环境规划与管理的数学

环境规划与管理的数学第1页/共108页第一节环境数据处理方法列表法

图示法

一、数据的表示方法

将数据列成表格，将各变量的数值依照一定的形式和顺序一一对应起来，它通常是整理数据的第一步，能为标绘曲线图或整理成数学公式打下基础。

将数据用图形表示出来，它能用更加直观和形象的形式将复杂的数据表现出来,可以直观地看出数据变化的特征和规律,为后一步数学模型的建立提供依据。插值法计算数值第2页/共108页1、列表法例：研究电阻的阻值与温度的关系时，测试结果如下：测量序号温度t/℃电阻R/Ω110．510．42229．410．92342．711．32460．011．80575．012．24691．012．67第3页/共108页2、图示法图示法的第一步就是按列表法的要求列出因变量y与自变量x相对应的yi与xi数据表格。作曲线图时必须依据一定的法则，只有遵守这些法则，才能得到与实验点位置偏差最小而光滑的曲线图形。坐标纸的选择--常用的坐标系为直角坐标系，包括笛卡尔坐标系（又称普通直角坐标系）、半对数坐标系和对数坐标系。第4页/共108页2、图示法半对数坐标系一个轴是分度均匀的普通坐标轴，另一个轴是分度不均匀的对数坐标轴。右图中的横坐标轴（x轴）是对数坐标。在此轴上，某点与原点的实际距离为该点对应数的对数值，但是在该点标出的值是真数。为了说明作图的原理，作一条平行于横坐标轴的对数数值线。

半对数坐标的标度法对数坐标系两个轴(x和y)都是对数标度的坐标轴，即每个轴的标度都是按上面所述的原则作成的

第5页/共108页例：用分光光度计法测定溶液中铁的含量,测得标准曲线数据如下：Fe（μg/mL）24681012吸光度（A）0.0970.2000.3040.4080.5100.613测得未知液的吸光度为0.413，试求未知液中铁的含量。在图的纵坐标上0.413处找到直线上对应点，读出其对应的横坐标即为未知液中铁的含量8.1223、插值法计算数值

（1）作图插值法第6页/共108页所以此式即为比例法内插公式，从图上可看出，因为用yc代替了yd,产生了的误差。（2）比例法第7页/共108页（3）牛顿内插公式

一般的非线性函数都可以展开为多项式例：制作的查分表。

表中△y表示y的依次差值，△y2表示y的差值的差值，以此类推。第8页/共108页在上面的例子中，x的差值为1，实际上x的差值可以为任意恒量，令此恒量为h，做出差分表的通式。第9页/共108页（二）数据特征数据特征是对环境总体状况进行估计判断的基础，是认识数据理论特性的基本出发点，通常可分为以下三类：位置特征数:表示数据集中趋势或刻画频数分布图中心位置的特征数；离散特征数:用来描述数据分散程度；分布形态特征数:刻划了根据所获数据绘制的分布曲线图的形态。第10页/共108页1.位置特征数（1）算术平均数：式中：x1,x2,…,xn为样本个体数据，n为样本个数第11页/共108页（2）加权平均数

如果样本个体数据x1,x2,…,xn取值因频数不同或对总体重要性有所差别，则常采取加权平均方法。式中：wi是个体数据出现频数，或是因该个体对样本贡献不同而取的不同的数值。

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1.位置特征数（4）调和平均数（3）几何平均数第13页/共108页

（5）中位数环境数据有时显得比较分散，甚至个别的数据离群偏远，难以判断去留，这时往往用到中位数。样本数据依次排列（从大到小或者从小到大）居中间位置的数即为中位数，若数据个数为偶数，则中位数为正中两个数的平均值。只有当数据的分布呈正态分布时，中位数才代表这组数据的中心趋向，近似于真值。1.位置特征数第14页/共108页

