用211椭圆及其标准方程

用211椭圆及其标准方程第1页/共51页如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中的椭圆第2页/共51页太阳系第3页/共51页思考数学实验(1)取一条细绳，(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？第4页/共51页请你归纳出椭圆的定义,它应该包含几个要素?F2F1M(1)由于绳长固定，所以点M到两个定点的距离和是个定值（2）点M到两个定点的距离和要大于两个定点之间的距离第5页/共51页（一）椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（2a）（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：(2a>2c)MF2F1第6页/共51页小结：椭圆的定义需要注意以下几点1.平面上----这是大前提2.动点M到两定点F1，F2的距离之和是常数2a3.常数2a要大于焦距2C思考：1.当2a>2c时,轨迹是（）椭圆2.当2a=2c时,轨迹是一条线段,是以F1、F2为端点的线段．3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在.4.当c=0时,轨迹为圆．第7页/共51页绳长＝第8页/共51页绳长＜第9页/共51页

求曲线方程的方法步骤是什么？建系设点列式代换化简建立适当的直角坐标系；设M（x,y）是曲线上任意一点；由限制条件，列出几何等式，写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0，化简方程f(x,y)=0.第10页/共51页解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).

设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a>2c)

，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).xF1F2M0y（问题：下面怎样化简？）由椭圆的定义得，限制条件：代入坐标(二)椭圆的标准方程的推导第11页/共51页两边除以得由椭圆定义可知整理得两边再平方，得移项，再平方第12页/共51页总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式焦点在y轴：焦点在x轴：椭圆的标准方程1oFyx2FM12yoFFMx

F1（-c，0）、F2（c，0）

F1（0，-c）、F2（0，c）

第13页/共51页OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c)椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上第14页/共51页1.口答：下列方程哪些表示椭圆？

若是,则判定其焦点在何轴？并指明，写出焦点坐标.?判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。（三）尝试应用第15页/共51页2、求出适合下列条件的椭圆的标准方程

已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)，结果如何？变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？当焦点在X轴时，方程为：当焦点在Y轴时，方程为：第16页/共51页3、填空：已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________例题543(3,0)、(-3,0)6２0F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：

焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a第17页/共51页例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：法一:c=2法二:c=2设椭圆标准方程为:2a=P+P

两个焦点分别是(-2，0)，(2，0)，且过点P（四）典例分析第18页/共51页例2、如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？分析：点P在圆上运动，点P的运动引起点M运动。解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，则

x=x0,y=y0/2.因为点P(x0,y0)在圆上，所以把x0=x,y0=2y代入方程(1)，得即所以点M的轨迹是一个椭圆。第19页/共51页解：变式：将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，并说明它是什么曲线？yxo设所的曲线上任一点的坐标为（x，y）,圆＝４上的对应点的坐标为（x’，y’），由题意可得：因为＝４所以即1）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆。2）利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法；同例2第20页/共51页例3、如图，设点A，B的坐标分别为(-5,0),(5,0)。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程。解：设点M的坐标为(x,y)，因为点A的坐标是，所以直线

AM的斜率同理，直线BM的斜率由已知有化简，得点M的轨迹方程为第21页/共51页小结：求椭圆标准方程的方法一种方法：二类方程:三个意识：求美意识，求简意识，前瞻意识第22页/共51页分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断xyF1F2POxyF1F2PO第23页/共51页作业第2题《自主学习丛书》P30—P32第24页/共51页则a＝

，b＝

；则a＝

，b＝

；5346口答：则a＝

，b＝

；则a＝

，b＝

．3第25页/共51页0<b<9巩固训练：a>3第26页/共51页表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范

围是

.(1,2)变式：已知方程

3.椭圆mx2+ny2=-mn(m<n<0)的焦点是

.若方程表示椭圆呢?第27页/共51页5：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.答案：(1)a=,b=1,焦点在x轴上;(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；

(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).小结：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a,b的值.第28页/共51页6、若动点P到两定点F1(－4,0)，

