《有限差分法基础》第3章 有限差分方法基础

第3章有限差分方法基础廖敦明材料学院华铸软件中心Tel87558134Email:liaodunming@《有限差分法基础》讲义主要内容1、差分原理及逼近误差2、差分方程，截断误差和相容性3、收敛性与稳定性4、Lax等价定理1.微分方程？2.常微分方程？3.偏微分方程？4.导数？5.微分？6.差分？7.差商？几个概念整理ppt1.微分方程？几个概念整理pptFDM3有限差分法（FDM），又称泰勒展开差分法，最早用于传热的计算方法。该方法具有差分公式导出简单和计算成本低等优点，目前已成为应用最为广泛的数值分析方法之一，绝大部分流动场和温度场数值模拟计算均采用此方法。

FDM在缩孔、缩松预测，组织形态预测及流动场模拟等方面都表现出很大优势及良好的前景。在铸造领域中，FDM经过三十年的发展，已在温度场、流场模拟、缺陷预测等方面取得了丰硕成果，涌现出许多商品化软件，如德国的MagmaSoft，瑞典的NovaCast，美国的FLOW-3D，芬兰的CASTCAE以及国内清华大学研制的FT-Star，华中科技大学的华铸CAE等。概述-有限差分法应用整理ppt1、差分原理设有x的解析函数y=f(x)，从微分学知道函数y对x的导数为：

是函数对自变量的导数，又称微商；

、分别称为函数及自变量的差分，为函数对自变量的差商。

第一节差分原理及逼近误差where，isdensity（kg/m3）;isspecificheat（J/kg·K）；T

istemperature（K）;t

istime（s）;isthermalconductivity（W/m·K）;islatentheat.三维温度场控制方程傅里叶热传导方程（Fourierequation）：7整理ppt差分离散化：根据微分定义可知， 式中，T—当前时刻温度；

—下一时刻温度；

—两时刻间的间隔。

整理ppt一阶差分：（图示）向前差分

（1-2）向后差分（1-3）中心差分（1-4）〉0

上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一阶差分，所得到的称为二阶差分，记为。以向前差分为例，有

（1-5）二阶差分：2、请分别写出二阶向前、向后、中心差分格式：（1）二阶差分向前差分？（2）二阶差分向后差分？（3）二阶中心差分？课堂作业：1、请写出一阶差分格式12二阶差分向后差分二阶中心差分二阶差分向前差分

依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如n阶向前差分为：

（1-6）

函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。

一阶向前差商为：

一阶向后差商为：

（1-7）（1-8）差商：一阶中心差商为：或（1-9）（1-10）以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。如一阶向前差商为（1-12）（1-13）2、不同的差分格式a)、泰勒级数展开将在点按泰勒级数展开，则有：导数的差分表达式不是唯一的。作业：用taylor级数展开，推导一阶向前差商，一阶向后差商。整理ppt第三层第二层第一层第一层网格图及其标号

整理ppt整理pptb)、差分格式的选取

整理ppt混合二阶导中心差分整理ppt端点差分公式中心差分公式是以相隔2h的两结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数值。有时也需要用到另一种形式的差分公式，它以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，可称为端点导数公式。整理pptX-Y平面有限差分离散图整理ppt得出关于结点0，1，9的端点差分公式：在上图中的结点1,,即：在上图中的结点9，，即：