1.位置特征数环境统计中常常用到几何平均数。不同的平均值都有各自适用场合，选择的平均数指标应能反映数据典型水平，并非随意采用。几何平均直径第15页/共108页

2.离散特征数第16页/共108页3.分布形态特征数

第17页/共108页二、异常数据的剔除在处理实验数据的时候，我们常常会遇到个别数据偏离预期或大量统计数据结果的情况，如果我们把这些数据和正常数据放在一起进行统计，可能会影响实验结果的正确性，如果把这些数据简单地剔除，又可能忽略了重要的实验信息。这里重要的问题是如何判断异常数据，然后将其剔除。判断和剔除异常数据是数据处理中的一项重要任务，目前的一些方法还不是十分完善，有待进一步研究和探索。第18页/共108页目前人们对异常数据的判别与剔除主要采用物理判别法和统计判别法两种方法。物理判别法就是根据人们对客观事物已有的认识，判别由于外界干扰、人为误差等原因造成实测数据偏离正常结果，在实验过程中随时判断，随时剔除。统计判别法是给定一个置信概率，并确定一个置信限，凡超过此限的误差，就认为它不属于随机误差范围，将其视为异常数据剔除。第19页/共108页剔除异常数据实质上是区别异常数据由偶然误差还是系统误差造成的问题。若是人为因素的偶然误差就应剔除，如果没有足够的理由证实是偶然过失造成的时候，应对数据进行统计处理，采用一定的检验方法来决定取舍。本节着重介绍统计判别法。第20页/共108页1.拉依达准则

则应将xp从该组数据中剔除，至于选择3s还是2s与显著性水平α有关，显著性水平α表示的是检验出错的几率为α，或检验的可置信度为1－α。3s相当于显著水平＝0.01，2s相当于显著水平＝0.05。

若可疑数据xp与样本数据之算术平均值的偏差的绝对值大于3倍（2倍）的标准偏差，即：第21页/共108页2.格拉布斯准则

用格拉布斯准则检验可疑数据xp时，选取一定的显著性水平α，若：

则应将xp从该组数据中剔除，称为格拉布斯检验临界值，可查相关表格得到。

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以上准则是以数据按正态分布为前提的，当偏离正态分布,特别是测量次数很少时，则判断的可靠性就差。因此，对粗大误差除用剔除准则外，更重要的是要提高工作人员的技术水平和工作责任心。另外,要保证测量条件稳定，防止因环境条件剧烈变化而产生的突变影响。第23页/共108页

3.狄克逊（dixon）法狄克逊研究了n次测量结果，按其数值大小排列成如下次序：当xi

服从正态分布时

狄克逊法是采用极差比的方法，经严密推算和简化而得到的准则。第24页/共108页用不同的公式求得f值，再经过查表，得到相应的临界值，进行比较,若计算值>f(n，α)视为异常值，舍弃；再对剩余数值进行检验，直到没有异常值为止。狄克逊通过模拟实验认为：n≤7，使用f10

；8≤n≤10，用f11

；11≤n≤13，用f21

；n≥14，用f22

效果好。第25页/共108页第26页/共108页例题

用狄克逊法判断下列测试数据(40.02，40.15，40.20，40.13，40.16)中的40.02是否应舍弃？解：将数据排列，取α=0.0540.0240.1340.1540.1640.20

，0.611＜0.64240.02应保留。第27页/共108页三、数据的误差分析（一）几种误差的基本概念绝对误差

绝对误差＝观测值-真值。绝对误差反映了观测值偏离真值的大小。通常所说的误差一般是指绝对误差。

相对误差是绝对误差和真值的比值，常用百分数表示。算术平均误差它可以反映一组数据的误差大小标准误差也称均方根误差或标准偏差，它常用来表示观测数据的精密度，能明显地反映出较大的个别误差，标准差越小，说明数据精密度越好

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例题:滴定的体积误差V绝对误差相对误差20.00mL0.02mL0.1%2.00mL0.02mL1.0%第29页/共108页（二）误差的来源及分类1.随机误差随机误差是在一定条件下以不可预知的规律变化着的误差。这些偶然因素是操作者无法严格控制的，故无法完全避免随机误差。但它的出现一般具有统计规律，大多服从正态分布。第30页/共108页（二）误差的来源及分类2.系统误差系统误差是指由某个或某些不确定的因素所引起的误差。当条件一旦确定，系统误差就是一个客观上的恒定值，它不能通过多次测量取平均值的方法来消除，只能根据仪器的性能、环境条件或个人偏差等进行校正，使之降低。3.过失误差过失误差是由于操作人员不仔细、操作不正确等原因引起的，它是可以完全避免的。第31页/共108页（三）误差分析

