科技大学模糊控制第三章

科技大学模糊控制第三章第一页，共68页。3.1模糊关系关系：元素（同一集合或不同集合）或集合间的联系。关系可用“

”来表示，“

”可以是：大于、小于、在前、在后、包含、相似等。若

与

间有关系

，记为：

。反之，记为

。来仔细分析一下各种“关系”，看看还可以得到什么结果。第二页，共68页。3.1模糊关系例：普通集合论中有“等价”关系。即：“等价”。若存在等价关系，则意味着其满足：自反性。

(2)对称性。，则。

(3)传递性。，且，则。检验一下，若“认识”不等价。(2)(3)不满足。若“同班”若“同龄”不等价。

(3)不满足。满足。是等价关系。第三页，共68页。3.1模糊关系验证的过程很轻而易举，这是由于上述各“关系”含义清楚。（没有程度上的差异）而若

为“相似”、“相关”，则关系的含义比较模糊。有程度上的差别，表现为一种模糊关系。模糊数学是用来处理具有模糊特征的事物的。因此，看一下在模糊数学体系中，如何定义模糊关系(F·R)?直积（笛卡尔乘积）设有两个集合，和的直积定义为：第四页，共68页。3.1模糊关系它是由序偶的全体所构成的二维论域上的集合。一般地，模糊关系设是集合和的直积，以为论域定义的模糊集合，称为和的模糊关系，也就是说，对中任一元素，都指定了它对的隶属度注意：(1)

是用来定义的，因此其特性也完全由

来刻画。

是以x,y为自变量的一个空间曲面。即定义了一个映射，第五页，共68页。3.1模糊关系(2)

当，皆为有限离散集合时，则可以用矩阵来表示，称为模糊关系矩阵，即：再来看一个的例子，体会一下的数字和实际意义。例：身高()={1.40，1.50，1.60，1.70，1.80}

体重()={40，50，60，70，80}问：和有关系，如：第六页，共68页。

40506070801.400.90.80.2001.500.80.90.80.201.600.20.80.90.80.21.7000.20.80.90.91.80000.20.80.83.1模糊关系是否有“比较胖”的含义？（沿每一高度分析sliced）关于体态的描述，单一变量没有意义或意义不完整。可以看出：(1)建立了和间的关系（可能是比较胖）

(2)

是一个空间曲面。

第七页，共68页。3.1模糊关系在模糊信息处理及控制中，常用如下定义的模糊关系：此处，和分别为相应论域（可以是和）上的模糊集合。

且：注意：和直积的区别。举例：：炉温，：炉压。：炉温高，：炉压大。

可以是：“炉温高且炉压大”“and”的关系“炉温高则炉压大”因果关系第八页，共68页。3.1模糊关系则若定义，有：例：在和的论域上，分别有集合：第九页，共68页。3.1模糊关系“关系”在模糊信息处理中的作用：根据已有知识建立关系。根据新的输入和已有的关系，确定新的输出。即：

已知，已知，求：解释：

：温度高则压力大。

：温度比较高。压力？第十页，共68页。3.2模糊逻辑推理3.2

模糊逻辑推理是一个信息处理的过程，其作用类似于传统控制中的控制器。数学模型输入（数值）输出（数值）推理机制（知识）输入（事实）命题输出（结论）命题“计算”：处理的是数值。

