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文档简介

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐二阶常系数齐次线性微分方程求解方法第六节二阶常系数齐次线性微分方程

教学目的：使同学把握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数

非齐次线性微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程：

一、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程方程

ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数

假如y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么yC1y1C2y2就是它的通解

我们看看能否适当选取r使y

erx满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将yerx代入方程

y

pyqy0得

(r2prq)erx0

由此可见只要r满足代数方程r

2prq0函数yerx就是微分方程的解特征方程方程r2prq0叫做微分方程y

pyqy0的特征方程特征方程的两个根r1、r2可用公式

2

422,1qppr-±+-=求出

特征方程的根与通解的关系

(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时函数xrey11=、xrey22=是方程的两个线性无关的解

这是由于

函数xrey11=、xrey22=是方程的解又xrrx

rxreeeyy)(212121-==不是常数因此方程的通解为

xrxreCeCy2121+=

(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时函数xrey11=、xrxey12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解

这是由于xrey11=是方程的解又

xrxrxrxrxrxrqxeexrpexrrxeqxepxe111111)1()2()()()(1211++++=+'+''

0)()2(121111

=++++=qprrxeprexrxr所以xrxey12=也是方程的解且xexeyyx

rxr==1112不是常数因此方程的通解为

xrxrxeCeCy1121+=

(3)特征方程有一对共轭复根r1,2i时函数ye(

i)x、ye(i)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解函数yexcos

x、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解

函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解而由欧拉公式得y1e(

i)xex(cosxisinx)y2e(i)xex(cosxisinx)

y1y22excosx)(21cos21yyxex+=βα

y1y2

2iexsinx)(21sin21yyixex-=βα故excosx、y2exsinx也是方程解

可以验证y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解因此方程的通解为

yex(C1cosxC2sinx)

求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为第一步写出微分方程的特征方程

r2prq0

其次

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