误差可能是由于随机误差或系统误差单独造成的，还可能是两者的叠加。误差分析中，常采用精密度、正确度和准确度来表示误差的性质。精密度反映了随机误差大小的程度，是指在相同条件下，对被测对象进行多次反复测量，测量值之间的一致(符合)程度。

正确度指测量值与其“真值”的接近程度。对于一组数据来说，精密度高并不意味着正确度也高；反之，精密度不好，但当测量次数相当多时，有时也会得到好的正确度。准确度指被测对象测量值之间的一致程度以及与其“真值”的接近程度。第32页/共108页准确度、正确度和精密度的关系第33页/共108页四、数据的标准化处理

在大批的环境统计数据中，当数据的物理量不同、单位或量值差别较大时，常常会给下一步分析带来困难，这时就有必要对数据进行标准化处理，从而提高计算的精度。环境管理与规划中，常采用下面的公式进行标准化处理：第34页/共108页第二节最优化分析方法

一、线性规划二、非线性规划三、动态规划

第35页/共108页系统分析

系统分析：就是对一个系统内的基本问题，用系统观点思维推理，在确定和不确定的条件下，探索可能采取的方案，通过分析对比，为达到预期目标选出最优方案的过程。是目前系统工程的基本处理方法。目的：通过分析比较各种替代方案的费用、效益、功能和可靠性等各项技术经济指标，得出可供决策者决策所必须的信息和资料，以获得最优方案。第36页/共108页环境系统分析环境问题是各有关因素综合作用造成的。将环境问题作为一个系统来研究，从整体上来考虑，找出最有效的控制对策。以系统的观点解决环境问题，为取得最佳可行控制方案，以及制定有效的综合性管理对策开辟了广阔途径。第37页/共108页不公平现象：工厂排放废水所需的费用，由渔场承担。因为渔场不应该支付由于工厂排放废水而引出的费用，而工厂损害了环境资源，应当支付费用补偿给其他使用者。例1:如图所示，位于某一河流上游的工厂将有毒废水排入河流，这种有毒废水影响下游商业渔场的捕捞量。假设只有该工厂使用这段河流。已知工厂处理废水minX=50000元，此时渔场收益Y=30000元（消除工厂废水排放的干扰）。如何解决这一问题？它有两个极端解：第38页/共108页参数：X-工厂费用，Y-渔场收益，Q-净效益(1)任意排放：工厂废水不经过处理排放，则工厂不支出处理费，已知此时渔场的收益是Y=10000元，则相当于工厂获50000元收益，而渔场付出20000元费用，X=0,则系统的净效益Q=30000元。(2)完全禁止排放：则无工厂收益和渔场费用，X=50000,Y=30000,系统不产生净效益,Q=0实际上Q=(50000-x)-(30000-y)=20000-x+y所以，河流接纳废水和渔场可能比只作渔场使用价值大，而且可能存在更好的方案。第39页/共108页例如：如果工厂花10000元使部分废水不排入河流，可以使渔场收益增至25000元，那么系统的净效益

Q=(50000-10000）-（30000-25000）

=35000元当然，对每种可能的方案都可以作类似的评价，这样可以找到一种净效益最大的方案。第40页/共108页系统分析的过程第41页/共108页系统分析的步骤1、系统和目标的确定（1）决策者的识别（2）确定系统的边界和组成（3）目标的定量化2、产生和评价方案

(1)建立最优化模型

a、确定变量

b、建立变量之间的关系（2）解最优化模型3、选择一个方案第42页/共108页系统分析应用举例废水管理问题例2：某金属精炼厂每生产1kg金属，产生3kg废物，这些废物随工厂的废水排放，其浓度为2kg/m3。废水经过部分处理后，排入附近的河流。第43页/共108页政府对该厂规定的废物排放标准为100000kg/周。工厂每周生产金属55000kg，金属的售价是1.30美元/kg，生产成本为0.90美元/kg。厂内废水处理设施的处理能力为70000m3/周，处理费用是0.20美元/m3。处理效率与污染物负荷有关，设W代表废水处理量，单位是104m3/周，当W的变化范围为0到7时，处理效率等于1-0.06w。这个关系式说明，处理设施的负荷越大，处理效率越低。试用系统分析的方法分析怎样确定达到排放标准的有效途径。第44页/共108页废物排放量与生产水平有关，是工厂精练金属产量的函数。废物和污染物随工厂废水排放，废水的强度以污染物浓度度量，本例为2kg/m3

