第1章量子力学基础-习题与答案

一、是非题1.“波函数平方有物理意义，但波函数本身是没有物理意义的”。对否解：不对2.有人认为，中子是相距为10-13cm的质子和电子依靠库仑力结合而成的。试用测不准关系判断该模型是否合理。解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能,这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。二、选择题3,,,1.一组正交、归一的波函数。正交性的数学表达式为a，归一性的12表达式为b。(a)d0,ij(b)1iiii2.列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------(A,B,C,E)d(A)(B)2(C)用常数乘(D)(E)积分dx3.下列算符哪些可以对易--------------------------------------------(A,B,D)x和y(A)xˆ和yˆ(B)(C)pˆ和xˆ(D)pˆ和yˆxx4.下列函数中(A)coskx(B)e-bx(C)e-ikx(D)ekx2(1)哪些是d的本征函数；--------------------------------(B,C)dx(2)哪些是的d本征函数；--------------------------------------(A,B,C)2dx2(3)哪些是d和d的共同本征函数。------------------------------(B,C)2dx2dx5.关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选)------------------（C,D(A)光电流大小与入射光子能量成正比）(B)光电流大小与入射光子频率成正比(C)光电流大小与入射光强度成正比(D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大6.提出实物子粒也有波二粒象性的科学家是：------------------------------（A）(A)deBröglie(B)A.Einstein(C)W.Heisenberg(D)E.Schrödinger7.首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：--------------（C）(A)薛定谔(B)狄拉克(C)海森堡(D)波恩8.下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：---------------（AB）(Ａ)电子自旋(保里原理)(Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征(Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的(Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理9.描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：------------------------------（D）(A)由经典的驻波方程推得(C)由经典的弦振动方程导出(B)由光的电磁波方程推得(D)量子力学的一个基本假设三、填空题：1.1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。欲使电子射线产生的衍射环纹与Cu的K线(波长为154pm的单色X射线)产生的衍射，电子的能量应为___________________J。环纹相同p2T=2m2=1.016×1012mhJ-172.金属钠的逸出功为2.3eV，波长为589.0？nm的黄光能否从金属钠上打出电子？在金属钠上发生光电效应的临阈频率是多少？临阈波长是多少不能5.561014s1,539.1nm003.金属钾的临阈频率为5.464×1014s-1，如用它作为光电池的阴极，当用波长为300nm的紫外照射该电池时，发射的光电子的最大速度是多少？解：hvhv1mv22012hvv2v0m8.12105ms14.自旋相同的两个电子在空间同一点出现的概率为_____0____。5.微观粒子运动的量子力学共性有（能量量子化），（波粒二象性）和（测不准x•Ph），这一关系的存在是微粒具有（波关系）。测不准关系式为（x粒二象性）的结果。6.CO2激光器给出一功率为1KW,波长为10.6μm的红外光束，它每秒发射的光子数=5.33×1022个。（1KW=1000J/s，光子能量cJ•s)2.998108m•s11.8741020J，hvh(6.624103410.610m61000J•s1000J•s1每秒钟的光子数量=11.87410205.331022）7.量子力学的几个假设有（状态和波函数假设）；（力学量和线性厄米算符假设）；（本征方程假设）；（状态叠加原理假设和薛定谔方程的假设）。*8.函数（x)称为（x)的（共）函数。轭9.微观粒子的运动状态可用（波函数）描述，波函数必须满足（连续）；（单值）和三个条件，称之为（）函数。品优（平方可积）222x2y2z10.2=，是（Laplace,拉普拉斯）算符；能量算符2。ˆh2ˆ2VH=82mt坐标算符x=（x）。时间算符=（t）。11.在边长为a的一维势箱中运动的粒子，n等于1,2,3时,其波函数(x)E分别为当量子数和能量x2sinn1,x,Eh2/8ma21;1aaxx2asin2,E4h2/8ma2n2,2a212.下列函数中(1)sinxcoskx(2)cos2x(3)sin2x-cos2xd/dx的本征函数，本征哪些是d/dx的本征函数，本征值是多少，哪些是22值是多少？dsinxcoskxcosxcoskxksinxsinkx解：dxd2sinxcoskxsinxcoskxkcosxsinkxkcosxsinkk2sinxcoskxdx2=sinxcoskx2cosxsinkxk2sinxcoskxdcos2x2sinxcosxdxd2cos2x2sin2x2cos2xdx2d(sin2xcos2x)2sinxcosx2sinxcosx4sincosxdxd2(sin2xcos2x)4cos2x4sin2x4(sin2xcos2x)dx2d213.下列函数中，哪几个是算符的本征函数？若是，求出本征值。