2020年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练

冲刺高考

复习必备年考科学平向》型纳训【型纳题一平向的本理例1给出下列命题：r（）量与向量是共线向量，不平行向量；（）向量

ra

与向量

rb

都是单位向量，则

rra=b

；rr（）AB=DC，

AB,

四点构成平行四边形；（）

rrl,为实数，若la=mb

，则

ra

与

rb

共线．其中错误的命题的序号是．【案【析1错误，因为共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向量）错误，向量有方向和大小两个要素，只有方向相同且长度相等，两个向量才相等。两个单位向量不一定相等，因为它们方向不一定相同误在一条直线上时们不构成平行四边形误的

l=m=0时，

r

与

r

可以共线可以不共线【错】平行向量单位向量的概念理解不透彻容易忽视一些殊情况，若

rrB=DC

，则B、、四点可能在一条直线上，所以不一定能构成平行四边形。

l=m=0

，若

rrla=mb

，则

r

与

r

不一定共线。【维拨平向量线性运算问题的解策略：（）行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（）量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（）几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；

rr④化简结果．r例2已知a(1,2)

,

rr(2,且a∥,x

．【案rr【析根∥b

有yy01

,可120,得x

34【错经错解错在把向量平行的充条件记成了

xx-y2

rr||

y2

，不是

x-y2

rrab?x记为斜相减等于零．

y=0

记为“竖乘相加等于零两个公式是向量运算里经常要用到的，大家要区分并记牢．【维拨1．平面向量的概念辨析题的解方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论（）量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；（）量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；（）量平行与起点的位置无关．题二平向的性算例1在YABCD中，错误的式子是（）rrrrrrA．BDB．

CABBC

D．ABAC【案D．【析根据平行四边形法则知，错误的为B．向量的加法运算中，第一向量的终点和第二个向量的起点相同时，可得第一个向量的起点指向第二个的终点，如ABBCAC在向量的减法运算中，两向rrr量的起点相同，则由第二个向量的终点指向第一个的起点，如ADBD对于选，利用平行四边形法则结合图像可得AB．【错】用向量的加法三角形法则时，两向量必须首尾相接，使用向量的减法三角形法则时，两向量必须起点相同，差向量是减向量的终点指向被减向量的终点。

aaabaaab【维拨．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题化为数量运算．．两个向量相等当且当它们的坐标对应相同．此时注意方程（组）思想的应用．题三平向量数积其用例1已知

为单位向量，当a,e

的夹角为

23

时，a

在

上的投影为（）A．2

B．

C23

D．3【案B．【析a

在e

上的投影为

rrrrcos

rrrrrrr43

,

所以选择B．rrrr【错）对在上投影的概念和公理解不透彻在上投影为

rrr|<ab>

，由于r|a?0,1cos

rra>?1

rrr，所以在上投影可以是正数，也可以是负数，也可以是零．有的同学把r在上投影和射影混淆了，一个线段在另外一个线段上的射影是一个非负数．【维拨．对两向量夹角的理解（）向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．（）向量夹角的范围[，π，特别当两量共线且同向时，其夹角为，线且反向时，其夹角为π．（）利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．2．向量运算与数量运算的区别（）a，∈，·＝，有a＝或＝，ab＝0却不能得出a＝＝．（）a，，∈且a≠0则由ab＝可＝，由ab＝及a却不能推出bc（）若a，，∈则（bc）＝（结合律）成立，但对于向量abc，而ab）c与a（）一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．（）a，∈，ab＝ab，对于向量a，b，却有ab|ab，等号当且仅当a∥b时立rr例2已知向量a,b满：

rr

5rrrrrr与直，且|ab，则a与b的角为．4【案

．

rr【析已abrr故与的角为．

rr5rrrrrrrrar＝为a42a2

]

，【错1）经典错解错在对向量的夹角范围没有记清两个向量的夹角Î]不是，所以本题只有一个答案．

的范围是

[0,p]

，【维拨1．求两非零向量的夹角时要注：（）量的数量积不满足结合律；（）量积大于0说明不共线两向量的夹角为锐角，数量积等于0说两向量的夹角为直角，数量积小于0且向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．当a，b是坐标形式时，求a与b夹角，需求得ab及a，b或得出它们的关．【固练题一平向的本理1．给下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；rr②若A，，D是共的四点，则＝DC是边形为行四边形的充要条件；③若a与b同向，且ab，ab；④，为数，若a＝b，则a与b共．其中假命题的个数为（）A．