。

排放标准以污染物排放量为准，即排放污染物的千克数，而不是废水量。废水处理设施很难将污染物全部去除。应注意的几个问题各种因素使问题复杂化，而且没有一个明显的解第45页/共108页下面讨论系统分析的三个步骤。（一）目标和系统的确定1、目标目标1：排入河流的污染物量不大于100000kg/周。（达到排放标准）目标2：工厂利润（美元/周）最大。注意：这个目标与处理费用最小的目标有很大不同，处理费用最小的目标把系统分析仅仅限制在处理方案的选择上，而最大利润的目标则扩大了可选择管理方案的范围。第46页/共108页许多环境问题都是多目标的，即方案要满足多个目标或准则，而且目标之间常常互相抵触。在本例中，出水水质目标可能减少利润，“在最大利润下产生最小污染”是很难实现的。通常解决问题的方法是选择一个目标，使它最大化或最小化，而把其余目标定为约束条件。第47页/共108页2、系统系统的边界应包括工厂及废水处理设施，而不包括河流，工厂和处理设施是系统的组成部分。如果目标是以最小费用达到水质标准，那么系统将由河流和处理设施组成。第48页/共108页（二）方案的产生和评价

1、产生方案产生方案即寻找解决问题的各种途径，它是系统分析的组成部分。本例要解决的问题是达到排放标准。第一个控制方案就是减少废水的处理量，从而提高处理效率，则有部分废水未经处理直接排放；第二个控制方案就是改变金属产量，从而改变污染物发生量。第49页/共108页即两个因子可以控制：金属产量废水处理量。解决水污染问题的方案或可能的解有两个决策因子组成，即金属产量和废水处理量的选择。选择这两个决策因子不同的可行值，就组成不同的方案。第50页/共108页2、评价方案每个方案都要根据目标进行评价，必须确定方案是否达到排放标准和能获得多少利润。例如，某个方案的金属产量为50000kg/周，污染物发生量150000kg/周，第二个决策因子是处理厂处理污染物100000kg/周。

第51页/共108页（1）目标1：是否达到排放标准。

总排污量=未经处理的污染物+处理厂排放的剩余污染物。进入处理厂的废水量：

100000kg/周÷2kg/m3=50000m3/周处理效率e=1－0.06×5=0.70剩余污染物量=100000（1-0.7）

=30000kg/周。则污染物总排放量=（150000-100000）+30000=80000kg/周<100000kg/周满足排放标准的要求。评价这个方案，分析其满足目标的情况第52页/共108页（2）目标2：对利润目标进行评价

利润=商品销售收入－生产费用-废水处理费用商品销售收入=50000kg/周×1.3美元/kg=65000美元/周生产费用=50000kg/周×0.9美元/kg=45000美元/周废水处理费用=50000m3/周×0.2美元/m3=10000美元/周利润=65000-45000-10000=10000美元/周照此方法评价其它方案，评价程序相同，可以评价很多方案。

第53页/共108页（三）选择方案确定应该采纳哪个方案。在达到排放标准的方案中，选择利润最大的方案。系统分析是用系统观点思维推理，探索可能采取的方案，通过分析对比，为达到预期目标选出最优方案的过程。可以不用数学模型，而进行方案的比较，也可利用数学模型来处理和求解。第54页/共108页系统分析的模型化和最优化例3：将上述例2提出一个数学模型，并求出问题的最优解。（一）建立模型确定变量：假设x为工厂金属产量（104kg/周

