普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及全国1卷

2017年一般高等学校招生全国一致考试理科数学试题及答案-全国1卷2017年一般高等学校招生全国一致考试理科数学试题及答案-全国1卷2017年一般高等学校招生全国一致考试理科数学试题及答案-全国1卷绝密★启用前2017年一般高等学校招生全国一致考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必然自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷种类（B）填涂在答题卡相应地址上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案。答案不能够答在试卷上。3．非选择题必定用黑色字迹的钢笔或署名笔作答，答案必定写在答题卡各题目指定地区内相应地址上；如需变动，先划掉原来的答案，尔后再写上新答案；严禁使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必定保证答题卡的齐整。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知会合

A

x|x

1，B

{x|3x

1}

，则A．AIB

{x|x

0}

B．AUB

RC．AUB

{x|x

1}

D．AIB2．如图，正方形

ABCD内的图形来自中国古代的太极图

.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分对于正方形的中心成中心对称

.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．

1

B．4

8C．

1

D．2

43．设有下面四个命题p1：若复数

z知足

1

R

，则

z

R；

p2：若复数

z知足

z2

R

，则

z

R；zp3：若复数

z1,z2知足

z1z2

R

，则

z1

z2

；

p4：若复数

z

R，则

z

R.其中的真命题为A．

p1,p3

B．

p1,p4

C．

p2,p3

D．

p2,p44．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4a524，S648，则{an}的公差为A．1B．2C．4D．85．函数f(x)在(,)单一递减，且为奇函数．若f(1)1，则知足1f(x2)1的x的取值范围是A．[2,2]B．[1,1]C．[0,4]D．[1,3]6．(11)(1x)6张开式中x2的系数为x2A．15B．20C．30D．357．某多面体的三视图以以下图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10B．12C．14D．168．右侧程序框图是为了求出知足3n2n1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，能够分别填入A．B．C．D．

A1000nn1和A1000和nn21000和nn1A1000和nn229．已知曲线C1:ycosx,C2:ysin(2x)，则下3面结论正确的选项是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把获取的曲线向右平移π个6单位长度，获取曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把获取的曲线向左平移π12个单位长度，获取曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把获取的曲线向右平移π个26单位长度，获取曲线C2D．把C1上各点的横坐短到原来的1倍，坐不，再把获取的曲向左平移π212个位度，获取曲C210．已知F抛物C:y24x的焦点，F作两条互相垂直的直l1,l2，直l1与C交于A、B两点，直l2与C交于D、E两点，|AB|+|DE|的最小A．16B．14C．12D．1011．xyz正数，且2x3y5z，A．2x3y5zB．C．3y5z2xD．

5z2x3y3y2x5z12．几位大学生响国家的呼吁，开了一款用件。激大家学数学的趣，他推出了“解数学取件激活”的活.款件的激活下面数学的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一20，接下来的两是20,21，再接下来的三是20,21,22，依此推。求足以下条件的最小整数N:N100且数列的前N和2的整数。那么款件的激活是A．440B．330C．220D．110二、填空：本共4小，每小5分，共20分。13．已知向量a，b的角60°，|a|=2，|b|=1，|a+2b|=.x2y114．x,y足束条件2xy1，z3x2y的最小.xy0x2y21(a0,b0)的右点A，以A心，b半径做A，15．已知双曲C:2b2aA与双曲C的一条近交于、两点。若MAN60o，C的离心率MN________。16．如，形片的心O，半径5cm，片上的等三角形ABC的中心O。D、E、FO上的点，△DBC，△ECA，△FAB分是以BC，CA，AB底的等腰三角形。沿虚剪开后，分以BC，CA，AB折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，获取三棱。当△ABC的化，所得三棱体（位：cm3）的最大_______。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必定作答。第22、23题为选考题，考生依照要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

