导学案指数概念的扩充

指数概念的扩充1．了解整数指数幂的概念．2．理解分数指数幂的概念，掌握分数指数形式与根式形式的互化．3．了解无理数指数幂和实数指数幂的概念．1．整数指数幂an＝(n∈N＋)，a0＝____(a≠0)，a－n＝____(a≠0，n∈N＋)．【做一做1－1】π0等于()．A．0B．πC．1D．2π【做一做1－2】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－4＝__________.2．分数指数幂(1)定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在____的正实数b，使得bn＝____，那么b叫作a的eq\f(m,n)次幂，记作b＝____.它就是分数指数幂．分数指数幂不是eq\f(m,n)个a相乘，实质上是关于b的方程bn＝am的解．(2)写成根式形式：＝____，＝____(其中a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．(3)结论：0的正分数指数幂等于_________，0的负分数指数幂________．【做一做2－1】等于()．\r(2)\r(3,3)\r(3,27)\r(27)【做一做2－2】eq\r(5,a－2)等于()．A．B．C．D．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的____．指数的扩充过程：(1)规定了分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充．(2)规定了无理数指数幂后，指数概念就由有理数指数幂扩充到了实数指数幂．【做一做3】计算：(1)；(2)；(3).答案：1．1【做一做1－1】C【做一做1－2】162．(1)唯一am(2)eq\r(n,am)eq\f(1,\r(n,am))(3)0没有意义【做一做2－1】D【做一做2－2】A3．实数【做一做3】(1)eq\f(1,3)(2)eq\f(7,8)(3)1．为什么分数指数幂的定义中规定b为正实数？剖析：由整数指数幂的规定知，当a＞0时，对任意整数m，总有am＞0.若b＝0，当n为正整数时，bn＝0，此时bn≠am；当n为负整数或零时，bn无意义，bn＝am无意义．若b＜0，当n为奇数时，bn＜0，此时bn≠am；当n为偶数时，虽然bn＝am成立，但此时，0＞b≠＞0.因此规定b＞0.2．为什么分数指数幂的定义中规定整数m，n互素？剖析：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：中，底数a∈R,当a＜0时，＜0，而如果把写成，有两种运算：一是＝就必须a≥0；二是＝，在a＜0时，的结果大于0，与＜0相矛盾．所以规定整数m，n互素．题型一用分数指数幂表示正实数【例1】把下列各式中的b写成分数指数幂的形式(b＞0)：(1)b3＝4；(2)b－2＝5；(3)bm＝32n(m，n∈N＋)．反思：将bk＝d中正实数b写成分数指数幂的形式时，主要依据分数指数幂的意义：bn＝amb＝a(m，n∈N＋，b＞0)．题型二用分数指数幂表示根式【例2】用分数指数幂表示下列各式：(1)eq\r(3,x2)；(2)eq\f(1,\r(3,a))；(3)eq\r(4,a－b3)；(4)eq\r(3,m2＋n2).反思：用分数指数幂表示根式时，要紧扣分数指数幂的根式形式：a＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．题型三求指数幂a的值【例3】计算：(1)64；(2)；(3).分析：将分数指数幂化为根式，再求值．反思：分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法．将分数指数幂写成根式的形式时，用熟悉的知识去理解新概念是关键．题型四易错辨析易错点忽略n的范围导致化简eq\r(n,an)时出错【例4】化简：eq\r(3,1＋\r(2)3)＋eq\r(4,1－\r(2)4).错解：原式＝(1＋eq\r(2))＋(1－eq\r(2))＝2.错因分析：错解中忽略了1－eq\r(2)＜0的事实，应当是eq\r(4,1－\r(2)4)＝eq\r(2)－1.答案：【例1】解：(1)b＝.(2)b＝.(3)b＝.【例2】解：(1)eq\r(3,x2)＝.(2)eq\f(1,\r(3,a))＝＝.(3)eq\r(4,a－b3)＝.(4)eq\r(3,m2＋n2)＝.【例3】解：(1).(2).(3)＝eq\f(1,\r(3,125))＝eq\f(1,5).【例4】正解：原式＝(1＋eq\r(2))＋|1－eq\r(2)|＝1＋eq\r(2)＋eq\r(2)－1＝2eq\r(2).1写成根式形式是()．A.B.C.D.2若b4＝3(b＞0)，则b等于()．A．34B．C．43D．353等于()．A．0B．1C．D4把下列各式中的正实数x写成根式的形式：(