理学高等数学9二重积分

理学高等数学9二重积分第1页/共125页柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出第2页/共125页播放

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第3页/共125页步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积第4页/共125页２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量第5页/共125页二、二重积分的概念第6页/共125页积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素第7页/共125页对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．第8页/共125页

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为第9页/共125页性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质第10页/共125页性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有第11页/共125页性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）第12页/共125页解第13页/共125页解第14页/共125页解第15页/共125页解第16页/共125页二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结第17页/共125页思考题

将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.第18页/共125页

定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答第19页/共125页练习题第20页/共125页第21页/共125页第22页/共125页练习题答案第23页/共125页

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第24页/共125页

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第25页/共125页

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第26页/共125页

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第27页/共125页

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第28页/共125页

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第29页/共125页如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］第30页/共125页应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得第31页/共125页如果积分区域为：［Y－型］第32页/共125页

X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.第33页/共125页解积分区域如图第34页/共125页解积分区域如图第35页/共125页解原式第36页/共125页解第37页/共125页解第38页/共125页解第39页/共125页解曲面围成的立体如图.第40页/共125页第41页/共125页二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结［Y－型］［X－型］第42页/共125页思考题第43页/共125页思考题解答第44页/共125页第45页/共125页练习题第46页/共125页第47页/共125页第48页/共125页第49页/共125页练习题答案第50页/共125页第51页/共125页一、利用极坐标系计算二重积分第52页/共125页二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图第53页/共125页区域特征如图第54页/共125页二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图第55页/共125页极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图第56页/共125页解第57页/共125页解第58页/共125页解第59页/共125页第60页/共125页第61页/共125页解第62页/共125页解第63页/共125页解第64页/共125页第65页/共125页二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）二、小结第66页/共125页思考题第67页/共125页思考题解答第68页/共125页练习题第69页/共125页第70页/共125页第71页/共125页练习题答案第72页/共125页第73页/共125页

一、二重积分的换元法第74页/共125页第75页/共125页例1解第76页/共125页第77页/共125页例2解第78页/共125页第79页/共125页

二、小结基本要求:变换后定限简便，求积容易．第80页/共125页思考题第81页/共125页思考题解答第82页/共125页第83页/共125页练习题第84页/共125页练习题答案第85页/共125页一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.

若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域时，相应地部分量可近似地表示为的形式，其中在内．这个称为所求量U的元素，记为，所求量的积分表达式为第86页/共125页二、曲面的面积卫星第87页/共125页１．设曲面的方程为：如图，第88页/共125页曲面S的面积元素曲面面积公式为：第89页/共125页３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得第90页/共125页解第91页/共125页第92页/共125页解解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为第93页/共125页第94页/共125页几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结第95页/共125页思考题第96页/共125页薄片关于轴对称思考题解答第97页/共125页定义几何意义性质计算法应用二重积分一、主要内容第98页/共125页1、二重积分的定义第99页/共125页２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．第100页/共125页性质１当为常数时，性质２３、二重积分的性质第101页/共125页性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积性质５若在D上，特殊地第102页/共125页性质６性质７（二重积分中值定理）第103页/共125页４、二重积分的计算［X－型］

X-型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（１）直角坐标系下第104页/共125页

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.［Y－型］第105页/共125页（２）极坐标系下第106页/共125页第107页/共125页5、二重积分的应用(1)体积设S曲面的方程为：曲面S的面积为(2)曲面积第108页/共125页二、典型例题例1解X-型第109页/共125页例2解先去掉绝对值符号，如图第110页/共125页例3解第111页/共125页第112页/共125页例4解第113页/共125页例5解第114页/共125页第115页/共125页例6

证第116页/共125页测验题第117页/共125页第118页/共125页第119页/共125页第120页/共125页三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序:1、òòòò-+yydxyxfdydxyxfdy30312010),(),(；2、òò-+21110),(xxdyyxfdx；3、òòqqqq00)sin,cos(rdrrrfda.第121页/共125页六、求平面1