按泰勒级数展开得出：

整理ppt再从式（1）和式（2）中消去

即得一阶端点导数公式：同理，得出关于结点0、3、11的端点导数公式：

整理pptY方向的端点差分公式整理ppt中心差分公式与端点差分公式的比较中心差分公式与端点差分公式相比，精度较高，因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映结点一边的函数变化。(参见下页)据此，我们总是尽可能应用中心差分公式，而只有在无法应用中心差分公式时，才不得不用端点差分公式。整理pptX-Y平面有限差分离散图整理ppt求解偏微分方程的有限差分方法考虑一个典型的二维二阶稳态问题，寻找函数u(x,y):Ω→R，使得：整理ppt整理ppt节点(xi,yi)处的真实解u(xi,yi)的近似值记为ui,j(有限差分)，0≤i＜Nx且0≤j＜Ny，如图所示。有限差分方法的基本思想是用几个临近点处的函数值近似一元函数Φ(x)在点x处的导数∂𝜙∕∂𝑥：其中h为一个很小的正数。将式39代入式37的一阶导数项，得：整理ppt代入二阶导数项得：其中，记号ai,j表示任一系统函数a(x,y)在点(xi,yi)处的值a(xi,yi),ai+1/2,j表示a(xi+1/2,j,yj)，且xi+1/2,j=xi+hx/2。整理ppt这样方程（37）在任一内部结点(xi,yj)处可以用一个有限差分公式近似：整理ppt在每个边界节点处，解由Dirichlet条件（38）决定：整理ppt第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（1/5）

由导数（微商）和差商的定义知道，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可由差商得到导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。2．逼近误差第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（1/5）现将函数在x的邻域作Taylor展开：（1-14）（1-15）符号O（）表示与（）中的量有相同量级的量。把中的指数n作为精度的阶数。这里n=1，故一阶向前差商具有一阶精度。

第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（2/5）

一阶向后差商也具有一阶精度。（1-16）第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（3/5）将与的Taylor展开式

可见一阶中心差商具有二阶精度。（1-17）相减可得第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（4/9）将与的Taylor展开式相加可得

这说明二阶中心差商的精度也为二阶

（1-18）第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（5/5）设有函数f(x)，自变量x的增量为，若取

对应的函数值为，则f(x)在xi处的n阶差分可表达为

式中cj为给定系数，J1和J2是两个正整数。

（1-19）（1-20）当J1=0时，称为向前差分；当J2=0时，称为向后差分；当J1=J2且时，称为中心差分。在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图1-1中的、，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。Ox

图1-1非均匀步长差分3．非均匀步长一阶向后差商

一阶中心差商

（1-22）（1-23）第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程（1/3）从上节所述可知，差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。现以对流方程为例，列出对应的差分方程。（2-1）

图2-1

差分网格第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）若时间导数用一阶向前差商近似代替，即

空间导数用一阶中心差商近似代替，即

则在点的对流方程就可近似地写作

（2-2）（2-3）（2-4）第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程（3/3）第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的逼近误差为,用空间中心差商代替空间导数时的逼近误差为，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是

这也可由Taylor展开得到。因为（2-5）（2-6）

（2-6）

第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（2/6）一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题。对流方程的初值问题为

这里为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：

初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程定解问题的差分格式。（2-7）（2-8）第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（3/6）FTCS格式（2-9）FTFS格式（2-10）（2-11）FTBS格式第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（5/6）

(a)FTCS(b)FTFS(c)FTBS图2-2差分格式

第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（6/6）

FTCS格式的截断误差为

FTFS和FTBS格式的截断误差为（2-12）（2-13）3种格式对都有一阶精度。

第二节差分方程、截断误差和相容性/相容性（1/3）一般说来，若微分方程为

其中D是微分算子，f是已知函数，而对应的差分方程为其中是差分算子，则截断误差为这里为定义域上某一足够光滑的函数，当然也可以取微分方程的解。（2-14）

（2-15）（2-16）如果当、时，差分方程的截断误差的某种范数也趋近于零，即则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程的，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容（一致）。如果当、时，截断误差的范数不趋于零，则称为不相容（不一致），这样的差分方程不能用来逼近微分方程。（2-17）第二节差分方程、截断误差和相容性/相容性（2/3）若微分问题的定解条件为

