信息论与编码-第五章

信息论与编码-第五章第一页，共63页。信息论与编码-信源编码一般来说，提高抗干扰能力（降低失真或错误概率）往往是以降低信息传输率为代价的；反之，要提高信息传输率常常又会使抗干扰能力减弱。二者是有矛盾的。然而在信息论的编码定理中，已从理论上证明，至少存在某种最佳的编码或信息处理方法，能够解决上述矛盾，做到既可靠又有效地传输信息。这些结论对各种通信系统的设计和估价具有重大的理论指导意义。第二页，共63页。信息论与编码-信源编码编码分为信源编码和信道编码，信源编码又分为无失真和限失真。由于这些定理都要求符号数很大才能使它的值接近所规定的值，因而这些定理被称为极限定理。无失真信源编码定理为第一极限定理；信道编码定理（包括离散和连续信道）称为第二极限定理；限失真信编码定理称为第三极限定理。第三页，共63页。信息论与编码-信源编码由于信源符号之间存在分布不均匀和相关性，使得信源存在冗余度，信源编码的主要任务就是减少冗余，提高编码效率。具体说，就是针对信源输出符号序列的统计特性，寻找一定的方法把信源输出符号序列变换为最短的码字序列。信源编码的基本途径有两个，一是使序列中的各个符号尽可能地互相独立，即解除相关性；二是使编码中各个符号出现的概率尽可能地相等，即概率均匀化。第四页，共63页。信息论与编码-信源编码

编码的定义编码实质上是对信源的原始符号按一定的数学规则进行的一种变换。讨论无失真信源编码，可以不考虑干扰问题，所以它的数学描述比较简单。第五页，共63页。5.1编码的定义

信源编码器信道码表图5-1信源编码器示意图第六页，共63页。5.1编码的定义将信源消息分成若干组，即符号序列xi，

xi＝(xi1xi2…xil…xiL)，

xilA={a1，a2，…，ai，…，an}每个符号序列xi依照固定码表映射成一个码字yi，

yi＝(yi1yi2…yil…yiLi)，

yilB={b1，b2，…，bi，…，bm}这样的码称为分组码，有时也叫块码。只有分组码才有对应的码表，而非分组码中则不存在码表。

第七页，共63页。信息论与编码-信源编码输出的码符号序列称为码字，长度称为码字长度或简称码长。编码就是从信源符号到码符号的一种映射。若要实现无失真编码，则这种映射必须是一一对应的，并且是可逆的。码字长度有无限长（卷积码）、定长和变长（分组码）。码元符号通常使用二进制来表示第八页，共63页。信息论与编码-信源编码

信源符号取值概率码表码1码2a1

a2

a3

a4

p(a1)

p(a2)

p(a3)

p(a4)

00

01

10

11

0

01

001

111

变长码与定长码第九页，共63页。信息论与编码-信源编码

信源符号信源符号概率码1码2a1

a2

a3

a4

1/2

1/4

1/8

1/8

0

11

00

11

0

10

00

01

码的不同属性码3码41

10

100

1000

1

01

001

0001

第十页，共63页。信息论与编码-信源编码码符号的分类：下图是一个码分类图第十一页，共63页。信息论与编码-信源编码下面，我们给出这些码的定义。1.二元码若码符号集为，所有码字都是一些二元序列，则称为二元码。二元码是数字通信和计算机系统中最常用的一种码。2.等长码：若一组码中所有码字的码长都相同，即，则称为等长码。3.变长码：若一组码组中所有码字的码长各不相同，则称为变长码。第十二页，共63页。信息论与编码-信源编码4.非奇异码：若一组码中所有码字都不相同，则称为非奇异码。5.奇异码：若一组码中有相同的码字，则称为奇异码。6.唯一可译码：若码的任意一串有限长的码符号序列只能唯一地被译成所对应的信源符号序列，则此码称为唯一可译码，否则就称为非唯一可译码。第十三页，共63页。信息论与编码-信源编码例如{0,10,11}是一种唯一可译码。因为任意一串有限长码序列，如100111000，只能被分割成10，0，11，0，0。任何其他分割法都会产生一些非定义的码字。显然，奇异码不是唯一可译码，而非奇异码中有非唯一可译码和唯一可译码。上表中码3是唯一可译码，但码2不是唯一可译码。例如是由码2的（10，0，0，01，00）产生的序列，译码时可有多种分法，如10，0，00，10，0，此时产生歧义。第十四页，共63页。信息论与编码-信源编码7.非即时码和即时码：如果接收端收到一个完整的码字后，不能立即译码，还要等下一个码字开始接收后才能判断是否可以译码，这样的码叫做非即时码如果收到一个完整的码字以后，就可以立即译码，则叫做即时码。即时码要求任何一个码字都不是其他码字的前缀部分，也叫做异前缀码第十五页，共63页。信息论与编码-信源编码上表中码3是非即时码，而码4是即时码。码4中只要收到符号1就表示该码字已完整，可以立即译码。即时码又称为非延长码，任意一个码字都不是其他码字的前缀部分，有时叫做异前缀码。在延长码中，有的码是唯一可译的，主要取决于码的总体结构，如表中码3的延长码就是唯一可译的。第十六页，共63页。信息论与编码-信源编码码树：即时码的一种简单构造方法是树图法。对给定码字的全体集合可以用码树来描述它。所谓树，就是既有根、枝，又有节点，如图所示。图中，最上端A为根节点，A、B、C、D、E皆为节点，E为终端节点。A、B、C、D为中间节点，中间节点不安排码字，而只在终端节点安排码字.ABCD000E11111010010001第十七页，共63页。信息论与编码-信源编码每个终端节点所对应的码字就是从根节点出发到终端节点走过的路径上所对应的符号组成。如图3.2中的终端节点E，走过的路径为ABCDE，所对应的码符号分别为0、0、0、1，则E对应的码字为0001。可以看出，按树图法构成的码一定满足即时码的定义（一一对应，非前缀码）。从码树上可以得知，当第i阶的节点作为终端节点，且分配码字，则码字的码长为i。第十八页，共63页。信息论与编码-信源编码任一即时码都可以用树图法来表示。当码字长度给定后，用树图法安排的即时码不是唯一的。如图中，如果把左树枝安排为1，右树枝安排为0，则得到不同的结果。对一个给定的码，画出其对应的树，如果有中间节点安排了码字，则该码一定不是即时码。每个节点上都有个分支的树称为满树，否则为非满树。第十九页，共63页。5.1编码的定义010101二进制码树