特点：数值变量，控制模型。“推理”：处理的是命题。一个例子：博士生发的论文数不够第十一页，共68页。3.2模糊逻辑推理例：推理题（处理的是命题间的关系）大前提（知识，前提1，Proposition1）6是偶数小前提（事实，前提2，Proposition2）X是6结论X是偶数。这种推理的特点：知识和事实清楚、确定，据此得到的结论清楚、确定。但在实际中，知识和事实中的信息不精确、不完全，如：事实本身就是模糊的，或含有模糊概念；知识不能覆盖所有情况等。这时如何推理，如何判断和决策呢？用到不确定性推理方法。模糊逻辑推理是其中的一种。第十二页，共68页。3.2模糊逻辑推理例：友好是一种对称关系（知识、大前提）小张和小李友好（事实、小前提）小李和小张友好（结论）“友好”是一个模糊概念，但事实中的“友好”和知识中的“友好”完全相同确定性推理。例：大前提/知识：健康则长寿（有模糊词）小前提/事实：王先生很健康（不严格相同，有程度上的差别）结论王先生似乎会很长寿（有推断的成分）这是模糊推理。第十三页，共68页。3.2模糊逻辑推理决定是否F.L.R，并不看是否在前提和结论中使用了模糊词（概念），而是看推理过程是否有模糊性，具体表现在推理规则是不是模糊的。常用的模糊推理方法有两种：广义前向推理和广义后向推理。[形式化的重要性]第十四页，共68页。3.2模糊逻辑推理①广义前向推理（GMP）前提1：如果x为A，则y为B前提2：x为A'结论y为B'②广义后向推理（GMT）前提1：如果x为A，则y为B前提2：y为B'结论x为A'其中：x是论域X中的语言变量（Linguisticvariables）它的值是X中的模糊集合A，A'y是论域Y中的语言变量它的值是Y中的模糊集合B，B'第十五页，共68页。3.2模糊逻辑推理注意：前提1是一条“IF---THEN---”形式的模糊规则。“IF”部分是规则的前提，“THEN”部分是规则的结论。若已知规则的前提来求结论广义前向推理若已知规则的结论来求前提广义后向推理秋冬雨雪多来年冬小麦收成好，秋冬雨雪较多？得了肝炎GPT高,

GPT不很高肝炎？例：第十六页，共68页。3.2模糊逻辑推理在F.L.R中，我们还常用到一个Sup-Star推理合成规则：若R为X×Y中的F.R.，并且A为X中的F.S.，那么Sup-Star推理合成规则指示，由A引出的Y中的F.SB为：这里为A和R的Sup-Star合成。如果算子表示取小操作，则退化为扎德推理合成规则。这个合成规则有什么用呢？第十七页，共68页。3.2模糊逻辑推理如我们前面举的“健康”的例子，所进行的推理是一种近似的推理，可以一般性的表达为：大前提：如果x是A，则y是B条件模糊命题小前提：现在x是A'条件模糊规则结论：那么y是B’=?

模糊关系R要用计算过程实现思维推理的作用。分析一下大前提：它是逻辑推理问题中的一个条件模糊命题。第十八页，共68页。3.2模糊逻辑推理

Fuzzy命题：“如果x为A，则y为B”令P：x为A；Q：y为B。则上述的模糊命题可简写为“如果P为真，则Q为真”，表明。即：普通模糊命题P，Q间有因果关系。第十九页，共68页。3.2模糊逻辑推理模糊命题的真假程度称为模糊命题的真值。因为：在X论域讨论问题，有表示模糊集合A，B之间有蕴含(implication)关系。由于A和B是不同论域上的F.S.，所以可以用模糊关系来描述。这就知大前提也是一个F.R.。小前提告知了A’，则由Sup-Star规则：即：结论B’可用A’与由A到B的推理关系进行合成而得到。第二十页，共68页。3.2模糊逻辑推理我们逐渐接近了可以用计算过程进行这样类似思维的模糊推理了。要计算用到了（蕴含运算）有不同的含义：扎德定义玛达尼定义玛达尼定义简单，计算少，实际中应用较多。第二十一页，共68页。3.2模糊逻辑推理进一步的，根据FuzzyRelation的合成定义B’是F•S.，可以m•f.表示，计算用m•f.进行。i.e.其表明的是：其中看成A’对A的适配程度（i.e.隶属（程）度）第二十二页，共68页。3.2模糊逻辑推理上式写成这是用计算过程完成的推理。但这种模糊推理方法是否与人通过思维活动得到的结果一致或相近呢？第二十三页，共68页。3.2模糊逻辑推理现在的条件是“如果温度高，那么压力就大”，如何通过玛达尼模糊推理方法在“温度较高”的情况下得到推理结论呢？下面我们使用以上的推理方法来计算一下结果。例：设在论域T(温度)={0,20,40,60,80,100}和P(压力)={1,2,3,4,5,6,7}上定义模糊子集的隶属函数：若根据经验可把“温度较高”的隶属函数定义为第二十四页，共68页。3.2模糊逻辑推理先求出A’对A的隶属度α再用此α去“切割”B隶属函数对比“压力大”的隶属函数，可以认为此式相当于是“压力较大”的隶属函数。用xxxxxx表达，推理结论就是“压力较大”。这与我们平常的推理结果相一致，说明这种模糊推理方法是一种实用的近似推理方法。第二十五页，共68页。3.2模糊逻辑推理我们把对问题的讨论扩展一下：多输入模糊推理问题表述为：知识：如果x是A且y是B，则z是C。事实：现在x是A’且y是B’

