第三章数字图像处理数学基础

第三章数字图像处理数学基础第一页，共69页。第三章数字图像处理的数学基础线性系统调谐信号分析卷积与滤波相关函数二维系统灰度直方图第二页，共69页。3.1线性系统一、线性系统实际应用系统(线性系统)f[*]u(t)y(t)当且仅当该系统具有如下性质时：该系统是线性的。第三页，共69页。3.1线性系统二、移不变系统输入信号自变量t沿坐标轴平移T时刻，若满足F(u(t-T))=y(t-T)则称该系统具有移不变性。

对于移不变系统，平移输入信号仅使输出信号移动同样长度，输出信号的性质不变。若输入图像相对于其远点有一平移，则输出图像除了相同的平移，其他不变。第四页，共69页。3.2调谐信号分析一、调谐信号调谐信号可视为一个在复平面内以角速度ω旋转的单位向量，且有ω=2πf第五页，共69页。知识回顾——泰勒级数第六页，共69页。3.2调谐信号分析二、对调谐信号的响应对于线性移不变系统，若输入调谐信号即则系统响应为若输入调谐信号即则系统响应为第七页，共69页。3.2调谐信号分析输入信号和输出信号存在以下关系因此有从而有即所以有第八页，共69页。3.2调谐信号分析三、系统传递函数1.传递函数的形式(极坐标形式)2.线性移不变系统对余弦函数的输出若输入一余弦信号，且令其为某调谐信号的实部，即则由于系统对调谐输入信号的响应为第九页，共69页。3.2调谐信号分析因此，系统的实际输出为综上所述，线性移不变系统具有以下性质：（1）调谐输入产生同频率的调谐输出；（2）系统的传递函数是一个仅依赖于频率的复函数，它包含了系统的全部特征信息；（3）传递函数对调谐输入信号仅产生幅值的缩放和相位的平移。

第十页，共69页。3.3卷积与滤波一、连续卷积

根据数字信号处理理论，卷积的定义为其性质如下：交换率u*h=h*u结合率(u*h)*y=u*(h*y)分配率u*(h+y)=u*h+u*y交换率第十一页，共69页。3.3卷积与滤波卷积积分的图解法步骤：（1）变量替换：将函数、的自由变量由t变换成τ；（2）反折：将函数以纵轴为轴线反折，得到对于纵轴的镜像;（3）平移：将函数沿正向τ轴平移时间t，得到函数；（4）相乘求积分：将反折并平移后的函数乘以，并求积分值;（5）重复步骤（3）、（4），直到平移时间t覆盖了整个时间轴-∞<t<∞.第十二页，共69页。3.3卷积与滤波例：求下图所示的f1(t)与f2(t)的卷积积分F(t)2-2)(1tft10)(2tf021t(a)(b)步骤1第十三页，共69页。3.3卷积与滤波步骤2步骤3、4两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0即第十四页，共69页。3.3卷积与滤波步骤5第十五页，共69页。3.3卷积与滤波步骤5续第十六页，共69页。3.3卷积与滤波步骤5续第十七页，共69页。3.3卷积与滤波两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0即步骤5续第十八页，共69页。3.3卷积与滤波最终结果第十九页，共69页。单位冲激信号的狄拉克(Dirac)定义从下面三点来理解冲激信号(1)除了之外取值处处为零；3.3卷积与滤波

知识拓展——冲激信号(3)在包含出现的位置的任意区间范围内面积为1。(2)在处为无穷大；第二十页，共69页。冲激函数的性质（1）抽样性（2）奇偶性（3）卷积性质3.3卷积与滤波

知识拓展——冲激信号第二十一页，共69页。3.3卷积与滤波卷积运算的性质——与冲激信号的卷积

第二十二页，共69页。3.3卷积与滤波二、离散卷积卷积和序列y(i)的长度为第二十三页，共69页。3.3卷积与滤波三、卷积与滤波数学上的卷积运算在信号处理和图像处理学科上通常又称为滤波。线性移不变系统输入和输出之间的关系，除了可以用传递函数来描述之外，还可以采用卷积的方法来表示。即线性移不变系统的输出可通过输入信号与代表了系统特性的冲激响应函数h(t)的卷积得到,即第二十四页，共69页。

