宜春市高安市高安中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精江西省宜春市高安市高安中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题含解析江西省高安中学2019—2020学年上学期期末考试高二年级数学理科A卷一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.复平面内表示复数点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式乘除运算化简,再求出z的坐标得答案．【详解】因为,所以复数所对应的复平面内的点为,位于第三象限．故选:C。【点睛】本题主要考查复数的几何意义，复数的运算,属于基础题．2.下列有关命题的说法错误的是（）A.已知是椭圆的两个焦点,过点的直线与椭圆交于A,B两点，则的周长为B。若“”为假命题，则与均为假命题C.若命题,则命题D.两个随机变量线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0【答案】D【解析】【分析】由椭圆定义，复合命题的真假，命题的否定，相关系数的概念进行判断．【详解】椭圆的标准方程是，,的周长为，A正确；若“”为假命题，则都是假命题，只要有一个为真，则为真,B正确;命题，则命题，C正确；两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1,D错．故选：D．【点睛】本题考查命题的真假判断，解题关键是掌握相关概念，如椭圆标准方程中长轴长的确定,复合命题的真值表，含有一个题词的命题的否定，相关系数与相关性的判断．3.一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个，其中白球的个数记为X,则下列概率等于的是()A。P（0〈X≤2) B。P(X≤1) C。P(X=1) D.P(X=2）【答案】B【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型，由古典概型公式分别求得P（X=1）和P（X=0），即可判断等式表示的意义．【详解】由题意可知，

∴表示选1个白球或者一个白球都没有取得即P（X≤1)，

故选B．【点睛】本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题,古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以用组合数表示出所有事件数．4.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论（素数即质数，）．根据欧拉得出的结论,如图流程图中若输入的值为100，则输出的值应属于区间（）A. B。 C. D。【答案】B【解析】【分析】分析程序框图是计算小于100素数的个数，根据欧拉结论计算可得．【详解】流程图是计算小于100素数的个数，根据欧拉结论，，在区间上．故选：B．【点睛】本题考查程序框图，解题关键是读程序的功能是求小于100的素数的个数，因此由欧拉结论计算即可．5。已知，则二项式展开式中的常数项为（）A.8 B.28 C。56 D.120【答案】B【解析】【分析】先求出的值，再利用二项式定理的通项公式求解.【详解】，二项式的通项公式为，令可得,所以所求常数项为。故选B。【点睛】本题主要考查二项式定理，利用二项式定理求解特定项时，一般是利用通项公式,根据x的指数特征求出r.6.已知双曲线的左焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于不同原点的两点,若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为(）A. B。 C。 D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，，双曲线的焦点到的一条渐近线的距离为,所以,进而,四边形面积为，由可化简得,写出渐近线方程即可.【详解】根据题意，，双曲线的焦点到的一条渐近线的距离为，则，所以，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为。【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，渐近线，点到直线的距离，属于难题.7。针对“中学生追星问题”,某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关"作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的,女生追星的人数占女生人数的。若有的把握认为是否追星和性别有关，则男生至少有（）参考数据及公式如下:A。12 B。11 C.10 D。18【答案】A【解析】【分析】设男生人数为，依题意可得列联表;根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论。【详解】设男生人数为，依题意可得列联表如下：喜欢追星不喜欢追星总计男生女生总计若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关,则，由，解得，为整数,若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有人，故选A。【点睛】本题主要考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题。独立性检验的一般步骤：(1）根据样本数据制成列联表;（2）根据公式计算的值；(3）查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.8.