1直线的倾斜角与斜率-【新教材】人教A版2019高中数学选择性必修第一册同步讲义

2.1直线的倾斜角与斜率知识梳理知识梳理1、直线的倾斜角(1)定义：当直线l与1轴相交时，我们取％轴作为基准，％轴正向与直线l向上方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角；(2)规定：当直线l与1轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线的倾斜角a的取值范围是［0，n).2、直线的斜率(1)定义：当直线l的倾斜角a4时，其倾斜角a的正切值tana叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k=tana,V一V(2)斜率公式：经过两点P1(11，v1),P2(i2,v2)(i件12)的直线的斜率公式为k=11 1 22 2 1 2 1一i3、(1)直线的倾斜角a和斜率k之间的对应关系：a0n0<a<2乙n2n2<a<nk0k>0不存在k<0(2)直线的斜率k和倾斜角a之间的函数关系:4、两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线11，12,其斜率分别为k1，k2,则有lbl尹尸k2。特别地，当直线11，12的斜率都不存在时，11与12平行.(2)两条直线垂直如果两条直线11，12斜率都存在，设为k1，k2,则11±12T1•k2=—1,当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直知识典例题型一斜率与倾斜角【例1】已知点A,则直线A5的倾斜角为（题型一斜率与倾斜角【例1】已知点A,则直线A5的倾斜角为（2n

A.—

371C3-5冗D.—6【答案】A【分析】由两点坐标，求出直线A6的斜率,由两点坐标，求出直线A6的斜率,利用k=tana,结合倾斜角的范围即可求解.【详解】设直线A5的倾斜角为a,因为A所以直线A5的斜率上二"二^-1-1因为A所以直线A5的斜率上二"二^-1-1-a/3,即tana=-y/3,因为ae[0,7i),所以a=?故选：A巩固练习巩固练习若直线x=2的倾斜角为a,则a二A.071A.071C2D.冗【答案】C【分析】根据倾斜角的定义判断即可;【详解】c 兀解：直线x=2,垂直于1轴，故倾斜角为3故选：C题型二斜率的范围求解【例2】设点A（2,—3）, 直线/过点Ml,D且与线段A6相交，则/的斜率上的取值范围是（）3A.左或左V-44

DD.以上都不对【答案】A【分析】画出图形分析，即可得出k画出图形分析，即可得出k<kPAPB，求出即可.【详解】如图，要使直线l与线段AB相交，则应满足k<葭或k>%7 1+3 ) , 1+23…。A=="4，kpB=市="■ ，,3，k<-4或k>.4巩固练习已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(0,-1)，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l斜率k的取值范围是()A.[-2,3]B.[A.[-2,3]C.C.(一*-2]u[3,+s)D.以上都不对【答案】C【分析】过点C的直线I与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线I的斜率k>kBC或k<kA(：，进而求解即可【详解】如图所示：・・,过点C的直线l与线段AB有公共点，，直线l的斜率k>kBC或k<晨,

・,・直线l的斜率k>3k>k 或k<-2,BC・,・直线l斜率k的取值范围：(-8,-2]U[3,+8),故选：C.题型三位置关系胸3】若过点P(3,2m)和点Q(—m,2)的直线与方向向量为4=(-5,5)的直线平行，则实数m的值是(A.1 B.-1 C.2 D.-23 3【答案】B【分析】求出PQ坐标，由向量共线可得关于m的方程，进而可求出m的值.【详解】由题意得，PQ=(-m-3,2-2m)与4=(-5,5)共线，所以5(-m-3)-(-5)・(2-2m)=0,解得m=-1.经检验知，m=-1符合题意，故选:B.已知直线l1已知直线l1的倾斜角为60°,直线12经过点A则直线l1,12的位置关系是 【答案】垂直【分析】根据斜率的定义以及斜率的坐标公式分别求出直线/],l2的斜率，即可判断出直线l],l2的位置关系.【详解】因为k=tan60°=J3，k=2'：3— =—苴，所以k,k=-1，即直线l，l的位置关系是垂直.1 2 —2—1 3 12 1 2题型四判断图形[例4已知四边形MNPQ的顶点M(1,1),N(3,—1),P(4,0),Q(2,2)，则四边形MNPQ的形状为(A.平行四边形 B.菱形 C梯形 D.矩形【答案】D【分析】求出四条边所在直线的斜率，可判断它们是矩形.【详解】因为kMN=TkPQ=-\，所以MN//PQ.又因为kMQ=LkNP=1，所以MQ//NP，所以四边形MNPQ为平行四边形.="1，所以MN1MQ.所以四边形MNPQ为矩形.巩固练习以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是()A.以A点为直角顶点的直角三角形 B.以B点为直角顶点的直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形【答案】A【分析】利用斜率公式求出AB,AC的斜率，可得=kAc=-1，进而可得结果.【详解】因为A(-1,1),B(2,-1),C(1,4) ,7 -1-127 4—13TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"k= =—,k= =一A82+1 3AC1+1 2kAB，kAC=-1AB±AC,/A为直角，故选A.巩固提升1、下列说法正确的是（ ）A.一条直线和％轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角B.直线的倾斜角a的取值范围是锐角或钝角C.和％轴平行的直线，它的倾斜角为180。D.每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率【答案】D【分析】根据倾斜角的概念逐个判断即可得出结果.【详解】对于A,一条直线向上方向和％轴正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角，A错误；对于B,直线的倾斜角a的取值范围是0a<a<180。，B错误；对于C,和％轴平行的直线，它的倾斜角为0。，C错误；对于D,每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率，如a=90。时，斜率不存在，D正确.故选D.2、已知直线l经过两点A（-1，0）,B（0,3），则直线/的斜率为.【答案】3【分析】直接利用斜率公式求解.【详解】因为直线l经过两点A（-1,0）,B（。，3）,所以k=03=3，—1—0所以直线l的斜率为3故答案为：33、过点M(0,1)和N(1,m2+1)(meR)的直线的倾斜角的范围是 n【答案】[0,-)2【分析】求出直线的斜率，由利用正切函数的性质得倾斜角的范围.【详解】m2+1—1 _由题意直线MN的斜率为k= =m2>0，1—0兀设MN的倾斜角为0，则tan0>0，又0e[0,兀)，.・.0e[0,-).乙 n故答案为：[0,-).24、若不同的两点P(a,b)与Q(b-1,a+D关于直线l对称，则直线l的倾斜角为()B.45C.30° B.45C.30° D.60°【答案】B【分析】利用两点连线斜率公式求得kpQ；根据对称关系可知直线PQ与l垂直，可得kpQk「一，从而求得kl；根据直线斜率与倾斜角的关系可得到结果.【详解】a+1—b由题意得：kPQ=b-1—a=T:p,Q关于直线l对称•二直线PQ与l垂直:匕=-1，则勺=1 ...直线l的倾斜角为45c本题正确选项：B5、下列各对直线不互相垂直的是()11的倾斜角为120°,12过点P(1,0),Q(4,<3)2 1、11的斜率为-工，12过点P(1,1),Q(0,--)3 乙11的倾斜角为30°,12过点P(3,<3),Q(4,2回)l1过点M(1,0),N(4,-5),12过点P(-6,0),Q(-1,3)【答案】C

