非线性系统的分析相平面

非线性系统的分析相平面第1页，共61页，2023年，2月20日，星期二1.相平面:以和为横轴和纵轴构成的坐标平面.2.相点:相平面上任一点3.相轨迹:对二阶系统来讲，从某一初始状态出发，以时间t为参变量，便可画出一条连续变化的相轨迹。第2页，共61页，2023年，2月20日，星期二xx(x,,x)

持續振蕩4.相轨迹特点:⑴与初始点(状态)密切相关.⑵可以不直接求出微分方程而获得系统所有运动状态.5.相轨迹判断系统稳定性第3页，共61页，2023年，2月20日，星期二二、相平面图绘制方法1.解析法:适用于微分方程简单(二阶)或可分段线性化.设二阶系统(*)若令则直接积分,便解出相轨迹方程并由此画出相轨迹。第4页，共61页，2023年，2月20日，星期二整理上式并积分其中

上式表示一族封闭椭圆，说明:ξ=0时的状态为临界稳定，但实际中不存在，将随时间不是发散就是收敛。例：如无阻尼二阶系统令则，设初始条件为第5页，共61页，2023年，2月20日，星期二等倾线方程⒉图解法之一：等倾线法

它多用于解析法中求解微分方程困难的情况。若令二阶微分方程令满足相轨迹上的切线斜率为a第6页，共61页，2023年，2月20日，星期二⑴画图原理：据不同的斜率a可画出等斜线方向场（分布）可证明不同a不相交，则对确定初始点沿等斜率切线变化规律唯一。这样便可画出相轨迹（近似）⑵画图步骤：ii.作等倾线分布图iii.从初始点出发,沿相邻等倾线间的平均斜率依次作短直线便可画得。i.求出等倾线方程相轨迹必然以a的斜率经过等斜线。第7页，共61页，2023年，2月20日，星期二说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。例如令等斜线方程:等斜线分布图.相轨迹A点直线段交=－1.2线于B.11.122.111-=--=-=A,过点第8页，共61页，2023年，2月20日，星期二第9页，共61页，2023年，2月20日，星期二三.相轨迹和相平面图的性质1)相轨迹的斜率若相轨迹上任意一点的斜率为，则2)相轨迹的对称性按照图形对称的条件，关于横轴或纵轴对称的曲线，其对称点处的斜率大小相等，符号相反；关于原点对称的曲线，其对称点处斜率大小相等，符号相同。a第10页，共61页，2023年，2月20日，星期二则相轨迹关于对称(左右对称)。则相轨迹关于对称(上下对称)。则相轨迹关于原点对称。

的点称为奇点。设二阶系统的平衡点在原点，即f(0,0)=0，则原点也是奇点。又设在原点附近展成台劳级数3)相平面图的奇点奇点：相平面上同时满足第11页，共61页，2023年，2月20日，星期二高阶无穷小量可以省略，得到则该线性化系统的奇点的性质取决于特征根在复平面上的位置。设特征根为，根据在复平面的位置，可以有以下几种情况：第12页，共61页，2023年，2月20日，星期二①一对具有负实部的共轭复根每条相轨迹都以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的奇点称为稳定焦点。②一对具有正实部的共轭复根每条相轨迹都以震荡方式“卷离”平衡点，这种类型的奇点称为不稳定焦点。第13页，共61页，2023年，2月20日，星期二③特征根为两个负实根对应的相轨迹以非震荡方式趋聚于平衡点。这种类型的奇点称为稳定节点。第14页，共61页，2023年，2月20日，星期二④特征根为两个正实根对应的相轨迹以非震荡方式从平衡点散出。这种类型的奇点称为不稳定节点。⑤特征根为一对共轭纯虚根，系统处于无阻尼运动状态，系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这种奇点称为中心点。第15页，共61页，2023年，2月20日，星期二⑥特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都是先趋近平衡点，随后在尚未达到平衡点之前又远离平衡点而去，只有4条孤立的相轨迹除外，其中两条趋于平衡点，另两条从平衡点散出，这时奇点称为鞍点。第16页，共61页，2023年，2月20日，星期二

在非线性系统的相轨迹中，可能会存在特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域，这种特殊的相轨迹就称为奇线。