），y为经处理厂处理的污染物量（104kg/周

），z为工厂每周的利润（美元/周），则（1）污染物未经处理的排放量是3x-y

（2）经处理厂处理后的残余污染物量废水流量=y/2，处理率e=1-0.06w=1-0.03y处理厂排出的污染物量是y(1-e)=0.03y2

（3）z=（1.3）104x-（0.9）104x-（0.20）104（y/2）

=4000X-1000Y第55页/共108页可建立如下的最优化模型：目标函数

maxZ=4000X-1000Y约束条件

3X-Y+0.03Y2≤10(1)X≤5.5(2)Y≤14.0(3)3X-Y≥0(4)X≥0Y≥0第56页/共108页（二）模型的解-单纯性法规划求解（三）决策第57页/共108页（二）模型的求解选择满足条件的一组X和Y值，即为一个方案。可行解：是满足所有约束条件的X和Y的组合。所有解的集合为可行解的集或可行域。最优解：使目标函数最大的可行解。最优化方法：（1）非正规搜索法（2）图解法（3）数学规划法每种方法通常仅适用于一定类型的最优化模型。第58页/共108页（1）非正规搜索法：依靠直观检验模型的可行域，用大体上合理的方法，逐步舍去劣解。用这种方法仅能得到最优化模型的近似解。可用试差法求解。以例3为例：a.模型的约束条件如图所示，阴影区域即是最优化模型的可行域。在可行域中的任何组合一定能满足所有约束条件，都是模型的可行解。第59页/共108页0123456782468101214161820⑴⑵⑷xy⑶约束条件

3X-Y+0.03Y2≤10(1)X≤5.5(2)Y≤14.0(3)3X-Y≥0(4)X≥0Y≥0目标函数

maxZ=4000X-1000Y第60页/共108页b.搜索模型的最优解分析目标函数，可知：理想的解是X尽可能的大，Y尽可能的小。分析可行解：A点：水平向右移动，z增加；垂直向下移动，z增加，所以A点劣于可行域右边界上的解。同理，分析B点、C点，同样劣于右边界上的解。D点：右边界上的一部分解也是明显的劣解，D点垂直向下移动，z增加，所以垂直边界上的任何解均劣于这条边界与曲线边界的交点E(5.5,8.9)所以，最优解一定在这条边界曲线（即污染物排放方程）上。第61页/共108页0123456782468101214161820ACDBxyE第62页/共108页上述的10个方案对应的结果见下表（这里我们取精确到小数点后一位，但金属产量X的取值不应该四舍五入，那样会导致排放量超过排放标准）方案XY污染物排放量Z13.309.91320023.619.81340033.929.81360044.239.91380054.5410.01400064.759.91380074.969.81360085.179.81340095.389.813200105.58.910.013100第63页/共108页所以方案5为最佳方案，即模型的最优解是：X=4.5（金属产量45000kg/周），Y=4（处理污染物40000kg/周），产生总利润Z=14000美元/周。第64页/共108页例4：有一个水质系统，如图所示。从上水系统取水，经过净化后供给城市饮用，并将污水经过处理厂流入下水系统，又有一条河流通过湖泊。已知城市产生污染物的量为3000kg/d，湖泊的自净率为75%，城市饮用水的标准为1000kg/d，游泳水的标准为3750kg/d，Wi（i=1,2,3,4）为水中污染物量（kg/d）。净水厂的费用G1=9×104＋13.3（W3－W4）元/每年，污水处理厂的费用为G2=6×104＋26.7（W1－W2）元/每年。城市排出的污染物借助于处理厂、自然净化以及由河流带走除去。现在，在充分利用自然净化条件来满足饮用水和游泳水的最高污染允许水平条件下，来确定污水处理厂和净水厂的最少处理费用。第65页/共108页目标函数

minZ=G1＋G2=9×104＋13.3（W3－W4）＋6×104＋26.7（W1－W2）

=23.01×104－23.4W2＋13.4W4解：根据以上数据和要求可以列出线线性规划模型约束条件W1－W4=3000（1）W3=0.25W2（2）Wi≥0,i=1,2,3,4(或W1≥0，W2≥0，W3≥0，W4≥0)W2≤W1W4≤W3W4≤1000（3）W2≤3750（4）第66页/共108页（2）图解法求解的基本定理可以证明：线性规划问题的可行域是凸集（凸多边形）；而且最优解一定是在凸集的某一顶点实现。先找一个基本可行解，与周围顶点比较，如不是最大，继续比较，直到找出最大为止。以例4为例：第67页/共108页a.模型的约束条件如图所示，阴影区域即是最优化模型的可行域。b.分析模型的最优解分析目标函数，可知：目标函数z是和截距相关的函数。最优解是在顶点A达到。计算可得，此时Z=15240（元），W2=3750，W4=750，W1=3750，W3=937.5（kg/d)即为最优方案第68页/共108页0100020003000400010002000⑴⑵⑶⑷W4