其中B是微分算子，g是已知函数，而对应的差分问题的定解条件为其中是差分算子，则截断误差为（2-18）（2-19）（2-20）

所谓相容性，是指当自变量的步长趋于零时，差分格式与微分问题的截断误差的范数是否趋于零，从而可看出是否能用此差分格式来逼近微分问题。

第二节差分方程、截断误差和相容性/相容性（3/3）只有方程相容，定解条件也相容，即和

整个问题才相容。

（2-21）第三节收敛性与稳定性/收敛性（1/6）

所谓相容性，是指当自变量的步长趋于零时，差分格式与微分问题的截断误差的范数是否趋于零，从而可看出是否能用此差分格式来逼近微分问题。然而，方程（无论是微分方程或是差分方程）是物理问题的数学表达形式，其目的是为了借助数学的手段来求问题的解。因此，除了必须要求差分格式能逼近微分方程和定解条件（表明这两种数学表达方法在形式上是一致的）外，还进一步要求差分格式的解（数值解）与微分方程定解问题的解（精确解）是一致的（表明这两种数学表达方法的最终结果是一致的）。即当步长趋于零时，要求差分格式的解趋于微分方程定解问题的解。我们称这种是否趋于微分方程定解问题的解的情况为差分格式的收敛性。第三节收敛性与稳定性/收敛性（1/6）更明确地说，对差分网格上的任意结点，也是微分问题定解区域上的一固定点，设差分格式在此点的解为,相应的微分问题的解为，二者之差为称为离散化误差。如果当、时，离散化误差的某种范数趋近于零，即

则说明此差分格式是收敛的，即此差分格式的解收敛于相应微分问题的解，否则不收敛。与相容性类似，收敛又分为有条件收敛和无条件收敛。（3-1）、（3-2）第三节收敛性与稳定性/收敛性（2/6）第三节收敛性与稳定性/收敛性（3/6）相容性不一定能保证收敛性，那么对于一定的差分格式，其解能否收敛到相应微分问题的解？答案是差分格式的解收敛于微分问题的解是可能的。至于某给定格式是否收敛，则要按具体问题予以证明。下面以一个差分格式为例，讨论其收敛性：微分问题

的FTBS格式为

在某结点（xi,tn）微分问题的解为，差分格式的解为，则离散化误差为

（3-6）（3-5）（3-4）第三节收敛性与稳定性/收敛性（4/6）按照截断误差的分析知道

以FTBS格式中的第一个方程减去上式得

或写成

若条件和成立，即，则式中表示在第n层所有结点上的最大值。（3-7）（3-8）（3-9）（3-10）第三节收敛性与稳定性/收敛性（5/6）由上式知，对一切i有

故有于是

综合得

（3-11）（3-13）（3-12）（3-14）第三节收敛性与稳定性/收敛性（6/6）由于初始条件给定函数的初值，初始离散化误差。并且是一有限量，因而

可见本问题FTBS格式的离散化误差与截断误差具有相同的量级。最后得到

这样就证明了，当时，本问题的RTBS格式收敛。这种离散化误差的最大绝对值趋于零的收敛情况称为一致收敛。。（3-15）（3-16）此例介绍了一种证明差分格式收敛的方法，同时表明了相容性与收敛性的关系：相容性是收敛性的必要条件，但不一定是充分条件，还可能要求其他条件，如本例就是要求。第三节收敛性与稳定性/稳定性（1/8）首先介绍一下差分格式的依赖区间、决定区域和影响区域。还是以初值问题为例。先看FTCS格式，如图3-1（a）欲计算第二层p点的函数值，必先知道第一层上a、b、c这3点的函数值，故说p点的解依赖于a、b、c这3点的解。而a点的解又依赖于第0层（初值线）上A、d、e的初值，b点的解依赖于d、e、f的初值，c点的解依赖于e、f、B的初值。因此p点的解依赖于初值线AB段上所有结点的初值，故称AB段上所有结点为p点的依赖区间。又，三角形pAB区域内任一结点的依赖区间都包含在AB之内，即该区域内任一结点上的解都由AB段上某些结点的初值所决定，而与AB以外结点的初值无关

，故称此三角形区域为AB区间所决定的区域。这里为方便起见，是以第二层的p点为例的，事实上对任意层的任一结点，都在初始层上有一对应的依赖区间，而初始层的任一区间都有一对应的决定区域。（3-17）(a)FTCS

