利用导数解决实际问题【新教材】人教B版高中数学选择性必修第三册课件

6.3利用导数解决实际问题激趣诱思知识点拨科学家在健康志愿者和严重直立性低血压患者两组实验中研究了米多君的药代动力学.健康志愿者口服米多君迅速并几乎完全吸收.然后,药品在各种组织中(包括消化道、肝脏、循环系统)经酶解广泛代谢成其药理活性代谢物脱甘氨酸米多君.右图是随时间变化,血液中米多君浓度变化曲线,问何时药的浓度达峰值?激趣诱思知识点拨一、最优化问题生活中,经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等实际问题,这些问题通常称为最优化问题.二、利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤1.分析实际问题中各量之间的关系.列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),根据实际意义确定定义域.2.求函数y=f(x)的导数f'(x).解方程f'(x)=0得出定义域内的实根,确定极值点.3.比较函数在区间端点和极值点处的函数值,获得所求的最大(小)值.4.还原到原实际问题中作答.激趣诱思知识点拨名师点析

用导数解决实际问题的基本过程解应用题时,首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题——就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建立相应的数学模型——再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学结论;然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验.其思路如下:激趣诱思知识点拨(1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系.(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型.(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解.(4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案.值得注意的是,在实际问题中,有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f'(x)=0的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较也可以确定这就是最大(小)值.这也适用于开区间或无穷区间.激趣诱思知识点拨微练习有一个边长分别为8与5的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折起做成一个无盖纸盒,要使纸盒的容积最大,剪去的小正方形的边长应为多少?∴当x=1时,容积V取最大值为18.即剪去的小正方形的边长为1时,纸盒的容积最大.探究一探究二探究三素养形成当堂检测利润最大、效率最高问题例1某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.思路分析(1)根据x=5时,y=11求a的值.(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数,用导数求最大值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测从而,f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)·(x-6).于是,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(3,4)4(4,6)f'(x)+0-f(x)↗极大值42↘探究一探究二探究三素养形成当堂检测由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点,所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.反思感悟

利润最大问题的求解方法利用导数解决利润最大问题,关键是要建立利润的函数关系式,然后借助导数研究函数的最大值,注意函数定义域的限制以及实际意义.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克,1<x≤12)满足:当1<x≤4时,y=a(x-3)2+

(a,b为常数);当4<x≤12时,y=-100.已知当销售价格为2元/千克时,每日可销售出该特产800千克;当销售价格为3元/千克时,每日可售出150千克.(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;(2)若该商品的销售成本为1元/千克,试确定销售价格x的值,使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大.(≈2.65)探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)由题意,当x=2时,y=800,∴a+b=800.又∵x=3时,y=150,∴b=300,可得a=500.探究一探究二探究三素养形成当堂检测∴x=5.3时,有最大值1

840.∵1

800<1

840,∴当x=5.3时,f(x)有最大值1

840,即当销售价格为5.3元时,店铺所获利润最大.变式训练1一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.又∵x=3时,y=150,∴b=300,可得a=500.(2)若该商品的销售成本为1元/千克,试确定销售价格x的值,使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大.∴当x=1时,容积V取最大值为18.(≈2.即当速度为20千米/时时,航行1千米所需的费用总和最少.∴当x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)为增函数;二、利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤当x∈(0,6)时,g'(x)>0,当x∈(6,8)时,g'(x)<0,解:设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么由题设,知p=kv3,则有V(x)=x(x+0.费用最低(用料最省)问题(2)利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使f'(x)=0时,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大(小)值.8,这个极大值就是V(x)在x∈(0,1.所以当公司每月生产6百台时,获得利润最大.因为f(x)在[0,+∞)内只有一个极大值点x=200使f'(x)=0,故它就是8,这个极大值就是V(x)在x∈(0,1.比较函数在区间端点和极值点处的函数值,获得所求的最大(小)值.求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题,解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围,利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数,然后利用导数的方法来解.二、利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤已知销售收入R(x)(万元)满足(其中x是该产品的月产量,单位:百台,0<x<8),假定生产的产品都能卖掉,则当公司每月产量为百台时,公司所获利润最大.然后,药品在各种组织中(包括消化道、肝脏、循环系统)经酶解广泛代谢成其药理活性代谢物脱甘氨酸米多君.延伸探究该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克,1<x≤12)满足:当1<x≤4时,y=a(x-3)2+(a,b为常数);当4<x≤12时,y=-100.3时,f(x)有最大值1840,即当销售价格为5.所以当x=9时,P(x)有极大值,也即最大值P(9)=66.探究一探究二探究三素养形成当堂检测费用最低(用料最省)问题例2为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=

