专升本《高等数学》课程的应试策略

专升本《高等数学》课程的应试策略往年考题题型及各题型所占分值2001年2002年2003年2004年

选择题30分50分60分50分

填空题20分30分30分30分

判断题10分10分

36分40分40分40分

10分14分14分14分

证明题4分6分6分6分

2002年以来，往年试卷的分值及考试时间一直保持不变（试卷总分150分，考试时间为150分钟。），历年题型见下表：

考试知识点及每个知识点在考卷中的比例

考试内容

所占比例

函数、极限与连续

约30%

一元函数的微分学

约32%

一元函数的积分学

约30%

多元函数微积分

约30%

向量代数与空间解析几何

约8%

无穷级数

约10%

常微分方程

约10%

历年来，专升本考试的数学内容是固定的，总体上有四部分，它们分别是：一元函数的微积分；多元函数的微积分（包括空间解析几何知识）；常微分方程；无穷级数。具体内容及所占比例如下表：

每类题型的求解方法指导一、单项选择题的求解方法

方法一：直接求解法。即从题设条件出发，经过合理的演算、推理得出结论，然后，观察选项中哪一个符合要求。举例：例1当时，无穷小是比的（）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ同阶无穷小Ｄ等价无穷小指导：比较两个无穷小阶数的高低，方法是：求二者商的极限。

注：请注意解题方法！这种题是每年必考题。例2设向量则向量与的夹角为（）Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、指导：求两向量的夹角时，可利用它们的数量积公式进行计算。例３级数的敛散性为（）

Ａ绝对收敛Ｂ条件收敛Ｃ发散Ｄ敛散性不能确定指导：这类题求解时，应首先看是否绝对收敛？很明显，其绝对值级数为：，的级数，收敛方法二：逐一验证法。即将所给选项按照题设要求逐一的演算、推理检验，从中找出符合题设的选项。举例：例1下列函数中，是函数的原函数的是（）Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、指导：作这个题就需要逐一验证，首先，你应明白何谓“原函数”？，然后逐一检验。如果，的一个原函数。

，其余都不满足，故应选Ｃ。注：原函数的概念也很重要，要牢记。例２在区间上，下列函数中不满足罗尔定理条件的是（）Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、指导：该题的求解，应在掌握罗尔定理条件的基础上，对四个选项逐一验证。罗尔定理的条件是：⑴上函数连续；⑵内函数可导⑶

该题的四个选项中，Ａ、Ｃ、Ｄ满足定理条件，而Ｂ不满足。方法三：排除法。即首先排除明显错误的选项，逐步缩小选择范围，再进行比较和验证，最终选择一个正确答案。举例例1已知，则等于（）。指导

该题可用“方法一”---直接求解法寻求答案。只需作变换，令，即可得到的关系式，进而得。也可用恒等变形的办法求得。

该题也可用排除法求解。由已知，当时，会得，而将代入4个选项中，分别得、

4、4、0，因此，选项A、D可排除。再令，会得，而将代入B选项，得数9，因此B可排除，最后，选C.

A、B、

C、D、例2

等于（）；ABCD指导：

因该题是求微分的，结果中应含微分记号，故A、B选项可排除；再根据可变上限的积分求导性质，最终应选C.方法四：赋值验证法。即将条件中的变量或关系式，赋给一些合乎要求的数值或关系式，会得一结论；再观察选项中哪一个选项与命题结论相符。举例：例1满足方程的函数是（）A、B、C、D、指导：在方程中，令，可得，满足此条件的函数有和，又方程两边求导得，满足该条件的只有，故D正确。例２已知，且，则函数在处（）A、导数存在，且；B、导数一定不存在；C、取得极大值；D、取得极小值。指导：取满足条件的函数，由该函数的性质知，A、B

、C全错，故选D例３设，则等于（）；

A、B、C、D、指导：由已知条件，将代入，可得，而在四个选项中，满足条件的只有B.方法五：图像法。即借助函数的图像直观地判断函数的性质、状态举例：例1设在区间上可导，且，则函数在内（）；A、至少有两个零点；B、有且仅有一个零点；C、没有零点；D、零点的个数不确定指导：由于，知函数严格递增，又，于是，函数图像如图，直观可看到B选项正确。例2函数在点处（）；A、无定义；B、不连续；C、连续不可导；D、连续又可导。

指导：函数的图像如图，C选项正确。方法六：变量替换法。即通过变量替换，把不熟悉的关系式化为熟悉的关系式，进而解答问题的方法。举例：例1曲线在处（）；A、有极大值B、有极小值C、有拐点D、无拐点指导：令，命题转化为判断在处的性态；的曲线形状大家比较熟悉，如图，正确答案为C.例2设级数在点处收敛，则级数在处（）；

A、绝对收敛；B、条件收敛；C、发散；D、敛散性不定指导：令，该命题可化为，级数在处收敛问处的敛散性；由绝对收敛定理知，A选项正确。

二、填空题的求解方法

填空题往往考察某一知识点中的基本概念、基本性质、基本运算；因此，做这样的题需按照以下方法进行：

方法一：紧扣知识点，顺藤摸瓜。即遇到题首先弄清楚它考的是哪一章节的什么知识，然后再据这一知识的概念、性质、运算，推得结论进而得出答案。举例例1极限＿＿＿；指导：很明显，该题是一道极限计算题，如何求极限呢？总体方法是，先判断极限类型，然后按照这种类型的极限求法求极限。该极限可看到是极限，于是，可用罗比塔法则、可用等价无穷小的替换，也可用重要极限等方法求极限。极限值是例2设，则指导：该题是考察导数概念的题，要把导数定义中的极限与所给极限比较，进而求得极限。通过比较和恒等变形，可得极限为-3。例3指导：该题含有求导符号，因此是求导运算题，又被求导的函数是积分上限函数，于是，求导时要利用积分上限函数的性质。