其中h(t)与系统的冲激响应一致，因此称为冲激响应函数，即当输入为单位冲激函数时3.3卷积与滤波第二十五页，共69页。一、相关函数的定义

任意两个信号的相关函数定义：

相关函数是信号之间相似性的一种量度。1.自相关函数若f(t)=h(t),则2.互相关函数若f(t)≠h(t),则而3.4相关函数第二十六页，共69页。二、相关与卷积的关系数学上可以证明，相关本质上是一个信号反折后的卷积3.4相关函数第二十七页，共69页。3.5二维系统及矩阵运算一、二维线性系统

若该系统输入输出满足以下特性

则称该二维系统为线性系统。第二十八页，共69页。3.5二维系统及矩阵运算二、二维位置不变线性系统对于任意一个二维系统，若给定输入f(x，y)，产生输出g(x，y)即：将输入信号自变量x和y分别平移x0和y0，若满足以下条件则称为二维位置不变线性系统第二十九页，共69页。3.5二维系统及矩阵运算二维位置不变线性系统的输出对于二维连续系统对于二维离散系统第三十页，共69页。3.5二维系统及矩阵运算

复习——方向导数与梯度第三十一页，共69页。一、方向导数定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l

的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:记作

3.5二维系统及矩阵运算

复习——方向导数与梯度第三十二页，共69页。定理:则函数在该点沿任意方向

l

的方向导数存在,且有机动目录上页下页返回结束即x轴和y轴到方向l的转角3.5二维系统及矩阵运算

复习——方向导数与梯度第三十三页，共69页。3.5二维系统及矩阵运算三、二维系统的梯度算子1.连续系统梯度算子对于连续系统，在坐标位置(x,y)处的梯度向量为：

可写为：由于梯度是向量，因此其幅值为梯度的方向为：

梯度的方向是f（x，y）变化最快的方向第三十四页，共69页。2.离散系统梯度算子在数字图像处理中，罗伯特算子、索贝尔算子、普瑞维特等各种梯度算子均以差分形式表示。3.5二维系统及矩阵运算第三十五页，共69页。3.5二维系统及矩阵运算梯度的幅值为：为避免平方根运算，可以采用梯度近似值：①②离散系统梯度幅值与近似值关系第三十六页，共69页。3.5二维系统及矩阵运算矩阵基础知识回顾1.逆矩阵Aˉ：AB=BA=E注：只有方阵才具有逆矩阵计算方法：其中为矩阵A的伴随阵示例：求逆矩阵第三十七页，共69页。3.5二维系统及矩阵运算矩阵基础知识回顾2.矩阵的转置：定义：将矩阵的行列互换所得到的矩阵。示例：第三十八页，共69页。3.5二维系统及矩阵运算3.特征向量：