B．．D．【案C【析①正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．rrrr②正确．∵AB＝DC，|＝DC且AB∥．又∵，D是共的四点，∴四边形ABCD是行四边形．r反之，若四边形是行四边形，则=DCAB与DC

r方向相同，因此AB＝

．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当＝＝时，a与b以为任意向量，满足a＝b，但与b不定共线．

002．设a为位向量，①若a为面内的某个向量，则a＝aa；若平行，则a＝aa；若a0000a平且a＝，则＝a．述命题中，假命题的个数是（）00A．

B．．D．【案D【析向是既有大小又有方向的量a与aa的模相同，方向不一定相同，故①是假命题；若a与a平，则a与a的向有两情况：一是同向，二是反向，反向a＝－a|a，②③也是假命题．综上000所述，假命题的个数是3．3．已知a，b不线，

r

＝a，

r

＝b，

rOC

＝c，

OD

＝d，

r

＝e，设t∈，果3ac,b，e＝（a＋b否在实数使C，E三在一条直线上？若存，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．【案见析【析解由题设知，d－c＝2b3a，＝e－c＝（－）a＋b，D，三点在一条直线上rr的充要条件是存在实数，使得CE＝，（t－）a＋b＝－a＋kb，整理得（－＋）a＝（k－）b．，因为a，b不线，所以有6解之得＝．56故存在实数＝使，，三点在一条直线上．54．下列说法正确的是ruuurA．量向量是线量，则点

AB,

必在同一条直线上B．个有共同终点的向量，一定是共线向量C长度相等的向量叫做相等向量D．个共同起点而且相等的向量，其终点必相同【案Druuur【析对于，若向量与量CD是线向量，则ABCD或A,B,,D

在同一条直线上，故A错误对B共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，故B错误；对于C，长度相等的向不一定是相等向量，还需要方向相同，故错；对于D相等向量是大小相等向同的向两个有共同起点而且相等的向量终必相同D正故选．

1221112122111225．已知≠0λ∈，a＝e＋e，＝2e，与共的条件是（）1121A．＝

B．＝Ce∥e212

D．∥e或λ012【案D【析选D。e与e共，则e＝e.此＝＋λe，时a∥.e与e不线，设＝μ，则e＋e＝·2e，此＝－＝121题二平向的性算1在中在BC上

r

＝

r

点Q是AC的点若

PA

rr（PQ（BC等于（）A2,7）

B6,21）

C，－）

D，21【案【析

rBC

＝

r

＝（

rPQ

－

PA

）＝

rPQ

－

PA

＝（6,30）（）（6,21r2．中＝，＝，AB·＝，BC＝（）A．3

B．7．D．23【案r【析∵·BC＝，且AB2，＝|

rrAB||

（－B|

rBC

1cosB＝－．中AC22＝2

＋2

1－·BCcosB，＝＋2－－．＝3．3．若、、C、是平面内任意四点，给出列式子：①

uuurBC，AD，DCAB

．其中正确的有A．个

B．个

C．个

D．个【案【析

rrrrrrBC的价式是DA=BCCD，边，右边

rrBCDC，不一定相等；②

ACBD

的等价式是

AC

rAD=

rrBCBD，边边

DC

，故正确；

141514415515141514415515③

rrrrACBDDC

的等价式是

rrACAB

rr=BD+DC

，左边右=

rBC

，故正确所以正确的有2个故选Brr．设D所平面内一点，BC4CD，（）A．

r

rrAB3

B．

r

rrAB44C

r

rrABAC55

D．

r

rrAB33【答案】B【解析】

rrrrrrrrrrBDABACABAB44

,故选．5．已知

(B(3,

rrr，设ABa，BC，（）

a

；（）满足

ac

的实数，n.【解析）由已知得

，b，(1,8)则

.（）

b)

，∴

.题三平向量数积其用1．对于非零向量

a

，下列命题正确的是（）rrrrA．a0b

B．a//

rrab上的是

r|Ca【案．

D．abb

，,123312312123，,123312312123【析于选项

,

rr

rrrrr0ab|cos,b>=

rrrrr0或b或<a>=

故

错误，rra在上

rr的投影是||cosq=?|a|

所

错误对

D

rrrr|b||ccos

不能rr推出;以D错，排除法选C．选．2．已知a＝（＝（－，b的夹角是．（）b；（）与b向，且a与c－a垂，求c【案见析【析解∵a＝n－，a＝，b＝n2＋，∴45°＝

2n－5·n2＋

2＝，2∴2

－－＝（2∴＝或＝－（舍b＝2,63（）（），a＝10，a2＝．又∵c与b同，故可设＝λb（∵（－a）a＝，∴·a－a2

a251＝．＝＝＝．ba1021∴c＝