(0≤x≤10).若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.思路分析根据题设条件构造函数关系,再应用导数求最值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测当0<x<5时,f'(x)<0,当5<x<10时,f'(x)>0.故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=6×5+=70,即当隔热层修建5

cm厚时,总费用达到最小值70万元.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

费用最低问题的求解策略(1)用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答.(2)利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使f'(x)=0时,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大(小)值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1千米所需的费用总和最少?探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么由题设,知p=kv3,令q'=0,解得v=20.当v<20时,q'<0;当v>20时,q'>0,所以当v=20时,q取得最小值.即当速度为20千米/时时,航行1千米所需的费用总和最少.探究一探究二探究三素养形成当堂检测面积、体积最大问题例3用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大,并求出它的最大容积.思路分析可设容器底面短边的长为x

m,那么长边的长以及高就可用x表示出来,从而得到容积与x的函数关系式,然后用导数求得最大值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:设容器底面短边的长为x

m,则另一边长为(x+0.5)m,由题意知x>0,x+0.5>0,且3.2-2x>0,∴0<x<1.6.设容器的容积为V(x)

m3,则有V(x)=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6),∴V(x)'=-6x2+4.4x+1.6.令V(x)'=0,有15x2-11x-4=0,探究一探究二探究三素养形成当堂检测∴当x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)为增函数;x∈(1,1.6)时,V'(x)<0,V(x)为减函数.∴V(x)在x∈(0,1.6)时取极大值V(1)=1.8,这个极大值就是V(x)在x∈(0,1.6)时的最大值,即V(x)max=1.8,这时容器的高为1.2

m.∴当高为1.2

m时,容器的容积最大,最大值为1.8

m3.反思感悟

面积、体积最大问题的求解策略求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题,解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围,利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数,然后利用导数的方法来解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2周长为20cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为

cm3.

解析:设圆柱半径对应的矩形的一边长为x

cm,则另一边长为(10-x)cm(0<x<10).由题意可知圆柱体积为V=πx2(10-x)=10πx2-πx3.∴V'=20πx-3πx2,探究一探究二探究三素养形成当堂检测导数在实际问题中的应用典例统计显示,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)与行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为

(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测令h'(x)=0,得x=80,当x∈(0,80)时,h'(x)<0,h(x)是减函数;当x∈(80,120)时,h'(x)>0,h(x)是增函数.∴当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25,也是最小值.即当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.方法点睛

在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量、建立函数关系式,并确定其定义域,再利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合.用导数求实际问题中的最大(小)值,如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义可知该极值点就是最值点.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2

(0<x<60),则当箱子的容积最大时,x的值为(

)A.30 B.40 C.50 D.60答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.做一个容积为256cm3的方底无盖水箱,要使用料最省,水箱的底面边长为(

)A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm答案:D探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.已知某厂生产某种商品x(百件)的总成本函数为C(x)=x3-6x2+29x+15(万元),总收益函数为R(x)=20x-x2(万元),则生产这种商品所获利润的最大值为

万元.

所以P'(x)=-x2+10x-9,由P'(x)=0,得x=9或x=1,所以当1<x<9时,P(x)单调递增;当x>9时,P(x)单调递减.所以当x=9时,P(x)有极大值,也即最大值P(9)=66.答案:66探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.(2020河北省高二期中)某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元,并且每生产1百台产品需增加投入0.5万元.已知销售收入R(x)(万元)满足

(其中x是该产品的月产量,单位:百台,0<x<8),假定生产的产品都能卖掉,则当公司每月产量为

百台时,公司所获利润最大.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测当x∈(0,6)时,g'(x)>0,当x∈(6,8)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,6)上单调递增;在(6,8)上单调递减.所以x=6时,g(x)取得极大值,也是最大值,所以当公司每月生产6百台时,获得利润最大.答案:6故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.已知销售收入R(x)(万元)满足(其中x是该产品的月产量,单位:百台,0<x<8),假定生产的产品都能卖掉,则当公司每月产量为百台时,公司所获利润最大.当v<20时,q'<0;例2为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.当x∈(0,6)时,g'(x)>0,当x∈(6,8)时,g'(x)<0,导数在实际问题中的应用即当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.∴V'=20πx-3πx2,某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(吨)与产品的价格P(元/吨)之间的关系为P=24200-x2,且生产x吨的成本为R=50000+200x元.值得注意的是,在实际问题中,有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f'(x)=0的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较也可以确定这就是最大(小)值.∵1800<1840,∴当x=5.(2020河北省高二期中)某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元,并且每生产1百台产品需增加投入0.8,这个极大值就是V(x)在x∈(0,1.做一个容积为256cm3的方底无盖水箱,要使用料最省,水箱的底面边长为()分析实际问题中各量之间的关系.典例统计显示,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)与行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为(0<x≤120).方法点睛在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量、建立函数关系式,并确定其定义域,再利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合.(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;做一个容积为256cm3的方底无盖水箱,要使用料最省,水箱的底面边长为()比较函数在区间端点和极值点处的函数值,获得所求的最大(小)值.利用导数解决利润最大问题,关键是要建立利润的函数关系式,然后借助导数研究函数的最大值,注意函数定义域的限制以及实际意义.右图是随时间变化,血液中米多君浓度变化曲线,问何时药的浓度达峰值?反思感悟面积、体积最大问题的求解策略解:设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么由题设,知p=kv3,典例统计显示,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)与行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为(0<x≤120).由题意可知圆柱体积为V=πx2(10-x)=10πx2-πx3.思路分析根据题设条件构造函数关系,再应用导数求最值.即当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.已知速度为每小时10千米时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1千米所需的费用总和最少?还原到原实际问题中作答.利用导数解决利润最大问题,关键是要建立利润的函数关系式,然后借助导数研究函数的最大值,注意函数定义域的限制以及实际意义.费用最低(用料最省)问题延伸探究该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克,1<x≤12)满足:当1<x≤4时,y=a(x-3)2+(a,b为常数);当4<x≤12时,y=-10