定义：设A是n阶方阵，若存在数λ和n维非零列向量x，使Ax=λx成立，则称λ为方阵A的特征值，非零列向量x称为方阵A的对应于特征值λ的特征向量。Ax=λx特征向量方程：（A-λE）x=0特征方程：F（λ）=|A-λE|=0第三十九页，共69页。3.5二维系统及矩阵运算4.矩阵的迹：定义：设有n阶矩阵A，那么矩阵的迹就等于A的特征值的总和，也即A矩阵的主对角线元素的总和。示例：求特征值和特征向量特征值：-1，2，2；矩阵的迹为3第四十页，共69页。3.5二维系统及矩阵运算续上例当特征值为-1时，解方程（A+E）x=0，由得基础解系得基础解系当特征值为2时，解方程（A-2E）x=0，由特征向量kp1特征向量k1p2+k2p3第四十一页，共69页。3.5二维系统及矩阵运算MATLAB中的矩阵运算1.定义矩阵例：>>A=[123;456;789]2.矩阵A的逆：inv（A）3.矩阵的转置：（A’）4.矩阵的迹：trace(A)5.矩阵的特征值与特征向量：eig（A）①.E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E；②.[V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量；6.方阵的行列式det（A）第四十二页，共69页。3.6灰度直方图一、直方图的定义与性质1.直方图的定义灰度直方图是灰度级的函数，描述的是图像中该灰度级的像素个数。即：横坐标表示灰度级，纵坐标表示图像中该灰度级出现的个数。1234565456214123456643221166466345666146623136466灰度直方图第四十三页，共69页。另一种定义方式图示中，有一条灰度级为D1的轮廓线，在更高的灰度级D2处还画有第二条轮廓线。A1表示第一条轮廓线所包围区域的面积，同样，A2表示第二条轮廓线所包围的区域的面积。3.6灰度直方图第四十四页，共69页。在一幅连续图像中，将具有灰度级D的所有轮廓线所包围的面积，称为灰度级D的阈值面积函数，用A(D)表示，则直方图可定义为：对于离散函数，固定△D为1，则上述定义变为：

H(D)=A(D)-A(D+1)

3.6灰度直方图)()()()(lim0DAdDdDDDADADHD-=DD+-=®D第四十五页，共69页。设r代表图像中像素灰度级，作归一化处理后，r将被限定在［0,1］之内。在灰度级中，r=0代表黑，r=1代表白。对于一幅给定的图像来说，每一个像素取得［0,1］区间内的灰度级是随机的，即r是随机变量。假定对每一瞬间，它们是连续的随机变量，则可以用概率密度函数pr(r)来表示原始图像的灰度分布。若横轴代表灰度级r，纵轴代表灰度级的概率密度函数pr(r)，这样就可以针对一幅图像在该坐标系中作出一条曲线。这条曲线在概率论中就是概率密度曲线，如图所示。图像灰度分布概率密度函数第四十六页，共69页。直方图表明每一个灰度有多少个象素3.6灰度直方图第四十七页，共69页。第四十八页，共69页。3.6灰度直方图四种基本图像类型图像及其灰度直方图(暗、亮、低对比度、高对比度)第四十九页，共69页。3.6灰度直方图四种基本图像类型图像及其灰度直方图(暗、亮、低对比度、高对比度)第五十页，共69页。2.直方图的性质性质一直方图是一幅图像中各像素灰度值出现次数（或频数）的统计结果，它只反映该图像中不同灰度值出现的次数（或频数），而未反映某一灰度值像素所在位置。3.6灰度直方图第五十一页，共69页。空间信息丢失3.6灰度直方图第五十二页，共69页。性质二

任一幅图像，都能唯一地确定出一幅与它对应的直方图，但不同的图像，可能有相同的直方图。也就是说，图像与直方图之间是多对一的映射关系。3.6灰度直方图第五十三页，共69页。3.6灰度直方图性质三若某一幅图像由若干子图像区域构成，那么各子区域直方图之和就等于原图像的直方图。第五十四页，共69页。3.6灰度直方图3.直方图的作用1）用于判断图像量化是否恰当直方图给出了一个简单可见的指示，用来判断一幅图象是否合理的利用了全部被允许的灰度级范围。若图像亮度具有超出数字化器所能量化的范围，则这些灰度级将被置为0或255.。第五十五页，共69页。3.6灰度直方图第五十六页，共69页。较暗图象的直方图

P(rk)

rk3.6灰度直方图第五十七页，共69页。较亮图象的直方图

P(rk)

rk3.6灰度直方图第五十八页，共69页。对比度较低图象的直方图P(rk)

rk3.6灰度直方图第五十九页，共69页。对比度较高图象的直方图

P(rk)

rk3.6灰度直方图第六十页，共69页。直方图的作用2）边界阈值选取