F2(4,0)的距离之和为8，则动点

P的轨迹为（）

A.椭圆B.线段F1F2

C.直线F1F2

D.不存在B第29页/共51页7：已知B，C是两个定点，|BC|=6，且三角形ABC的周长为16，求顶点A的轨迹方程． 解：1)建立直角坐标系：使x轴经过点B、C，使原点O与B、C重合

B（-3，0），C（3，0）

2)设A点的坐标为（x，y）由|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，即|AB|+|AC|=10

BC（用轨迹法）O化简可得方程：A当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形．所以A点的轨迹方程为：（y0）．xy第30页/共51页7：已知B，C是两个定点，|BC|=6，且三角形ABC的周长为16，求顶点A的轨迹方程．分析：1，由三角形ABC的周长是16，可得：

|AB|+|AC|+|BC|=16，即|AB|+|AC|=102，必须建立适当的坐标系，确定椭圆的形式BCA第31页/共51页7：已知B，C是两个定点，|BC|=6，且三角形ABC的周长为16，求顶点A的轨迹方程．解：建立直角坐标系，使x轴经过点B，C，使原点O与

BC的中点重合，B（-3，0），C（3，0）由|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，即|AB|+|AC|=10所以点A的轨迹是椭圆．设方程为：椭圆方程为：当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形．所以A点的轨迹方程为：（y0）．BCAxy第32页/共51页8、已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．解：设｜PB｜＝r．∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10．∴两圆的圆心距｜PA｜＝10－r，即｜PA｜＋｜PB｜＝10(大于｜AB｜)．∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．∴2a＝10，2c＝｜AB｜＝6，∴a＝5，c＝3．∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．即点P的轨迹方程为＝1．第33页/共51页例：第34页/共51页例3：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离之和是10的点的轨迹方程。解：这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用F1、F2表示，取过点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。∵2a=102c=8∴a=5c=4b2=a2c2=9,b=3因此这个椭圆的标准方程是：yoBCAx定义法求轨迹方程。第35页/共51页变题1:已知△ABC的一边BC固定，长为8，周长为18，求顶点A的轨迹方程。.解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆，且焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为：yoBCAx∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为:

注意：求出曲线的方程后，要注意检查一下

方程的曲线上的点是否都是符合题意。第36页/共51页例4、写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a=4，b=1，焦点在x

轴上；

(2)a=4，b=1，焦点在坐标轴上；

(3)两个焦点的坐标是（0，-2）和（0，2），并且经过点P（

-1.5，2.5）.解：因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为∵

c=2，且c2=a2

-b2

∴4=a2-

b2……①又∵椭圆经过点∴……②联立①②可求得：∴椭圆的标准方程为

(法一)xyF1F2P或第37页/共51页(法二)

因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，所以所求椭圆的标准方程为第38页/共51页练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.答案：(1)a=,b=1,焦点在x轴上;(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；

(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).小结：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a,b的值.第39页/共51页例5：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为

3m，求这个椭圆的标准方程．解：以两焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为

y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，则这个椭圆的标准方程可设为根据题意有即因此，这个椭圆的标准方程为xyOF1F2第40页/共51页解：例1：将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，并说明它是什么曲线？yxo设所的曲线上任一点的坐标为（x，y）,圆＝４上的对应点的坐标为（x’，y’），由题意可得：因为＝４所以即1）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆。2）利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法；第41页/共51页练习(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。(3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。解

(1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。第42页/共51页1、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’，延长P’P至M,使P’M=2P’P，求点M的轨迹。2、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’。求线段PP’上使PM=2MP’的点M的轨迹。3、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP’。求PP’上PP’=-3P’M的点M的轨迹。练习第43页/共51页

例2已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．解：设｜PB｜＝r．∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10．∴两圆的圆心距｜PA｜＝10－r，即｜PA｜＋｜PB｜＝10(大于｜AB｜)．∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．∴2a＝10，2c＝｜AB｜＝6，∴a＝5，c＝3．∴b2＝a2－c