极限环就是最常见的一种奇线，它是相平面上一条孤立的封闭相轨迹，而且附近的其他相轨迹都无限地趋向或者离开它。

极限环作为一条相轨迹来说，既不存在平衡点，也不趋向无穷远，而是一个无首无尾的封闭环圈。4）极限环第17页，共61页，2023年，2月20日，星期二

如果起始于极限环内部和外部的相轨迹最终都趋于极限环上，则该极限环称为稳定的极限环，如图(a)所示。当系统受到小扰动的作用而偏离极限环时，经过一段时间后，系统的状态又能回到极限环上。

因此，稳定的极限环上系统就表现为自激振荡。极限环横向与纵向的最大值分别对应自激振荡的振幅与最大变化率。①稳定的极限环第18页，共61页，2023年，2月20日，星期二

如图(b)所示。起始于极限环内部和外部的相轨迹，最终都卷离极限环。当系统受到很小的扰动而偏离极限环时，系统状态再也不会回到极限环上来，因此称为不稳定的极限环。②不稳定的极限环第19页，共61页，2023年，2月20日，星期二③半稳定的极限环如果极限环两侧的相轨迹，一侧是卷向极限环，而另一侧卷离极限环，则该极限环称为半稳定的极限环，如图(c)与图(d)所示。

对于图(c)所示的系统显然是一个不稳定的系统，设计系统时应设法避免；而图(d)所示的系统则同不稳定的极限环一样，应使它的尺寸尽可能的大。第20页，共61页，2023年，2月20日，星期二5）由相轨迹求时间增量当相轨迹在x

方向移动一个增量时，如果在区间的变化不很剧烈，则可以把该区间内的平均值近似当成x

在此区间内匀速变化的速度。这样就可以用下式近似求出该区间对应的时间增量。第21页，共61页，2023年，2月20日，星期二三．线性系统的相平面分析一阶线性系统自由运动微分方程为相轨迹方程为设系统初始条件为，则相轨迹图下图所示第22页，共61页，2023年，2月20日，星期二第23页，共61页，2023年，2月20日，星期二二阶线性系统自由运动微分方程为当b>0时，上述方程可表示为特征根为相轨迹微分方程为第24页，共61页，2023年，2月20日，星期二令得到等倾线方程当a2-4b>0，且b≠0时，可得满足k=a的两条特殊的等倾线，其斜率为该式表明，特殊的等倾线斜率等于位于该等倾线上相轨迹任一点的切线斜率，即当相轨迹运动至特殊的等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不会第25页，共61页，2023年，2月20日，星期二脱离该等倾线。下面就线性二阶微分方程参数b<0,b=0和b>0的三种不同情况具体讨论，其相轨迹采用等倾线法或解析法绘制。①b<0。系统特征根s1，s2为符号相反的互异实根，相平面图如下。第26页，共61页，2023年，2月20日，星期二由图可知，图中两条特殊的等倾线是相轨迹，也是其他相轨迹的渐近线。当初始条件位于对应的相轨迹上时，系统的运动将趋于原点，但只要受到微小扰动，运动将偏离该轨迹，并沿着相轨迹方向发散。因此b<0时，系统是不稳定的。第27页，共61页，2023年，2月20日，星期二②b=0。系统特征根s1=0，s2=-a相轨迹方程为两边积分可得相轨迹方程相平面图如下所示，相轨迹为过初始点斜率为-a的直线。当a>0时，相轨迹收敛并最终停止在c轴上；a<0时，相轨迹发散。第28页，共61页，2023年，2月20日，星期二第29页，共61页，2023年，2月20日，星期二③b>0。由前面可知当b>0时，方程可以表示为可得根据的选取，可以分为以下几种情况：第30页，共61页，2023年，2月20日，星期二●设系统微分方程为特征根为两个具有负实部的共轭复根，系统稳定，过渡过程呈衰减震荡形式。其等倾线方程为第31页，共61页，2023年，2月20日，星期二第32页，共61页，2023年，2月20日，星期二●特征根为两个不相等的负实根，系统的零输入响应为非震荡衰减形式，存在两条特殊的等倾线，其斜率为相平面图如下图所示。当相轨迹初始点落在两条特殊等倾线上时，相轨迹沿该直线趋于原点；除此之外，相轨迹最终将沿着的方向趋于原点。第33页，共61页，2023年，2月20日，星期二第34页，共61页，2023年，2月20日，星期二●系统特征根为两个相等的负实根。取其相平面图如下。与相比，相轨迹的特殊等倾线蜕化为一条。第35页，共61页，2023年，2月20日，星期二●系统微分方程为特征根为两个共轭虚根，系统临界稳定，过渡过程为等幅震荡。改写系统方程为积分后得到相轨迹方程为第36页，共61页，2023年，2月20日，星期二第37页，共61页，2023年，2月20日，星期二●设系统微分方程为特征根为两个具有正实部的共轭复根，系统不稳定，过渡过程震荡发散。等倾线为第38页，共61页，2023年，2月20日，星期二第39页，共61页，2023年，2月20日，星期二●设系统微分方程为特征根为两个不相等的正实根，系统不稳定，过渡过程为非周期发散。等倾线方程为第40页，共61页，2023年，2月20日，星期二第41页，共61页，2023年，2月20日，星期二●系统特征根为两个相同的正实根，存在一条特殊的等倾线，系统相轨迹发散，相平面图如下图所示。第42页，共61页，2023年，2月20日，星期二1）分段列写非线性系统微分方程2）在相平面上确定每一个微分方程所在区域及开关线。3）按照线性系统相轨迹的作法，分段求解相轨迹方程。4）在开关线上做好两条相轨迹的链接。注意，下一条相轨迹的初始条件是上一条相轨迹的终止条件。四．非线性系统的相平面分析一般非线性系统利用分段线性微分方程来描述。第43页，共61页，2023年，2月20日，星期二(1)具有死区特性的非线性控制系统第44页，共61页，2023年，2月20日，星期二取作为状态变量，因为，第45页，共61页，2023年，2月20日，星期二给定参数T=1,Kk=1，根据二阶线性系统相轨迹分析结果，可得奇点类型区域I：奇点(-△，0)为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线();区域II：奇点(x，0)，x∈(-△,△)为稳定焦点，相轨迹沿直线收敛；区域I：奇点(△，0)为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线();由零初始条件和得到e(0)=R,。相轨迹如下图所示：第46页，共61页，2023年，2月20日，星期二若用比例环节k=1代替死区特性，即无死区影响时，线性二阶系统相轨迹如图中虚线所示。可以比较出死区特性对系统运动的影响。第47页，共61页，2023年，2月20日，星期二(2)具有饱和特性的非线性控制系统图中系统初始状态为零，且第48页，共61页，2023年，2月20日，星期二下面分别研究系统在r(t)=R·1(t)和r(t)=V0