结论：z是C’与前述问题的差异在于，模糊规则的前提（前件）为多输入。其中：“x是A且y是B”的意义是A和B有“and”关系（模糊关系）（这种定义比较保守，后面会讨论到）第二十六页，共68页。3.2模糊逻辑推理因此：“如果x是A且y是B，则z是C”的（隶属度函数）的数学表述为：利用Mamdami定义有则推理结果（由Sup-Star合成规则）其中：为前件的新输入为前件与后件问题的因果（蕴含）关系第二十七页，共68页。3.2模糊逻辑推理而基于的计算式为：x和y间不存在因果关系，只存在“and”的关系就像单输入一样，分别计算A’与A，B’与B的适配度，取小的一个作为总的推理前件的适配度，再去切割规则后件的。第二十八页，共68页。3.2模糊逻辑推理上述“AND”的处理方法比较保守不应“取小”，而应是某种“平均”更为合理。第二十九页，共68页。3.2模糊逻辑推理--多输入、多规则模糊推理问题的特点是：知识更丰富了。不仅知一条规则，而可以是多条规则。问题的表述：知识：IFx=A1,andy=B1,THENz=C1ELSEIFx=A2,andy=B2,THENz=C2........ELSEIFx=An,andy=Bn,THENz=Cn事实：现在x=A’andy=B’结论：z=C’=?分析一下：各条规则之间的关系是什么？“或”“OR”第三十页，共68页。3.2模糊逻辑推理因此：推理的过程可以表示为“并”集的形式即：[前件（新输入）与关系（大前提所表示的）的合成]新事实与知识的合成。第三十一页，共68页。3.2模糊逻辑推理对于两个输入，两条规则情况下的量化推理过程，可用图解法形象的表示为：C1μZB1B'μYC1'A'A1μXC2μZA'μXA2B2μYB'C2'minminZμC1'C2'C'提请注意：两条规则推理过程中的A’，B’是同样的！第三十二页，共68页。3.2模糊逻辑推理推理的一般作法：得到前件的总的适配度，然后：与后件的相互作用（运算）有：min（取小）product（代数乘）各条规则分别推理得到的结果如何集成：max（取并）sum（限界和）其中限界和的定义是：min————maxmin————sumproduct——-maxproduct——-sum之分。根据各种方法的组合，因此推理过程的处理方式有：第三十三页，共68页。第四章

解模糊判决第三十四页，共68页。4.解模糊判决通过推理，已经得到了推理结果，结果是(一般情况)。无法直接输出（对控制问题），因执行机构无法理解和处理。执行机构能理解和处理的变量形式是数值变量,因此需要：推理后的结论数值（最具代表性的）

什么意义下最具代表性？有：4解模糊判决第三十五页，共68页。重心法[COG,CenterofGravity]

将推理得到F·S的所围的区域看成是一个有质量的物体，而各点的当成是对应点的密度值，计算重心（利用重心计算公式）[设结果是C’]连续论域：离散论域：第三十六页，共68页。取最大值所对应的z作为结果——要求正则（单峰）——如果平顶，取最大线段的中点作为结果。最大隶属度平均法（MOM，MeanofMaximum）

MOM法：结果一样。COG法：可反映不同。因此，尽管COG法的计算结果复杂些，但在一些实际应用中仍常使用。注：MOM法反映不出的分布情况：第三十七页，共68页。加权平均法（WMM，WeightedMeanMethod）推理规则形如：IFx=Aiandy=BiTHENz=zi