被求导的函数是与复合而成的函数，故其导数为：方法二：注重技巧，少走弯路。即有些题型的求解是有技巧的，方法正确，易于求出结果，方法不恰当，解题就困难。

几个重要结论：⑴

⑵⑶⑷⑸①②等等举例例1________;指导:该题可利用三角函数的高阶导数公式求得结果。请你一定要记住这些公式！例2积分指导：该定积分的积分区间是关于坐标原点对称的区间，因此，使我们想到考虑被积函数的奇偶性；容易知道，被积函数是奇函数，故积分为0。例3积分指导：该题入手方法同例2，具体如下：例4设直线在平面内，则常数=——；指导：直线在平面内，意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直从而，它们的数量积为零。

三、判断题的求解方法

判断题常常考试容易模糊的概念、容易出错的运算、容易迷糊的性质。这类题的求解需注意以下几点：

⑴、理清概念。如：①对于一元函数，②③④对于多元函数，

⑵、牢记运算性质。如：①如果②如果级数③对于一元函数，

④

⑶严格运算，注重细节。举例例1判断下列命题是否正确？⑴、如果函数在点处无定义，则不存在；⑵、如果函数在点处不可导，则曲线在处无切线；⑶、如果函数在点处的两个偏导数皆存在；那么函数在点处全微分存在；⑷、如果，则。⑸、如果，则级数收敛；⑹、如果函数在处取得极值，则；⑺、如果点是曲线的拐点，则；⑻、；⑼、设，则；⑽设，；

提示：这类问题很多，请细心思考！

四、计算题的求解方法

这几年，专升本试卷中计算题的类型是较固定的，每年都是8个题，且它们分别是：⑴、求一元函数的极限；⑵、求一元函数的导数；⑶、求一元函数的不定积分；⑷、求一元函数的定积分；⑸、多元复合函数的求偏导；⑹、二重积分的计算；⑺、将函数展开成幂级数（或求幂级数的收敛区间）；⑻、常微分方程的求解。㈠、一元极限的求解方法：

求极限时，应首先判断极限类型，然后才能选择合适的方法；这几年的求极限题皆为不定式极限，总体的方法是用罗比塔法则求极限；当然，在求极限过程中，也要考虑其它求极限的技巧，以便更快地求出极限来。举例例1求指导：首先看能否代入求极限，通过判断发现不能，该极限是型不定式极限，可考虑用罗比塔法则求极限。

（也可用等价无穷小替换求解）㈡、一元函数的求导方法

求一元函数的导数时，应首先看该函数的结构，判断是复合函数，还是四则运算产生的函数，还是幂指函数，还是隐函数，然后按相应的求导法则求导数。举例：例1设指导：该函数是幂指函数，可用对数求导法求导数，也可用复合求导法则求导数。㈢、求一元函数积分的方法

无论一元不定积分还是定积分，求积分时，首先要看被积函数的结构，看它属于哪个积分方法的可积类型，然后，按相应的方法积分。如：被积函数中含有根式时，要利用变换换元脱去根式进行积分；被积函数是对数或反三角函数时，用分部积分法积分等。举例：例1求下列积分：⑴⑵指导对第一个积分容易看到，被积函数无微分关系，只能用分部积分法积分，且注意到：，故积分如下：

对于第二个积分，被积函数特点是含有根式，于是，可用换元积分法积分。具体如下：方法二：凑微分法。具体如下例2求积分⑴⑵指导这两个积分皆为定积分，从积分的特征看到，第一个积分是偶函数在对称区间上的积分，且被积函数可化简，然后用凑微分法积分；第二个积分，从特征看，需用分部积分法积分．具体如下：解⑴⑵

㈣多元复合函数偏导数的求法指导：这几年，多元复合函数的偏导计算题，往往是含字母的抽象函数的求导，关键要弄明白变量间的关系，然后按变量间的关系连线图求导。举例例设其中皆具有二阶连续的偏导数，求指导首先应明确，求导次序是：先对求偏导，然后对求偏导；具体求导时，函数是两项的和，需分别求导向加；而每一项又是复合函数，需用复合求导法则求导。解㈤二重积分的计算

计算二重积分是一类很重要的运算，每年必考。计算的总体方法是：①先画出积分区域；②根据积分区域特征、被积函数特征，选择坐标系；③在该坐标系内，把积分区域用不等式表示；④把二重积分化为二次积分计算。举例例１求积分，其中是圆在第一象限中的部分。解积分区域如图所示区域可表示为：于是，（在内，）㈥幂级数的展开或运算指导：把函数展开为幂级数时，常常用间接的方法；这其中需要记几个常用函数的幂级数展开式，如：，利用它们的展开式，利用级数的运算，可间接地把一些函数展开成幂级数。举例例