t作用下的相轨迹。1）r(t)=R·1(t)。

A

为常数第49页，共61页，2023年，2月20日，星期二相轨迹方程为等倾线方程为为一簇平行于横轴的直线，其斜率k

为零。当a=0得，即为特殊的等倾线(k=a=0)。对于线性区域的奇点，求得为原点，且其特征根为负实部共轭复根，所以奇点是稳定焦点。由初始条件可知，e(0)=R，。取R=2，绘制相轨迹如图所示。第50页，共61页，2023年，2月20日，星期二第51页，共61页，2023年，2月20日，星期二2）r(t)=V0(t)。在线性区间，奇点为稳定能够的焦点。负饱和区和正饱和区内渐近线分别为第52页，共61页，2023年，2月20日，星期二当V0=1.2>KM0时，线性区内相轨迹奇点(0.3,0)为稳定焦点，且为虚奇点；饱和区内渐近线都位于相平面的上半平面，相轨迹如下图所示。第53页，共61页，2023年，2月20日，星期二当V0=0.4<KM0时，线性区内相轨迹奇点(0.1,0)为稳定焦点，且为实奇点；渐近线分别位于相平面的上下半平面，相轨迹收敛于(0.1,0)，系统地稳态误差为0.1，相轨迹如下图所示。第54页，共61页，2023年，2月20日，星期二当V0=0.8=KM0时，线性区内相轨迹奇点(0.2,0)为稳定焦点，为实奇点，位于开关线e=e0上；正饱和区的线性微分方程为该区域内相轨迹是斜率为-1/T的直线，横轴上大于e0的各个点都是奇点，所以系统存在问题误差。第55页，共61页，2023年，2月20日，星期二第56页，共61页，2023年，2月20日，星期二小结

本章介绍了非线性系统的两种设计方法：描述函数法、相平面法。它们都是用工程作图的方法分析解决问题。描述函数法把非线性特性基波传递关系做为它的替代公式，所以只适用于非线性程度较低和特性对称的非线性元件，还要求线性部分具有良好的低通滤波器特性。描述函数法的核心是计算非线性特性的描述函数和它的负倒特性。由于描述函数是系统运动状态做周期运动的描述，一般没有考虑外界作用。所以用于分析稳定性和自持振荡，而不能得到系统的响应。第57页，共61页，2023年，2月20日，星期二§3-4P