单点（数值）再怎么“切”，也是zi第三十八页，共68页。已经是个“数”了，问题是如何将多条规则分别推理得到的结果组合起来。有：

其中：为第i条规则的激活度（firingstrength）解释：完全适配

完全不适配第三十九页，共68页。第五章

模糊逻辑控制第四十页，共68页。5.1概述5.1概述任何新的理论或技术的发展都有一个背景（drivingforce）。FuzzyControl为什么会产生和发展呢？第四十一页，共68页。传统控制的局限性1.依赖于数学模型：Maybe“benign”；然而大多数场合无法获得；可获得：忽略“次要”因素用精确的数学语言对真实物理系统进行的近似描述。2.无法实现经验法则指推理，而不是简单的逻辑判断。3.实时性问题迭代算法。第四十二页，共68页。经常会有这样情况：传统控制无法控制的问题，操作工却能做的较好。操作工的控制是如何产生、实施的（他的信息处理过程）？特点在哪里？依靠不精确信息（输入《事实》及经验）通过推理（模仿人的思维过程）得到有意义的结果用语言变量来描述事物的物理特征，对事物进行了概括性描述第四十三页，共68页。既然“有效”，我们使用计算机可否模仿这样的信息处理过程呢？1.前面学习了模糊数学的知识，我们有了处理这样问题的数学工具；2.从控制上讲，模仿人的（有效）经验控制，这就是一种最朴素（naive）的模糊控制。因此，狭义上什么是模糊控制？把人的经验和对物理过程的描述形式化比较严格的数学处理实现fuzzyinference（模仿人的思维过程）和决策达到“令人满意”（不是最优的）的控制。第四十四页，共68页。在形式上，模糊控制与传统控制比较，有什么特点？第四十五页，共68页。那么如何构成一个fuzzycontroller呢？经验（知识，含对事物的描述）总结及形式化一组定性的条件语句和模糊决策规则利用F.S（F.R）定量化去模仿人的控制策略。也有人称F•C的设计有“三部曲”1.精确的模糊化2.模糊规则和推理机的形成3.解模糊第四十六页，共68页。5.2模糊控制系统的基本结构yt：输入St：参考输入et=St–yt

误差（最早的的F•C的输入量是两个et，et’，我们仍以这种情况为例进行介绍）第四十七页，共68页。5.2.1.模糊化接口有两个作用：---论域变换et和都是非模糊的普通变量，其论域是实数域上的连续闭区间，称为真实论域，用X,Y表示；而在F•C中，真实论域要变换到内部论域X’,Y’

。（真实）X、Yet，论域变换（内部）X’、Y’，离散的X’、Y’={0，+整数}有限个元素连续的X’、Y’

=[-1，+1]无限多元素第四十八页，共68页。若内部论域是离散的，称相应的F•C为：D-FC；若内部论域是连续的，称相应的F•C为：C-FC；（仍然是数值变量）相当于乘了一个比例因子完成了normalization无论是D-FC还是C-FC：

,

,第四十九页，共68页。---模糊化

变换后的和仍是非模糊的普通变量，如何把它们模糊化？(变成模糊推理机能够处理和理解的变量形式？)

在相应的论域X’、Y’上定义若干个模糊集合，如“负大”，“负中”，…，并规定它们的m·f。第五十页，共68页。0.30.7et，t时刻的输入隶属度函数μNL（

），μNM（

）…，μNL（

），μNM（

）…论域变换第五十一页，共68页。经过第一个环节（模糊化接口）后：（目的）传感器输入转换为知识库和推理机可以理解和处理的变量格式（Δet=-10，就不以-10出现了，而是μZ（-1/3）=0.3，且μNM（-1/3）=0.7出现了）[讨论：输入空间的划分问题（个数→规则数，控制性能，处理速度）选取m•f的原则]第五十二页，共68页。有两个部分组成1）数据库“Data”的含义（与计算机应用中的database不是一个概念）数值数据事实5.2.2.知识库存贮着有关模糊化、模糊推理、解模糊的一切知识（所涉及到的）。如论域变换方法、系数，输入/出变量，各F•S的m•f等（推理算法，解模糊算法等）第五十三页，共68页。2）规则库由一组“IF…THEN…”形式的模糊条件语句组成（模糊控制规则）第五十四页，共68页。在实际应用中，如何将自然语言表述的经验形式化为这种形式的模糊规则？例：自然语言：“如果温度高且压力较大，则关小阀门”（温度）（正大）（压力)（正中）（阀位）（负小）1)形式化：

IFx=pbandy=pmTHENΔu=ns2