第三章平稳时间序列模型建立

第三章平稳时间序列模型建立第一页，共61页。第一节模型识别与定阶一、自相关函数和偏自相关函数的估计（一）自协方差函数和自相关函数的估计第二页，共61页。第三页，共61页。1）是平稳时间序列自协方差的无偏估计量；则是平稳时间序列自协方差的渐进无偏估计量。2）通常是正定的。第四页，共61页。（二）偏自相关函数的估计

第五页，共61页。二、模型的初步识别（一）截尾性的判断若yt是一个真实MA（q）模型，第六页，共61页。例1，某资产组合过去100个交易日收益率情况第七页，共61页。第八页，共61页。第九页，共61页。（二）偏相关系数截尾性的判断若yt是一个AR（p）过程，~第十页，共61页。第十一页，共61页。（三）ARMA（p，q）模型识别模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)ACF拖尾截尾拖尾PACF截尾拖尾拖尾第十二页，共61页。三、模型的定阶1、残差的方差第十三页，共61页。残差方差小，相应的阶数合理。第十四页，共61页。模型残差平方和自由度残差方差AR(1)8184.65468120.03095AR(2)7920.03767117.76331AR(3)7919.294766119.53610第十五页，共61页。第十六页，共61页。2、ACF和PACF定阶法模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)自相关函数（ACF）拖尾截尾拖尾偏自相关函数（PACF）截尾拖尾拖尾第十七页，共61页。第十八页，共61页。第十九页，共61页。模型残差平方和自由度残差方差MA(1)80065.715837.1543MA(2)72345.915735.6262MA(3)71123.965635.6381MA(4)71104.135535.9956第二十页，共61页。两模型几乎没有差异。第二十一页，共61页。（四）模型定阶的最佳准则函数法1、基本思想：确定一个函数，该函数既要考虑用某一模型拟合原始数据的接近程度，同时又考虑模型中所含参数的个数。当该函数取最小值时，就是最合适的阶数。衡量模型拟合数据的接近程度的指标是残差方差。2、最佳准则函数包括AIC、BIC等准则。第二十二页，共61页。AIC准则是1973年由赤池（Akaike）提出，此准则是对FPE准则(用来判别AR模型的阶数是否合适)的推广，用来识别ARMA模型的阶数。该准则既适合于AR，也适合于ARMA模型。第二十三页，共61页。第二十四页，共61页。第二十五页，共61页。第二十六页，共61页。第二节模型参数的估计一、模型参数的矩方法估计二、最小二乘估计三、极大似然估计第二十七页，共61页。一、模型参数的矩估计（一）AR(p)模型的矩估计第二十八页，共61页。第二十九页，共61页。于是可得如下的Yule-Walk方程：第三十页，共61页。于是可得到的矩估计：第三十一页，共61页。例1，AR(1)模型的矩估计第三十二页，共61页。例2，AR(2)模型参数的矩估计第三十三页，共61页。（三）MA(q)模型参数的矩估计第四章已经推导出MA(q)的自协方差结果，将代替，代替(i=1,2…q),得如下方程组：上式是含有q+1个参数的非线性方程组，解此方程组，即可以求出各参数：方程组可以直接求解，也可以用迭代法求解。第三十四页，共61页。例3.MA(1)模型参数的矩估计第三十五页，共61页。第三十六页，共61页。例4.求AR(2)模型系数的矩估计AR(2)模型Yule-Walker方程矩估计第三十七页，共61页。优点估计思想简单直观不需要假设总体分布计算量小（低阶模型场合）缺点信息浪费严重只用到了p+q个样本自相关系数信息，其他信息都被忽略估计精度差通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二乘估计迭代计算的初始值

第三十八页，共61页。二、最小二乘估计第三十九页，共61页。第四十页，共61页。对于ARMA模型或MA模型参数的估计，一般采用非线性最小二乘法，或极大似然估计法。第四十一页，共61页。模型参数的极大似然估计第四十二页，共61页。四、模型参数的最小平方和估计第四十三页，共61页。第三节模型的适应性检验

一、模型的适应性检验二、模型的平稳性和可逆性分析第四十四页，共61页。一、模型的适应性检验若建立的模型恰当的描绘了已给数据数据序列的ARMA模型，那么模型拟合的残差应是白噪声序列，即均值为零、常数方差、彼此不相关。

ARMA模型的适应性检验，主要就是检验残差是否为白噪声序列。第四十五页，共61页。

散点图法

估计相关系数法F检验法卡方检验法第四十六页，共61页。F检验法第四十七页，共61页。如果,则拒绝原假设，即认为ARMA（p，q）与ARMA（p-1，q-1）模型的拟合精度有显著性差异，降阶是不恰当的。反之，如果，则两个模型的拟合精度没有显著性差异，降阶是合理的。第四十八页，共61页。卡方检验法设为估计出的残差序列，其样本自相关函数为：通常用Q统计量检验原假设是否为白噪声。第四十九页，共61页。第五十页，共61页。例5对某商场100天的销售金额取对数后进行一阶差分得到每日销售额增长率序列

第五十一页，共61页。第五十二页，共61页。第五十三页，共61页。第五十四页，共61页。第五十五页，共61页。第五十六页，共61页。从信息准则可见，AR（1）模型的信息准则最小，因此初步认定是AR（1）模型。接下来对模型的残差是否存在相关性进行检验。第五十七页，共61页。第五十八页，共61页。第五十九页，共61页。本章小结

1．样本自相关和偏自相关函数是识别平稳时间序列模型的重要方法。由于样本自相关和偏自相关函数是随机变量，因此判断其是否截尾的方法是通过构造统计量进行统计检验。如果滞后若干期的样本自相关函数不显著，而偏自相关函数是统计显著异于零的，则可能是MA模型，反之则可能是AR模型，若二者均统计显著异于零，则可能是ARMA模型。2．模型阶数越高，往往残差方差越小，但待估参数增加，有效样本量随之也减小，因此在模型定阶时需要遵循“约减”原则，即当残差方差变化不大时，尽量选择阶数低的模型。此外，AIC，BIC等信息准则考虑了模型残差与模型阶数之间的权衡关系，是重要的模型定阶准则。3．对于AR模型，参数估计比较简单，可以利用线性最小二乘方法。而MA和ARMA模型的参数估计相对困难，需要用到非线性最小二乘方法。对于ARMA模型，最小平方和估计和极大似然估计是两种重要的估计方法，从极大似然估计出发可以得到最小平方和估计。4．模型检验是建立时间序列模型的重要步骤。除了传统的系数显著性检验之外，时间序列模型还需要对参数是否冗余、残差是否还存在相关性进行检验。只有通过模型检验之后，时间序列模型才能最后确定。常用的参数冗余检验有F检验，残差相关性检验有卡方检验。5．Box-Jenkins方法是以序列的自相关函数和偏自相关函数的统计