W2

A约束条件W1－W4=3000（1）W3=0.25W2（2）Wi≥0,i=1,2,3,4(或W1≥0，W2≥0，W3≥0，W4≥0)W2≤W1W4≤W3W4≤1000（3）W2≤3750（4）目标函数

minZ=23.01×104－23.4W2＋13.4W4第69页/共108页一、线性规划

在环境规划管理中，线性规划常常用来解决两类优化问题：一是如何优化资源配置使产值最大或利润最高，二是如何统筹安排以便消耗最少的资源或排放最少的污染物。一般线性规划问题的求解，最常用的算法是单纯形法。第70页/共108页二、非线性规划

在环境规划与管理中，某些问题的决策模型可能会出现下面的情况：①目标函数非线性，约束条件为线性；②目标函数为线性，约束条件非线性；③目标函数与约束条件均为非线性函数。上述情况均属于非线性规划问题，其数学模型的一般形式是：第71页/共108页二、非线性规划数值求解非线性规划的算法大体分为两类：一是采用逐步线性逼近的思想，通过一系列非线性函数线性化的过程，利用线性规划获得非线性规划的近似最优解；二是采用直接搜索的思想，根据部分可行解或非线性函数在局部范围内的某些特性，确定迭代程序，通过不断改进目标值的搜索计算，获得最优或满足需要的局部最优解。第72页/共108页三、动态规划

在环境规划管理中，经常遇到多阶段最优化问题，即各个阶段相互联系，任一阶段的决策选择不仅取决于前一阶段的决策结果，而且影响到下一阶段活动的决策，从而影响到整个决策过程的优化问题。这类问题通常采用动态规划方法求解。第73页/共108页三、动态规划基本原理为：作为多阶段决策问题，其整个过程的最优策略应具有这样的性质，即无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，其后一系列决策必须构成最优决策。可以把多阶段决策问题分解成许多相互联系的小问题，从而把一个大的决策过程分解成一系列前后有序的子决策过程，分阶段实现决策的“最优化”，进而实现“总体最优化”方案。为使最后决策方案获得最优决策效果，动态规划求解可用下列递推关系式表示：第74页/共108页三、动态规划第75页/共108页第三节常用决策分析方法

决策是指通过对解决问题备选方案的比较，从中选出最好的方案。决策贯穿于环境管理与规划的各个方面，是管理与规划的核心。第76页/共108页决策技术技术经济分析中的决策，是指对多方案进行评价与择优，从而选定一个最满意的方案。决策的分类按决策的条件确定型非确定型风险型按决策的对象宏观微观按决策在企业组织中的地位分类高层决策中层决策基层决策第77页/共108页

决策树法决策树技术的含义是把方案的一系列因素按它们的相互关系用树状结构表示出来，再按一定程序进行优选和决策的技术方法。决策树技术的优点便于有次序、有步骤、直观而又周密地考虑问题；便于集体讨论和决策；便于处理复杂问题的决策。第78页/共108页决策树图形

——表示决策点，从它引出的分枝称为策略方案分枝，分枝树反映可能的方案数；——表示策略方案节点，其引出的分枝称为概率分枝，分枝数目反映可能的自然状态数；——表示事件节点，又称末梢。第79页/共108页决策树图形适用对象多阶段决策、前一阶段的决策影响后续阶段的结构和决策的项目。方法用决策树的形式列出决策问题的逻辑结构。从决策树的末端向决策点倒退，计算出不同决策方案下的期望值，将未占优的方案去掉，直到得出初始的决策方案。第80页/共108页运用决策树技术的步骤（1）绘制决策树图；（2）预计可能事件（可能出现的自然状态）及其发生的概率；（3）计算各策略方案的损益期望值；（4）比较各策略方案的损益期望值，进行择优决策。若决策目标是效益，应取期望值大的方案；若决策目标是费用或损失，应取期望值小的方案。第81页/共108页决策树例题（参考书目：环境管理学-杨贤智编著