某校在“数学联赛"考试后选取了6名教师参加阅卷，试卷共4道解答题,要求将这6名教师分成4组，每组改一道解答题，其中2组各有2名教师，另外2组各有1名教师，则不同的分配方案的种数是(）A.216 B.420 C。720 D.1080【答案】D【解析】【分析】先对6人分组，再进行分工安排.【详解】6人分成4组共有种不同的分组方案，所以共有种分配方案.【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，选派问题一般思路是:按照先分组，再分工的步骤进行求解.9。已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是(）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由坐标结构特点想到构造函数并得到其单调性,再对两边同乘，得到，结合单调性可得不等式，解出答案。【详解】解：构造函数则所以在上单调递减又因为所以所以解得或（舍）所以不等式的解集是故选B。【点睛】本题主要考查利用抽象函数单调性解函数不等式，观察条件结构特点巧妙构造函数是解决本题的关键.10。.如图所示,点F是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于x轴，则的周长的取值范围是（)A。 B. C。 D。【答案】B【解析】【分析】从极限位置分析可得正确选项．【详解】当接近重合时,即向抛物线和圆的交点无限接近时,周长无限接近于8，当无限接近于轴时，周长无限接近于，因此只有B可选．故选：B．【点睛】本题考查抛物线和圆相交问题,解题方法是从特殊位置，极限位置入手观察结论．这是我们解选择题或分析问题,解决问题的一种方法．数学上有许多问题都可以这样分析解决．11。如图，在三棱柱中，侧棱底面，是棱的中点,是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论正确的是（)A。当点为线段的中点时，平面B。当点为线段的三等分点时，平面C。在线段的延长线上,存在一点,使得平面D。不存在点，使与平面垂直【答案】D【解析】【分析】本题就是研究在直线上有没有点使得平面，我们就由平面出发推导发现结论或矛盾．【详解】是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点,由于，∴是中点，以为轴建立空间直角坐标系,如图，则，,在坐标平面上，直线方程为，即，在直线上，设，则,又,若平面，则，∴，，，与矛盾，∴直线上不存在点，使与平面垂直．故选：D．【点睛】本题考查线面垂直的判断与性质．解题关键是建立空间直角坐标系，把线面垂直所得线线垂直转化为向量垂直，利用向量的数量积计算．简化了问题的求解．本题也可用三垂线定理及其逆定理分析．12。若曲线和上分别存在点,使得是以原点为直角顶点的直角三角形，交轴于点，且,则实数的取值范围是（)A. B。C。 D。【答案】D【解析】【分析】先设,根据，确定；再由是以原点为直角顶点的直角三角形，得到，整理后可得,因此只需求出值域即可。【详解】设，因为点分别是曲线和上的点，所以,；因为交轴于点,且，所以；又因为是以原点为直角顶点的直角三角形，所以，即，所以(,整理得，令，则，所以，因为,所以,即函数在上单调递增，所以，所以在上单调递增,所以,所以，因此.故选D【点睛】本题主要考查函数的综合应用,由题意分离出参数，由导数的方法研究函数值域即可,属于常考题型.二。填空题:(本大题共4小题,每小题5分，共20分。）13.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程，则_______。收入（万元)8.28。610。011.311。9支出(万元)6.27.58。08。5【答案】9。8【解析】【分析】求出,由回归直线过点（)可求得．【详解】由题意，，∴，解得．故答案为:9.8【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握回归直线一定过中心点()这个性质．14。设随机变量的分布列为为常数，则______【答案】【解析】【分析】由已知得=1，解得c=，由此能求出P（0.5＜ξ＜2。5)=P（ξ=1）+P(ξ=2）==．【详解】随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1，2,3,∴=1，即，解得c=，∴P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P(ξ=2）===．故答案为．【点睛】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分布列的合理运用．15。若不等式对任意使式子有意义的实数恒成立，则实数的取值范围是__________【答案】【解析】【分析】首先求得的最大值max，然后解不等式．【详解】．当且仅当时等号成立．∴的最大值为4．下面解不等式，∵,∴，∴不等式为不等式，即，∴或，解得或或,∴的取值范围是．故答案为:．【点睛】本题考查绝对值不等式，考查绝对值不等式的性质．首先不等式恒成立问题转化为求最值．其次解绝对值不等式时，绝对值性质等价于或中可以不讨论的正负，直接用来解不等式，即不等式直接转化为或，不需要按分类，大家可以从集合的分析．16。已知函数f(x）＝x3－3x＋b与函数有相同的对称中心，若有最大值，则实数的取值范围是__________.【答案】[－1,＋∞)【解析】【分析】先求出对称中心，确定b的值，再用导数确定f（x）的单调性和极值,画出其大致图象，同时作出直线y=1—2x，通过图象观察g(x)的单调性与最大值，得出结论．