高考考前谈兵（5）征服空间几何6招

II）设直线交圆O于BD，连接ACBD.当AC∥BD时必有AC=BD（同圆的两条平行弦相等）。∵AB为圆O的直径，故四边形ACBD为矩形。以矩形ACBD为底面作长方体ACBD-MFNG，.注意到,∴四边形PQDF是平行四边形，PQ∥DF.于是∠BDF=∠MFD=α是异面直线PQ与EF所成角，∠FDC=θ是直线PQ与平面ABC所成角，∠ADM=β是二面角的平面角。设此长方体的体对角线DF=d,面对角线BF=DM=m.高AM=CF=h。那么，故，证毕.评注：1.空间角说道底是由平面角变换而来的.所以空间有难度时，应该退向平面：异面直线的夹角，通过平移即成为平面角；线面角通过射影也成为平面角；而二面角更是与其平面角对应。所以空间的根在平面。2据题设条件，将表面上看来十分零乱的3种空间角统一于同一个长方体之中，以下的证明就十分简单了。考场精彩【题7】（2008年武汉市二月调考）在四面体ABCD中，三组对棱长分别相等且依次为.则此四面体ABCD的外接球的半径R为（）【分析】分析条件中的3个“怪数”.考虑构造长方体。【解析】如解图，将这个四面体ABCD置于长方体AEBF-GCHD之中,那么该四面体与长方体有同一个外接球,且球半径等于该长方体的体对角线之半.设此长方体的三度（即长、宽、高度）依次为.令于是这个长方体的体对角线之长，从而所求外接球的半径.故选C.评注：图中的长方体去掉4个直角四面体后，得到一个“对角线四面体”，从长方体中分离出这个“对角线四面体”并不难，难的是将原题中的“对角线四面体”复原成长方体。是一种“逆向思维”，是破解一些难题的重要手段。【题8】（武汉2016高三调考理数18题）如图所示.四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的菱形,（1）求证:PB⊥BC;（2）求二面角A-PB-C的余弦值.【解析1】题中两问都与各棱的实际长度无关（仅与各棱的相互关系即比例有关）,故不妨设.（1）证明需进行数据分析且向勾股定理寻根.如解图1,连AC,BD交于E.∵菱形ABCD中容易判定四面体P-ABD是棱长为1的正四面体.作PO⊥面ABD于O,则O必在AC上且为正三角形ABD的中心.于是又而BC=BP=1,PB⊥BC.（2）（解法1.投影法）作AF⊥CB延长线于F,连PF.则二面角A-PB-F是二面角A-PB-C的补二面角,且△PAB在平面PBC上的投影是△PBF.正三角形PAB边长为1,故其面积;△ABF是含角的直角三角形,设所求二面角为,则.即所求二面角的余弦值为.【解析2】（体积法）同解图1.设点A到平面PBC的距离为h,所求二面角大小为θ,∴而点A到棱PB的距离为.显然θ为钝角,【解析3】（“生活美好”朋友提供）不妨设.并设所求二面角的大小为θ.取PB,PC中点F,M,连结AF,FMAM易知∠AFM为所求二面角的平面角.作MN∥OP,△AFM中,【解析4】（向量法.“楚天舒”朋友提供）不妨设.并设所求二面角的大小为θ.（1）作AN⊥PB于N,则为二面角A-PB-C的平面角.【题9】（湖北省黄冈市名校2010年高三数学模拟试题（4），12题）如图，在正三棱锥S—ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且AMMN，若侧棱长SA=，则正三棱锥S—ABC的外接球的表面积为（）A．9B．12C．16D．32【解析】（向直角四面体寻根）既然S－ABC是正三棱锥，必有SB⊥AC（正三棱锥的任意一组对棱必互相垂直）.MN是△SBC的中位线，∴MN∥SB.已知，，故SB⊥平面SAC,故知此三棱锥为直角四面体。如解图，将此直角四面体补成正方体ASCD-EBFP，则此正方体与原三棱锥同一个外接球，其直径为：，半径，故所求外接球表面积（平方单位）故选A.【题10】如图.正四面体ABCD的3个顶点分别在两两互相垂直的3条射线Ox,Oy,Oz上,点E在棱CD上，则以下结论：1.OA=OB=OC;2.AB⊥OE;3.OB∥平面ACD;4.直线AD与OB成45°角；5.二面角D-OB-A为45°.其中正确结论的序号是【解析】（坐标法）显然△AOB≌△BOC≌△COA,∴OA=OB=OC;如图，将原形补成正方体OAMB-CNDP,连结OM,由AB⊥OM且AB⊥OC,知AB⊥平面OCDM.但是平面OCDM,∴AB⊥OE,∵OB∥AM,而AM与平面ACD有公共点A,∴OB与平面ACD不平行,（根据：两平行线之一与一个平面相交时，另一条亦必与该平面相交）∵四边形ANDM是正方形,∴∠DAM=45°，而OB∥AM,∴直线AD与OB亦成45°角；连结ON,∵ND∥OB,且OB⊥平面OCNA,∴∠NOA是二面角D-OB-A的平面角.∵∠NOA=45°，即二面角D-OB-A为45°，综上，题中正确结论的序号是1，2，4，5.仅有结论3是不正确的.评注：有了两两垂直的3条直线，即想到构造正方体（或长方体）。于是将原来的正四面体作为该正方体的“一个零件”，问题也就好处理了。这仍然叫做“逆向思维”。解题欣赏:【题11】在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为（

）

A．64

B．65

C．66

D．67【解析】如解图1这样摆放，假如每层都放4×4=16个，显然共可放置64个球。我们的问题是：能否还放多一些。为此，我们尽可能让每个球都与尽可能多的球相切。这样，如解图2，第2层可以放9个。虽然球数少了，但总体高度却降低了。如解图3我们继续摆放上去，第3,4,5层依次再放16,9,16个球。这5层总数是66个，这有可能吗？我们只需计算，这5层的总高度是否超过4如解图4，4个彼此紧密相邻的球上面再放一个与其他4球都相切,那么其5个球心组成一个棱长均为1的正四棱锥P-ABCD如图5.