a23sinA1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC1,a3，求△ABC的周长.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90o.1）证明：平面PAB⊥平面PAD；2）若PA=PD=AB=DC，APD90o，求二面角A-PB-C的余弦值.19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，查验员每日从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．依照长远生产经验，能够认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸遵照正态散布N(,2)．（1）假定生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学希望；（2）一天内抽检零件中，若是出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这日的生产过程可能出现了异样情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是查验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：116116x)2116xi216x2)2经计算得xxi9.97，s(xi(，16i116i116i1其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2,,16．用样本平均数x作为的估计值?，用样本标准差s作为的估计值?，利用估计值判断可否需对当天的生产过程进行检查？剔除(?3??3?,)之外的数据，用剩下的数据估计和（精准到0.01）．附：若随机变量Z遵照正态散布N(,2)，则P(3Z3)0.9974，0.9974160.9592，0.09．（12分）已知椭圆：x2y2=11233），4（1，Ca22（a>b>0），四点P（1,1），P（0,1），P（–1，Pb2）中恰有三点在椭圆C上.21）求C的方程；2）设直线l不经过P2点且与C订交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.（12分）已知函数f(x)ae2x(a2)exx1）讨论f(x)的单一性；2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。若是多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x3cos,（θ为参数），直线l的参数方ysin,xa4t,程为1（t为参数）.yt,（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)x2ax4,g(x)|x1||x1|1）当a1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.2017年一般高等学校招生全国一致考试理科数学参照答案一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A2．B3．B4．C5．D6．C7．B8．D9．D10．A11．D12．A二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。13．2314．-515．2316．415cm33三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必定作答。第22、23题为选考题，考生依照要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a23sinA1）求sinBsinC;2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.解：（1）由题设得1a21aacsinB3sinA，即csinB3sinA22由正弦定理得1sinCsinBsinA223sinA故sinBsinC。3（2）由题设及（1）得cosBcosCsinBsinC1，即cos(B12C)22因此B，故AC33由题设得1bcsinAa2，即bc823sinA由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9，得bc33ABC的周长为333（12分）解：（1）由已知BAPCDP90o，得ABAP，CDPD由于AB//CD，故ABPD，进而AB平面PADAB平面PAB，因此平面PAB平面PAD（2）在平面PAD内作PFAD，垂足为F由（1）可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCDuuuruuur以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，成立以以下图的空间直角坐标系Fxyz由（1）及已知可得2,0,0),P(0,0,2),B(22A(2,1,0),C(,1,0)222uuur(22uuur(2,0,0),uuur2,0,2uuur因此PC,1,2),CBPA(2),AB(0,1,0)22设n(x,y,z)是平面PCB的法向量，则uuur2x2znPC0,y0,uuur即22nCB0y0可取n(0,1,2)设m(x,y,z)是平面PAB的法向量，则uuur2x2zmPA0,0,uuur即22mAB0y0可取m(1,0,1)则cosn,mnm3|n||m|3因此二面角A3PBC的余弦值为319．（12分）解：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为0.9974，进而零件的尺寸在(3,3)之外的概率为，故X~B(16,0.0026)，因此P(X1)1P(X16X的数学希望为（2）（i）若是生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小。因此一旦发生这种情况，就有原因认为这条生产线在这日的生产过程可能出现了异样情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。（ii）由x9.97,s0.212，得的估计值为?9.97,的估计值为?0.212，由样本数据能够看出有一个零件的尺寸在(?3?,?3?)之外，因此需对当天的生产过程进行检查。剔除(?3?,?3?)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115因此的估计值为16xi22169.972i1剔除(?3?,?3?)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为2215因此的估计值为（12分）解：（1）由于P3,P4两点对于y轴对称，故由题设知C经过P3,P4两点又由1113知，C不经过点P1，因此点P2在C上a2b2a24b211,a24因此b2解得13b211a24b2故C的方程为x2y214（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2若是l与x轴垂直，设l:xt，由题设知t0，且|t|2，可得A,B的坐标分别为(t,4t2),(t,4t2)22则k1k24t224t221，得t2，不符合题设2t2t进而可设l:ykxm(m1)，将ykxm代入x2y21得4(4k21)x28kmx4m240由题设可知16(4k2m21)0设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x28km1,x1x24m244k24k21而k1y11y21k2x2x1kx1m1kx2m1x1x22kx1x2(m1)(x1x2)x1x2由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0即(2k1)4m24(m1)8km04k2114k2解得km12当且仅当m1时，0，于是l:ym1xm，2因此l过定点(2,1)21.（12分）解：（1）f(x)的定义域为(,)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)（i）若a0，则f(x)0，因此f(x)在(,)单一递减（ii）若a0，则由f(x)0的xlna当x(,lna)当x(lna,)

时，f(x)0；时，f(x)0因此f(x)在(,lna)单一递减，在(lna,)单一递加。（2）（i）若a0，由（1）知，f(x)至多有一个零点（ii）若a0，由（1）知，当xlna时，f(x)获得最小值，最小值为f(lna)11lnaa①当a1时，由于f(lna)0，故f(x)只有一个零点；②当a(1,)时，由于11lna0，即f(lna)0，故f(x)没有零a点；③当a(0,1)1lna0，即f(lna)0又时，1a又f(2)ae4(a2