：转化成长方体的外接球例．在三棱锥中，SABC5,SBAC17,SCAB10，则该三棱锥外接11球的表面积为（）A．B．C．D．C【答案】【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，得球表面积．【详解】因为SABC5,SBAC17,SCAB10，所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，设长方体的长宽、高分别为，，，则有整理得abcabc26，则该棱222锥外接球的半径，4R226．球故选：C．【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是求出球的半径，方法是把球放在一个长方体中，三棱锥的各棱是长方体六个面上面对角线．三.确定球心位置法例．在四面体中，平面，90,2,AB1，则该四面体的外接球的表12ABCSAAC面积为（）A．B．C．D．C【答案】【分析】根据题目条件先确定出外接球的球心，得出外接球半径，然后计算表面积.【详解】因为平面，平面，所以，又ABC90，SAABA，且平面，平面，所以平面，所以BCSB.因为SAAC2,AB1，所以，，，根据该几何体的特点可知，该四面体的外接球球心位于的中点，则外接球半径，故该四面体的外接球的表面积为.故选：C.,【点睛】本题考查棱锥的外接球问题，难度一般，根据几何条件确定出球心是关键.例．张衡年年是中国东汉时期伟大的天文学家文学家数学家他的数学著作､13､(78~139).有《算球与内切球上各有一个）罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接动点，，若线段的最小值为，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（A．30B．C．D．36【答案】C【分析】设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，正方体的外接球半径，再已知条件和球的表面积公式可得选项.【详解】设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，a222正方体的外接球半径满足：R22a，则.2由题意知：，则，，该正方体的外接球的表面积为，又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即，所以，所以外接球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球，内切球的相关计算，以及数学文化，属于中档题.四．寻求轴截面圆半径法ABCABC，其中，若，当四棱锥BAACC1例14．如图所示的三棱柱体积最大1111时，三棱柱ABCABC外接球的体积为（）111A．【答案】C【分析】B．C．D．四棱锥BAACC体积是三棱柱ABCABC体积的，因此要三棱柱ABCABC体11111111积，而棱柱的高最大值为，因此只要最大即可，此时三棱柱ABCABC是直三棱柱，111且底面是直角三角形，是斜边，因此其外接球球心是和的交点．由此可得外接球半径．【详解】1VABCABCV2，∴只要三棱柱ABCABC体积111∵VBABC，∴VBAACC33ABCABC11111取最大值，则四棱锥BAACC体积最大，三棱柱ABCABC的高最大值为，11111∴此时1ACBCAAACBC，ACBC2AB242ACBC，当且仅当221ACBC时等号成立，∴ACBC的最大值为2（此时ACBC2），∴．连接交EFAB，从而平面，由知是的外心，∴是三棱柱于点，设分别是的中点，则，且4OA34(2)3382．3ABCABC外接球的球心，在正方形中，，∴V1113故选：C．【点睛】本题考查球的体积，考查三棱柱与其外接球，考查棱柱与棱锥的体积．本题难点有两个，一个是三棱柱体积最大时三棱柱中的线面位置关系，一个是外接球的球心位置．多面体的外接球球心一定在过各面外心的该面的垂线上．，PAPC例15．如图所示，在三棱锥中，面面，ABC9032，BABC2，则三棱锥的外接球的体积为______.【答案】【分析】先确定底面等腰直角三角形的外接圆圆心是中点，则球心一定在面的垂线上，再利用是的外心列关系计算半径，即求得体积.【详解】如图，取中点，连接，BABC2，ABC90，，且为的外心.PAPC32，是中点，POAC，又面面，交线是，故面，则三棱锥的外接球的球心在上，设为点，则点是的外心，AGGP即为球半径R.中，PAPC32，，故，22R2，解得，在RtAOG中GO2AO2AG2，4R2故球的体积为.故答案为：.【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据其到其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.1．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，OOAB23，根据球的截面性质平面，1OOOA,ROAOO2OA2OO2r24，11111.S4R264球的表面积故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.2．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题同一个半径为的球的球面为，则三棱锥DABC上四点，为等边三角形且其面积设是4体积的最大值为A．B．C．D．【答案】B【详解】分析：作图，交点，点判断出当平面时，三棱D为MO与球的M为三角形ABC的中心，锥DABC体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥DABC体积最大此时，ODOBR4,点M为三角形ABC的中心RtOMBOMOB2BM22中，有1936183V3DABCmax点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由，则该球体积V的最大值是D．B.，故选.考点：球及其性质4．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，△是边长为的正三P-ABCOPA=PB=PCABC2角形，，分别是，的中点，∠°，则球的体积为EFPAABCEF=90OA．B．C．D．D【答案】【分析】先得证平面，再求得PAPBPC2，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:PAPBPC,ABC为边长为2的等边三角形，PABC为正三棱锥，PBAC，又，分别为、中点，EF//PBEFACEFCE，CEACC,EF平面，平面，，，，又PABC为正方体一部分，2R2226，即R6,V4R3436686，故选D．23解法二:设，分别为中点，EF//PB，且，为边长为2的等边三角形，又CEF90CE3x,AE1PAx22x243x2，作PDAC于，PAPC，中余弦定理cosEAC22xcosEACAD1为中点，，，PA2xPAPBPC2，又，PA,PB,PC两两垂直，，，，V4R34666，故选.D338【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．5．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国2卷）体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A．B．C．D．A【答案】【解析】82试题分析：因为正方体的体积为，所以棱长为，所以正方体的体对角线长为，所以正方，故选4(3)212A.体的外接球的半径为，所以该球的表面积为【考点】正方体的性质，球的表面积【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个：外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和.6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷），则该球体积V的最大值是D．【解析】.考点：球及其性质已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体C．D．C【答案】【详解】如图所示，当点位于垂直C于面的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球的半径为，此时VVCAOB11R2R1R336，故，则球的32表面积为OABC6S4R2144，故选C．考点：外接球表面积和椎体的体积．8．2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）新课标文科数学设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A．3a2B．6a2C．12a2D．24a2【答案】B【详解】方体的长、宽、高分别为,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以球直径为：，所以球的半径为，所以球的表面积是，故选B9．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．B．D．C．【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，结合勾股定理，底面半径，233ππ由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是Vr1π，故选B.22h4【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，定确球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.二、填空题10．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，SBBC，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______．【答案】36π【解析】三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，可得，解得r=3.球O的表面积为：4r236.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球