【详解】，其对称中心是(0，1），∴f（0）=b=1,即。，当或者时，，f(x)递增，当—1〈x〈1时,，f（x）递减，作出其大致图象,并作出直线y=1-2x,如图．由,当a<—1时，无最大值，当时，,当时，，∴a的取值范围是．故答案为:．【点睛】本题考查分段函数的最大值，要注意分段函数的定义,它在x>a时，g(x）=1-2x这一部分无最大值,因此最大值只能在这一部分取得，从而由图象容易得出结论．本题还考查了由导数确定函数的单调性与极值，属于中档题．三、解答题：(本大题共6小题,满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17。(2)选修4—4：坐标系与参数方程在直接坐标系中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为.（I）已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值。【答案】【解析】试题分析：（1）消去曲线参数方程中的参数，得到曲线普通方程，根据公式，把点的坐标化为直角坐标方程，即可判断点与直线的关系；(2）设,由点到直线的距离公式可得距离的表达式，通过三角恒等变换化为正弦型函数在给定区间上的最值来求解.试题解析：（1）∵曲线C的参数方程为,∴曲线C的普通方程是，∵点P的极坐标为，∴点P的普通坐标为(4cos，4sin），即（0，4)，把（0，4)代入直线l：x﹣y+4=0，得0﹣4+4=0，成立，故点P在直线l上．(2)∵Q在曲线C：上，(0°≤α＜360°）∴到直线l：x﹣y+4=0的距离：=,（0°≤α＜360°)∴．考点：椭圆的参数方程与直线极坐标方程的应用。18.已知函数。（1）求不等式的解集;（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.【答案】(1)解集为；(2)实数的取值范围是.【解析】【分析】（1）由已知不等式，得。分类讨论可求不等式解集；（2）设，则。可求。因为函数的值域为，所以有解，即。因为，由此可求实数的取值范围。【详解】（1）由已知不等式，得.考虑到,不等式又可化为或解得或。所以不等式的解集为.(2）设，则.因为当且仅当时取等号，所以.因为函数的值域为，所以有解，即.因为,所以，即。所以实数的取值范围是【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题,考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．19.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数,近似为样本方差。（i）利用该正态分布，求;（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数。利用（i）的结果，求.附：若则，．【答案】（I）；（II）(i）；(ii)．【解析】试题分析:（I）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II）（i)由已知得，，故；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品,相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数,故期望．试题分析：（I)抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为，．（II）（i）由（I）知,服从正态分布，从而．(ii）由（i)可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布原则；3、二项分布的期望．20。如图，在四棱锥中，底面是矩形,平面，，点、分别在线段、上，且，其中，连接，延长与的延长线交于点，连接．（Ⅰ)求证：平面；（Ⅱ）若时，求二面角的正弦值；(Ⅲ)若直线与平面所成角的正弦值为时，求值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ)。【解析】【分析】(Ⅰ）在线段上取一点,使得,，证明四边形为平行四边形，得到，然后证明平面．（Ⅱ)以为坐标原点，分别以，，为,,轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量利用空间向量的数量积，求解二面角的正弦值．(Ⅲ）令,，，,,求出平面的一个法向量利用空间向量的数量积转化求解即可．【详解】（Ⅰ)在线段上取一点，使得，，且，，，且，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面．(Ⅱ)以为坐标原点，分别以，，为,，轴建立空间直角坐标系，0,，，0,，，2，，，2,，，0,，，，1，，，0，设平面的一个法向量为,，,，令,，，设平面的一个法向量为，，，，令，，，，，，二面角的正弦值为．(Ⅲ)令，，，，，设平面的一个法向量为，，，,令,，由题意可得：，,，．【点睛】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．21.已知斜率为1的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点为,椭圆的上顶点为.（1）求椭圆的离心率;（2）设直线与椭圆交于两点，若直线与的斜率之和为2，证明：过定点.【答案】(1）（2)见证明【解析】【分析】（1)设点P,Q的坐标，代入椭圆C的方程，利用点差法及中点坐标公式可得a，b的关系,可得e；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得M，N的横坐标的和与积，由直线AM与AN的斜率之和为