【详解】,，-点选项A,11的倾斜角为120°,12过点P(1,0),Q(4,V3),kp=—^3 3故两直线垂直；1、 3选项B,l2过点P(1,1),Q(0,-),kp=-.故两条直线垂直.2 2PQ2选项C，kpQ=、回，所以11不与12垂直.选项D，l过点M（1，0）,N（4,-5），K=一；，1 MN3312过点p（-6，0）,Q（-1，3），kPQ=5,故两条直线垂直.故选：C.6、已知点A（2,-3），B（-3,-2），直线l过点P（U）且与直线AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 【答案】【分析】根据两直线不平行可得到结果.【详解】若l与直线AB有交点则直线若l与直线AB有交点则直线l与直线AB不平行,7 -2+3 1又k- -—-AB-3-2 51,k中—5，即k的取值范围为( 1-8,一£I 55,+8.故答案为：7、已知点O（00），A7、已知点O（00），A（0，b），B（a，a3）.若AOAB为直角三角形，则必有（A.b=a3C.(b-a3)b-a3——二0D.\b-a31+b-a3-1=0a【答案】C【分析】根据题意，分O为直角顶点、A为直角顶点、B为直角顶点三种情况，结合斜率关系分别求出a,b满足的关系式即可求解.【详解】若A若A为直角顶点，贝Ub=a3川；若O为直角顶点，则B在％轴上，则a必为0,此时O,若O为直角顶点， . a3-b 一一. 1若B为直角顶点，根据斜率关系可知a2- =-1(a，0),所以a(a3-b)=-1,即b-a3--=若B为直角顶点，a a(J)以上两种情况皆有可能，所以必有(b-a3)b-a3--=0成立.以上两种情况皆有可能，Ia)故选：C8、过点P(0,2)的直线l与以A(1,1),B(-2,3)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是()A.[-1力c.[-3,1]2B.A.[-1力c.[-3,1]2，八「 1 、D.(-8,-1]D[—-,+8)【答案】D【分析】PB，即可得出答案.画出图形，设直线l的斜率为k，求出kPA和kPB,由直线l与线段AB有交点，可知k<kPA或PB，即可得出答案.【详解】直线过定点P直线过定点P@2)设直线l的斜率为k,kPB.「kPBPA， ， ，一， 1・•.要使直线l与线段AB有交点，则k的取值范围是k<-1或k>--,乙9、若过两点A(m2+2,m2-3),B(-m2-m+3,2m)的直线l的倾斜角为45°，则m=(-2或-11-2或-11-1-2【答案】D【分析】vn2—3—2777 m2—2帆一3由题意可得—— = =tan450=l,故有冽2—2m—3=2机2+加—1w0,由此求得实数加加2+2+根2+机一3 2机2+m-l的值.【详解】过两点A（m2+2,根2-3）,6（—根2—根+3,2根）的直线/的倾斜角为45。，m2-3-2m m2-2m-3 、则有 = =tan450=1,m2+2+m2+m-32m2