001010101010101011010101第二十页，共63页。5.1编码的定义012012012012012012三进制码树第二十一页，共63页。码树与码字对应关系图树根树枝数节点终端节点节数非满树满树码字的起点码的进制数码字或码字的一部分码字码长变长码等长码第二十二页，共63页。信息论与编码-信源编码克拉夫特（Kraft）不等式对于码符号为的任意唯一可译码，其码字为，所对应的码长为，则必定满足克拉夫特不等式

反之，若码长满足上面的不等式，则一定存在具有这样码长的即时码。第二十三页，共63页。信息论与编码-信源编码注意：克拉夫特不等式只是说明唯一可译码是否存在，并不能作为唯一可译码的判据（可以排除，不能肯定）。如{0，10，010，111}满足克拉夫特不等式，但却不是唯一可译码。例题：设二进制码树中，对应的，由上述定理，可得因此不存在满足这种码长的唯一可译码。可以用树码进行检查。第二十四页，共63页。例题：将各码字长度改为由上述定理，可得

因此存在满足这种码长的唯一可译码。如（0，10，110，111）。可以用树码进行检查。但{0，10，010，111}满足克拉夫特不等式，却不是唯一可译码。信息论与编码-信源编码第二十五页，共63页。信息论与编码-信源编码定长编码定理前面已经说过，所谓信源编码，就是将信源符号序列变换成另一个序列（码字）。设信源输出符号序列长度为L，码字的长度为，编码的目的，就是要是信源的信息率最小，也就是说，要用最少的符号来代表信源。第二十六页，共63页。信息论与编码-信源编码在定长编码中，对每一个信源序列，都是定值，设等于K，我们的目的是寻找最小K值。要实现无失真的信源编码，要求信源符号与码字是一一对应的，并求由码字组成的符号序列的逆变换也是唯一的（唯一可译码）。第二十七页，共63页。信息论与编码-信源编码定长编码定理：由L个符号组成的、每个符号熵为的无记忆平稳信源符号序列，可用个符号（每个符号有m中可能值）进行定长编码。对任意，只要则当L足够大时，必可使译码差错小于第二十八页，共63页。信息论与编码-信源编码反之，当时，译码差错一定是有限值，当L足够大时，译码几乎必定出错。第二十九页，共63页。信息论与编码-信源编码式中，左边是输出码字每符号所能载荷的最大信息量上述定理的条件可改写成上式大于号左边为KL

长码字所能携带的最大信息量，右边为L长信源序列携带的信息量。第三十页，共63页。信息论与编码-信源编码所以等长编码定理告诉我们，只要码字传输的信息量大于信源序列携带的信息量，总可以实现几乎无失真的编码。条件是所取得符号数L足够大。第三十一页，共63页。信息论与编码-信源编码例如，某信源有8种等概率符号，L＝1，信源序列熵达到最大值：

H1(X)=log8=3bit/符号即该信源符号肯定可以用3比特的信息率进行无失真的编码。这就是说，如果采用二进制符号作为码字输出符号，则用3个比特就可以表示一个符号。第三十二页，共63页。信息论与编码-信源编码当信源符号输出概率不相等时，如，

p(xi)={.4,.18,.1,.1,.07,.06,.05,.04}

则此时，H1(X)=2.55bit/符号因22.55=5.856，即若用2.55bit来表示，只有5.856种可能码字，还有部分符号没有对应的码字这些符号一旦出现，被传输至接受端，就没有对应的码字译码，因而引起译码差错。所以定长编码一般都存在译码差错，只是差错大小不同。当L足够大时，有些序列发生的概率很小，因此可使得译码差错达到足够小。第三十三页，共63页。设是信源序列的样本矢量，，则共有种样本我们把它分成两个互补的集和集中的元素（样本矢量）有与之对应的不同码字而集中的元素没有对应的输出码字，因而会在译码时发生差错。信息论与编码-信源编码第三十四页，共63页。信息论与编码-信源编码如果允许一定的差错，则编码时只需对属于中的个样本矢量赋予相应的不同字码，即输出码字的总个数只要大于就可以了。在这种编码方式下，差错概率即为集中元素发生的概率

