空间向量知识点归纳总结(经典)

(完满word版)空间向量知识点概括总结(经典)(完满word版)空间向量知识点概括总结(经典)(完满word版)空间向量知识点概括总结(经典)空间向量与立体几何知识点概括总结一．知识要点。空间向量的见解：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量拥有平移不变性空间向量的运算。定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘运算以下（如图）。OBOAABab;BAOAOBab;OPa(R)运算律：⑴加法互换律：abba⑵加法结合律：(ab)ca(bc)⑶数乘分派律：(ab)ab运算法例：三角形法例、平行四边形法例、平行六面体法例共线向量。（1）若是表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a//b。（≠），a//b存在实数λ，使a＝λ。（2）共线向量定理：空间随意两个向量a、b0bb（3）三点共线：A、B、C三点共线<=>ABAC<=>OCxOAyOB(其中xy1)a（4）与a共线的单位向量为a共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间随意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：若是两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数x,y使pxayb。（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=>APxAByAC<=>OPxOAyOBzOC(其中xyz1)15.空间向量基本定理：若是三个向量a,b,c不共面，那么对空间任向来量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使pxaybzc。若三向量ab,,c不共面，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间随意三个不共面的向量都能够组成空间的一个基底。推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使OPxOAyOBzOC。6.空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OAxiyizk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。注：①点A（x,y,z）对于x轴的的对称点为(x,-y,-z),对于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点对于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{i,j,k}表示。空间中任向来量axiyjzk=（x,y,z）（3）空间向量的直角坐标运算律：①若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，则ab(a1b1,a2b2,a3b3)，ab(a1b1,a2b2,a3b3)，a(a1,a2,a3)(R)，aba1b1a2b2a3b3，a//ba1b1,a2b2,a3b3(R)，aba1b1a2b2a3b30。②若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB(x2x1,y2y1,z2z1)。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。③定比分点公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，APPB，则点P坐标为2(x1x2,y1y2,z1z2)。推导：设P（x,y,z）则111(xx1,yy1,zz1)(x2x,y2y,z2z),显然，当P为AB中点时，P(x1x2,y12y2,z1z2)22④ABC中，（x,y,z）,B(x,y,z),C(x,y,z)，三角形重心P坐标A111222333为P(x1x2x3,y1y2y3,z1z2z3)322⑤ΔABC的五心：内心P：内切圆的圆心，角均分线的交点。AP(ABAC)（单位向量）ABAC外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PAPBPC垂心P：高的交点：PAPBPAPCPBPC（移项，内积为0，则垂直）重心P：中线的交点，三均分点（中位线比）AP1(ABAC)3中心：正三角形的所有意的合一。（4）模长公式：若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，则|a|aaa2a2a2，|b|bbb12b22b32123（5）夹角公式：cosababa1b1a2b2a3b32。|a||b|a122222a2a3b1b2b3ABC中①ABAC0<=>A为锐角②ABAC0<=>A为钝角，钝角（6）两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则|AB|2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2，AB或dA,B(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；若a,b，则称a与b互相垂直，记作：ab。23（2）向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|。（3）向量的数量积：已知向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作ab，即ab|a||b|cosa,b。（4）空间向量数量积的性质：①ae|a|cosa,e。②abab0。③|a|2aa。（5）空间向量数量积运算律：①(a)b(ab)a(b)。②abba（互换律）。a(bc)abac（分派律）。④不知足乘法结合率：(ab)ca(bc)二．空间向量与立体几何1．线线平行两线的方向向量平行1-1线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2面面平行两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1线面垂直线与面的法向量平行2-2面面垂直两面的法向量垂直3线线夹角（共面与异面）[0O,90O]两线的方向向量n1,n2的夹角或夹角的补角，coscosn1,n23-1线面夹角[0O,90O]：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.sincosAP,n3-2面面夹角（二面角）[0O,180O]：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n1,n2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.coscosn1,n24．点面距离h：求点Px0,y0到平面的距离：在平面上去一点Qx,y，得向量PQ；;4AB,AC计算平面的法向量n;.h

PQnn4-1线面距离（线面平行）：转变为点面距离4-2面面距离（面面平行）：转变为点面距离【典型例题】1．基本运算与基本知识（）例1.已知平行六面体ABCD－ABCD，化简以下向量表达式，标出化简结果的向量。ABBC；⑵ABADAA；⑶ABAD1CC；⑷1(ABADAA)。23MG例2.对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问知足向量式：OPxOAyOBzOC（其中xyz1）的四点P,A,B,C可否共面？。。。。。例3已知空间三点A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5）。⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；⑵若向量a分别与向量AB,AC垂直，且|a|＝3，求向量a的坐标。2．基底法（怎样找，转变为基底运算）3．坐标法（怎样成立空间直角坐标系，找坐标）4．几何法5编号03晚自习测试；17，18题例4.如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。OACB说明：由图形知向量的夹角易出错，如OA,AC135易错写成OA,AC45，切记！例5.长方体ABCDABCD中，ABBC4，E为AC与BD的交点，F为BC与BC的1111111111交点，又AFBE，求长方体的高BB1。【模拟试题】已知空间四边形ABCD，连接AC,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，化简以下各表达式，并标出化简结果向量：（1）ABBCCD；6（2）AB1(BDBC)；（3）AG1(ABAC)。22已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量。OEkOA,OFkOB,OGkOC,OHkOD。（1）求证：四点E,F,G,H共面；（2）平面AC//平面EG。3.如图正方体ABCDA1B1C1D1中，B1E1D1F11A1B1，求BE1与DF1所成角的余弦。4已知平行六面体ABCDABCD中，AB4,AD3,AA5,BAD90，BAADAA60，求AC的长。7[参照答案]解：如图，（1）ABBCCDACCDAD；（2）AB1(BDBC)AB1BC1BD。222ABBMMGAG；（3）AG1(ABAC)AGAMMG。22.解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD，∵EGOGOE，kOCkOAk(OCOA)kACk(ABAD)k(OBOAODOA)OFOEOHOEEFEHE,F,G,H共面；（2）解：∵EFOFOEk(OBOA)kAB，又∵EGkAC，EF//AB,EG//AC。所以，平面AC//平面EG。3.解：没关系设正方体棱长为1，成立空间直角坐标系Oxyz，1，D(0,0,0)，11,1)，则B(1,1,0)，E(1,3,1)F(0,1414∴BE1，DF1,1)，(0,,1)(0,44∴BE1DF117，4BE1DF100(11)1115。441681515cosBE1,DF116。171717444.分析：⑴AB(2,1,3),AC(1,3,2),ABAC1cosBAC2|AB||AC|∴∠BA