）

有一石油化工企业，对一批废油渣进行综合利用。它可以先作实验，然后决定是否综合利用；也可以不作实验，只凭经验决定是否综合利用。作实验的费用每次为3000元，综合利用费每次为10000元。若做出产品，可收入40000元；作不出产品，没有收入。各种不同情况下的产品成功概率均已估计出来，都标在图1上。试问欲使收益期期望值为最大，企业应如何作出决策。根据图中给出之数据求解。决策树采用逆顺序计算法。

第82页/共108页1．计算事件点②、③、④的期望值图1决策树

第83页/共108页②40000×0.85＋0×0.15＝34000③40000×0.10＋0×0.90＝4000④40000×0.55＋0×0.45＝22000原决策树根据以上算出的期望值可简化为（图2a）：2.在决策点2、3、4作出决策2按max[（34000－10000），0]＝24000，决定综合利用。3

按max[（4000－10000），0]＝0，决定不综合利用。4

按max[（22000－10000），0]＝12000，决定综合利用。决策树继续简化为（图2b）：第84页/共108页图2决策树第85页/共108页3.计算状态点①的期望值：24000×0.6＋0×0.4＝144004.在决策1作出决策。5.最后得出整个问题的决策序列为：不作实验、直接综合利用，收入期望值为12000元。

第86页/共108页二、决策矩阵

决策矩阵又称为损益矩阵，它是利用损益的期望值进行决策，常用于有限条件下资源分配的最优化决策问题。

1，2，…，m是满足决策目标要求的m个可行的独立备选方案，所有方案构成的集合A={1，2，…，m}称为决策空间，决策者在此范围内选择最终方案；S1，S2，…，S是每一种方案都可能遇到的外部条件，所有外部条件的集合S={S1，S2，…，Sn}称为状态空间；P1，P2，…，Pn是各种外部状态可能发生的概率，其发生的概率总和为1，即；决策矩阵的矩阵元素Vij表示第i个方案在第j种外部条件下所产生的收益或损失。第87页/共108页三、多目标决策方法

在环境管理与规划问题中,同时存在着多个目标，每个目标都要求达到其最优值，并且各目标之间往往存在着冲突和矛盾，这类问题就是多目标决策问题。解决这类决策问题的方法就是多目标决策方法。第88页/共108页三、多目标决策方法第89页/共108页

第四节环境数学模型

一、数学模型概述二、模型的建立三、模型参数的估算方法四、模型的检验第90页/共108页一、数学模型概述

环境数学模型是应用数学语言和方法来描述环境污染过程中的物理、化学、生物化学、生物生态以及社会等方面的内在规律和相互关系的数学方程。它是建立在对环境系统进行反复的观察研究，通过实验或现场监测，取得大量的有关信息和数据，进而对所研究的系统行为动态、过程本质和变化规律有了较深刻认识的基础上，经过简化和数学演绎而得出的一些数学表达式，这些表达式描述了环境系统中各变量及其参数间的关系。第91页/共108页一、数学模型概述环境数学模型主要应用于环境规划与管理、环境影响评价和环境质量预测几个方面，其类型主要包括大气扩散模型、水文与水动力模型、水质模型、土壤侵蚀模型、沉积物迁移模型和物种栖息地模型等，每一类模型又可按模型的空间维数、时间相关性、数学方程特征等来进行分类.第92页/共108页第93页/共108页二、模型建立建立数学模型的步骤(一)建模准备了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。(二)模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步，建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。第94页/共108页二、模型建立建立模型的方法1、图解法采用点和线组成的用以描述系统的图形称为图模型，可用于描述自然界和人类社会中大量事物和实物之间的关系。图模型形象、直观，对决策者了解系统结构和功能之间的关系很有帮助。但图解建模法作为一种描述性方法，往往精确度较差，而且受人的视觉影响而局限于三维空间中，因此它通常作为建立系统方程式模型的辅助分析工具来用。第95页/共108页2、质量平衡法

根据质量平衡原则建立微分方程是最常用的建立白箱模型的方法。应用质量平衡方法必须知道物质流的方向和通量，污染物质反应的方式和速度，以及各种污染物之间的相关关系和关联作用。环境数学模型中很多都是在质量平衡的基础上建立的。值得注