,此时要求，因而集中的样本都应是小概率事件。当L则增大时虽然样本数也随着增多，但小概率事件的概率将更小，有望使更小。第三十五页，共63页。设差错概率为，信源序列的自方差为根据契比雪夫不等式，得：当和均为定值时，只要L足够大，可以小于任一整数，即信息论与编码-信源编码第三十六页，共63页。信息论与编码-信源编码此时要求：只要足够小，就可以几乎无差错地译码，当然代价是L变得更大。第三十七页，共63页。信息论与编码-信源编码令为码字最大平均符号信息量。定义编码效率为：最佳编码效率为第三十八页，共63页。信息论与编码-信源编码无失真信源编码定理从理论上阐明了编码效率接近于1的理想编码器的存在性，它使输出符号的信息率与信源熵之比接近于1，但要在实际中实现，则要求信源符号序列的L非常大进行统一编码才行，这往往是不现实的。第三十九页，共63页。信息论与编码-信源编码例题：设离散无记忆信源概率空间为信源熵为自信息方差为第四十页，共63页。信息论与编码-信源编码第四十一页，共63页。信息论与编码-信源编码对信源符号采用定长二元编码，要求编码效率，无记忆信源有，因此可以得到如果要求译码错误概率，则第四十二页，共63页。信息论与编码-信源编码由此可见，在对编码效率和译码错误概率的要求不是十分苛刻的情况下，就需要个信源符号一起进行编码，这对存储和处理技术的要求太高，目前还无法实现。如果用3比特来对上述信源的8个符号进行定长二元编码，L=1，此时可实现译码无差错，但编码效率只有2.55/3=85%。因此，一般说来，当L有限时，高传输效率的定长码往往要引入一定的失真和译码错误。解决的办法是可以采用变长编码。第四十三页，共63页。信息论与编码-信源编码变长编码定理在变长编码中，码长是变化的。对同一信源，其即时码或唯一可译码可以有许多种。究竟哪一种好呢？从高速传输信息的观点来考虑，当然希望选择由短的码符号组成的码字，就是用码长来作为选择准则，为此我们引入码的平均长度。设信源为第四十四页，共63页。信息论与编码-信源编码编码后的码字为其码长分别为因为对唯一可译码来说，信源符号与码字是一一对应的，所以有则这个码的平均长度为它是每个信源符号平均需用的码元数。第四十五页，共63页。信息论与编码-信源编码对某一信源来说，若有一个唯一可译码，其平均长度小于所有其它的唯一可译码的平均长度，则该码称为紧致码，或称最佳码。无失真变长信源编码的基本问题就是要找最佳码。第四十六页，共63页。信息论与编码-信源编码单个符号变长编码定理：若一离散无记忆信源的符号熵为H(X)，每个信源符号用m进制码元进行变长编码，一定存在一种无失真编码方法，其码字平均长度满足下面的不等式第四十七页，共63页。信息论与编码-信源编码离散平稳无记忆序列变长编码定理（香农第一定理）：对于平均符号熵为的离散平稳无记忆信源，必存在一种无失真信源编码方法，使平均信息率满足下面的不等式其中，为任意小正数。第四十八页，共63页。信息论与编码-信源编码上面的两个定理实际上是一样的，可以由第一个推导出第二个。设用m进制码元做变长编码，序列长度为L个信源符号，则该序列所对应的码字的平均长度满足下面的不等式而平均输出信息率为第四十九页，共63页。信息论与编码-信源编码故有当L足够大时，可使因此第五十页，共63页。信息论与编码-信源编码编码效率为剩余度（冗余度）为第五十一页，共63页。信息论与编码-信源编码用变长编码来达到相当高的编码效率，一般所要求的符号长度L可以比定长编码小得多。编码效率的下界：例如用二进制，m=2，logm=1，仍用前面的例子，H（X）=2.55比特/符号，若要求η〉90%，则，第五十二页，共63页。信息论与编码-信源编码香农第一编码定理给出了码字的平均长度的下界和上界。但并不是说大于这上界不能构成唯一可译码，而是因为我们总是希望尽可能短。定理说明当平均码长小于上界时，唯一可译码也存在。也就是说，定理给出的是最佳码的最短平均码长，并指出这个最短的平均码长与信源熵是有关的。第五十三页，共63页。信息论与编码-信源编码例题：设离散无记忆信源的概率空间为第五十四页，共63页。信息论与编码-信源编码其信源熵为