dx2ex,sinx,2cosx,x3,sinxcosxd解：d2ex1ex，ex是的本征函数，本征值为1；2dxdx22d2d2sinx1sinx，sinx是的本征函数，本征值为-1；dxdx22d2d22cosx2cosx，2cosx是的本征函数，本征值为-1；dxdx22d2d2x36xcx3，x不是的本征函数3dxdx22d2d2sinxcosx1sinxcosx，sinx+cosx是的本征函数，本征值dxdx22为-1；13.请指出下列算符中的线性算符和线性自轭算符：x,d,d2,log,sin,,iddxdx2dxˆˆˆ：AAA1212解：线性算符ˆdd1ˆ2由以上线性算符与线性自轭算符的定义知：2didx线性自轭算符有：四、计算题d21.是算符4a2x的本征函数，求其本征值。xeax22dx2解：应用量子力学假设II和III，得：d2d24a2x4a2xxeax222dx2dx2dxeax24a2xxe2ax22dx24a2xe3ax2de2axe22axax2dx2axeax24axeax24a2x3eax24axe23ax26axeax26a因此，本征值为-6a.2．测不准原理的另一种形式为ΔE·Δt≥h/2π。当一个电子从高能级向低能级h，若激发态的寿命为10-9s，试问的偏差是多少？宽度是多少(单位cm-1)？跃迁时，发射一个能量子由此引起谱线hE/t(hv)hv2v解：E=1/(2)1/(2109)1.59108st1vv/c1.59108s1/31010cms15.3103cm1波函数=Ne-ix来表示，求其3.某粒子的运动状态可用动量算符pˆ的本征值。xhdˆi2dxpx解：ihd(Neh2ix)(Neix)2dxh本征值为24.一个电子处于宽度为10-14m的一维势箱中，试求其最低能级。当一个电子处于一个大小为10-14m的质子核内时，求其静电势能。对比上述两个数据，能得到什么结论？(电子质量荷e=1.602×m=9.109×10-31kg，40=1.113×10-10J-1Cm，电2。。e10-19C)解：一维势箱Eh26.03108J8ml21e24r静电势能V2.31013J0结论：由于动能大于势能,体系总能量大于零,不能稳定存在。发出h≈E1的射线(射线)。5.作为近似，苯可以视为边长为0.28nm的二维方势阱，若把苯中电子看作在此二维势阱中运动的粒子，试计算苯中成键电子从基态跃迁到第一激发态的波长。3h8ma2解：E=h2[(22+22)-(12+22)〕=8ma22hcE8ma3h2c=86.2nm==6.在长为l的一维势箱中运动的粒子，处于量子数为n的状态，求：(1)在箱的左端1/4区域内(2)n为何值时，上述(3)当n→∞时，(4)(3)中说明了什么？找到粒子的概率；概率最大？此概率的极限是多少？2解：(1)lln11sinn42n211P2dxn0n3,P1/4max46(2)sinn)12411(3)limPlim(n42nn1/4(4)(3)说明随着粒子能量的增加,粒子在箱内的分布趋于平均化。sin2x22sinx是否是一维势箱中的一个可能状态？aaa2a7.函数x试讨论其能量值。解：是;22E221221240ma240ma25ma2E4h24h2h2E1228.假定一个电子在长度为300pm的一维势阱中运动的基态能量为4eV。作为近似把氢原子的电子看作是在一个边长为100pm的立方箱中运动。估计氢原子基态电子能量。已知势箱长度之比为300pm:100pm=3:1h2h2解：假设=8ml2=4eV8m（32）h2/(8m)=432eVEH=[h2·1]3=4×3×3=108eV28m129.设一维势箱的长度为l，求处在n=2状态下的粒子，出现在左端1/3箱内的概率。n2,2sin2x解：llp1/32dx130.40238010.计算下列各种情况下的(1)在电子，被加速到1000kV的电子(2)在300Ｋ时，从核反应堆发射的(取平均能量为kT/2)deBröglie波长。显微镜中；热中子(3)以速率为1.0m·s-1运动的氩原子(摩尔质量39.948g·mol-1)(4)以速率为10-10m·s-1运动的质量为1g的蜗牛。(1eV=1.60×10-19J，k=1.38×10-23J·K-1)101.236.6261034m20.91103010001031.6101912mh2mE6.6261034m10271.38101.781010m(2)h2mEh2m1kT21.67233002h9.991012m6.6261034(3)hmvp39.948/6.0210231.0346.6310m21106.62610110310hmv(4)x是否是一维势箱中粒子的一种可能x2bsin42sin5bx11.分析函数bb状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？解：该函数是长度为的一维势箱中粒子的一种可能状态。bx2lsinnx根据一维势箱中粒子的归一化波函数n1,2,3其中l是势ln箱长度，x是粒子的坐标（0xl），x和函数x2sin52sin4可知：函数x均是一维势箱中粒子可xb1b2bb能状态。根据量子力学基本假设中的态叠加原理，则它们的线性组合x也是该体系的一种可能状态。因为2xx1x2HxHx1xHxH2142h252h2x2x8mb2h28mb21216x25x8mb21常数x所以x不是一维势箱中粒子的的本征函数，即能量无确定值。H32sin2x是否是一维势箱中粒子的一种可能状12.函数22sinxxaaaa态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。解：该函数是长度为a的一维势箱中粒子的一种可能状态2sin2x都是一维势箱中粒子的一种可能状态（本sin,xaa2。因为函数2xx1aa征态），根据量子力学基本假设IV（态叠加原理），它们的线性组合也是该体系的一种可能状态。ˆˆHxH2x3x1ˆ2x32ˆ2Hx3Hx因为1xh2h2228ma28ma21constantx所以x不是ˆH的本征函数，即其能量无确定值，而可按下述步骤计算其平均值。将x归一化：设xcx，即：'xdx2xdxcxdx22aaac'20002ac22sinx32sin2xdx2aaa013c21c2113x所代表状态的能量平均值为：ˆxHxdxEa''02c2sinx3c2sin2xdxh2d22c2sinx3c2sin2xaaaa82mdx2aaa0dx15c2h22ma3x2xdx9c2h2sin22xsinsinama3c2h2sin2xdxaa0ma3aaaa005c2h25h2ma213ma2出相应的能量，再利用式