2020年高考数学冲刺复习知识点精讲等差数列等比数列的证明问题含解析

21122112等数、比列证问一、考情分析等差数列与等比数列的证明是高考热点，一般出现在解答题第一问，等差数列与等比数列的证难度虽然不大，但有一定的技巧性，且对规范性要求较高，解题时要避免会而不对或对而不全．二、经验分享1.等差数列证明方法主要有(1)定义法－a(≥2,∈)为同一{}是等差数列(2)等差中项法：2＝＋(≥2,∈

)成立{a}是差数列；(3)项公式法a＋,为数对任意的正整数n都成{是等差数列前n项和式法证列}的前项＝＋Bn(AB为常)n对任意的正整数n都成{是等差数列；1a－a【点评】证明数列a－a成比数列的关键是利用已知得出1＝.a－an【小试牛刀徽安庆一中、山西省太原五中等五省六校K12联）2018届三学期期末】已知数列

n

，

an1

．1（）证：数列差数列，并求出数列a

；n（）

bn

，，数列

n

项和

2018

．（）（）

，∴

，

241×1－－241241×1－－2412∴，

．二)运等或等中性是等差数列

{}

是等比数列这证明数列

{}

为等差（等比）数列的另一种主要方法．【例2】正数数列

{}{b}n

满足：对任意自然数

成等差数列

成等比数列．证明：数列

{}n

为等差数列．【点评】本题依据条件得到

与

bn

的递推关系通消元代换构造了关于{b}n

的等差数列使题得以解决．通过挖掘

的意义导出递推关系,灵活巧地构造得到中项性,这种处理大大简化了计算．1【小试牛刀】已知等比数{a的公比q＝－1(1)若＝,求数列{a}的前n项和n(2)证明：对任意∈N,,a成差数列．112【解析】(1)由通项公式可得a＝a－＝,解得＝1,再由等比数列求和公式得S＝＝n1－－2＋－.3(2)证明：∵k∈N

,∴2a－＋)＝2aq－

＋q)

＝a＝a22＝a(2－－121·－－－－＝0,∴－(＋)＝∴对任意k∈N,,,成等差数列．三)反法解决数学问题的思维过程,一般是从正面入,即从已知条件出发经一系列的推理和运算,最得到所要求的结论但时会遇到从正面不易入手的情,时可从反面去考虑．如：【例3】设

{b}n

是公比不相等的两等比数,

cnn

．证明数列

{}n

不是等比数列．【点评主要考查等比数列的概念和基本性质和运算能力,对逻辑思维能力有较高要求

{}n不是等比数列,只要特殊项（如

）就可否定．一般地,否定性的命题常用反证法证其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性．【小试牛刀省泰州市2019届高三上学期期末】已知数列｛｝前n项和为Sn，

，且对任意的n∈，n都（）0，，r值；（）列｛｝否是等比数？说明理由；（）r＝时求证：数列｛｝是等差数列。

。【解析）令n＝，得：

，即：化简，得：所以，（）设

，，因为，，解得r＝1.是等比数列，公比为，

，，，且，解得

或

，由

，

＋…＋＝＋…＋＝可得

，所以两式相减，整理得两边同除以，可得

，，

，因为

，所以

，【小试牛刀】已知等比数列a}的比为,记＝＋ann2

＋…＋a,＝·nmnnn

·…·,∈*则下结论一定正确的()mA．数列}为差数公差为B．数列}为比数公比为mC．数列}为比数公比为qmD．数列}为比数公比为qm【答案】【解析】b＝·(1＋＋

b),b＝故数列b}为等比数列公为q选项A,Bc均错误；＝·,c＝(qqm,数列c}为比数列公为qm,D错误故C.五迁运1.已知数列

n

,则“数

列是数

等差数列”的（）A．充分不必要条件．要不充分条件C．充分必要条件．即不充分也不必要条件【答案】2已数列

n

的前项和,“A

“是“数列

n

列的（A．充分不必要条件B．必不充分条件C．充要条件．既充分也不必要条件

【答案】【解析】当

时

不是等比数列；若数列

是等比数列,当

q时,

与

数

列

是

等

比

数

列

矛

盾,

所

以,因此

A

“是“数列

”的必要不充分条,选B.因为对任意N

*

，总存在数n

不项b，，使得tt

，所以对任意的nN

*

都有若q，

，明显.时，有，符合题意，舍去；若有

0

，当

时，，不符合题意，舍去；故.8省城市2018届三学期第一次模拟知数列

n

a1

，

.（）证：数列

是等比数列；（）数列

n

项S.

9南省昆明市第一中学届高三第五次月考】已知数列；（）明：n

n

（）

an

，求数列

n

项.【解析）由

2a1

得：

a1∵

，∴

，从而由

得

，∴

首项，为比的等比数列．n10苏镇江市2018届高三上学期期末】已知数n

项，对任意正整数，存在正数np,qr

使得

p

，

恒成立：数列

n

项和，对任意正整Tn

恒

成立.（）常数

p,q,r

的值；（）明数列

n

列（）若

b21

，记

，是否存在正整数

k

，使得对任意正整数，

Pn

恒成立，若存在，求正整数

k

的最小值，若不存在，请说明理.【解析）∵

①∴

②，

，①②：p又

，即，

，∴，

，n时p

2

；n时

.∵为数又因为，所以数列

n

为首，以2为比的等比数.（）（），因为，所以

，所以

.13南阳市第一中学校届高三第七次考试数列数列且.

项且

，

（）

的值，并证明：

；（）数列

式14明市A片高中联校2018届高三上学期阶段性考试各项为正数的数列

n

a1

，前n项和，是与S的等差中项（nnn（）证：并求；（）

，求

n

项和．

15湖北省部分重点中学2018届高上期第二次联考】设数列

n

的前n项和为S

n

，点在直线

上（）证：数列

n

列并求其通项公式（2）直线

x与数fn

2

的图象交于点，函数n

的图象交于点，记n（其中

O

为坐标原点数

n

项和.【解析）

点

Sn

n

在直线

上，①（）

n

时，

.（ii）当时

②①②