(b)FTFS

(c)FTBS

图3-1 差分格式的依赖区间第三节收敛性与稳定性/稳定性（2/8）随着时间的推移，一点函数值将影响以后某些结点的解。如图3-2，设p为第n层的某结点，当用FTCS格式计算第n+1层上的结点值时，a、b、c这3点的解必须用到p点的函数值，在第n+2层上则有更多点的解受p点函数值的影响。所有受p点函数值影响的结点总和为p点的影响区域，如图3-2中阴影所示区域。FTCS格式

(b)FTFS格式

(c)FTBS格式图3-2

差分格式的影响区域第三节收敛性与稳定性/稳定性（3/8）例如微分问题

其解为零，即。若用FTBS格式计算，且计算中不产生任何误差，则结果也是零，即由上可知，同一微分问题，当采用不同差分格式时，其依赖区间、决定区域和影响区域可以是不一样的。依赖区间、决定区域和影响区域是由差分格式本身的构造所决定的，并与步长比有关。

（3-18）（3-19）假设在第k层上的第j点，由于计算误差得到。不妨设k=0,j=0,，即相当于FTBS格式写成（3-20）第三节收敛性与稳定性/稳定性（4/8）现分别取和2，列表计算如下：（1）400001161438141163000018383818020000141214001000012120000000010000

-4-3-2-101234ni第三节收敛性与稳定性/稳定性（5/8）（2）n40000000013000000010200000010010000010000000010000

-4-3-2-101234i第三节收敛性与稳定性/稳定性（6/8）（3）n400001-824-321630000-16-1280200001-440010000-120000000010000

-4-3-2-101234这个例子一方面显示了该格式的影响区域，另一方面还显示了当值不同时，计算误差所产生的影响在数值上有很大的不同。当时，所产生的影响在数值上不再扩大；当时，所产生的影响在数值上将越来越大。数值上的差别引出了质的不同，因而出现了稳定性问题。i第三节收敛性与稳定性/稳定性（7/8）差分格式的数值稳定性，早在1928年就由R.Courant、K.O.Friedrichs和H.Lewy等人发现，并提出了关于双曲型方程差分格式稳定性的必要条件（简称CFL条件）。此后在这方面作了不少研究工作。1950年公开发表了vonNeumann提出的稳定性分析法，这是现在比较广泛地用来确定稳定性准则的一种分析方法。在有限差分法的具体运算中，计算误差总是不可避免的，如舍入误差，以及这种误差的传播、积累。然而人们通过大量的实践和理论分析发现，同一问题的各种差分格式在某一定条件下，对误差的敏感程度不一样。例如某种格式在某一定条件下，若计算中某处产生了误差，则这个误差将对以后的计算产生影响。如果这一误差对以后的影响越来越小，或是这个影响保持在某个限度以内，像上面例子中的情况，那么就称这个差分格式在给定的条件下稳定，这个条件就是它的稳定准则。如果误差的影响随着n的增大越来越大，像上面的情况，使计算的结果随着n的增大越来越偏离差分格式的精确解，而毫无实用价值，那么这种情况就是不稳定的。实际表明，有些格式在一定条件下稳定；有些格式在任何情况下都不稳定，称为完全不稳定。有些格式是无条件稳定的，称为完全稳定。

第三节收敛性与稳定性/稳定性（8/8）现在以适当的数学式子给出稳定性定义。为此将差分解表示为连续函数Z(x，t)，则稳定性的一种定义为

这里K是某个有限常数，称为Lipschitz常数，不随、而变。这就是说，当上述不等式成立时，

其中和分别是对应于微分方程和定解条件的差分算子，K1、K2分别是对应于、的Lipschitz常数。若取

则为

在建立了稳定性概念之后，可以进一步判定格式是否稳定，或在什么条件下稳定，因篇幅关系，这里不再详述。（3-21）只要差分问题初始值所含的误差为小量时，此后的解与差分问题的精确解的误差也一定为小量。由于计算误差不仅可以