新教材人教b版必修第一册2.2.1不等式及其性质课件

2.2.1不等式及其性质1.通过具体情境感受在现实生活中存在的大量不等关系,能用不等式(组)表

示不等关系.2.掌握用作差法判断或证明两个实数(代数式)大小的方法.3.理解不等式的性质及推论,能用不等式的性质及推论证明和解不等式.

2.2不等式

比较实数a,b大小的依据通过比较两式之差的符号来判断两式大小的方法通常称为⑤作差法

.依据如果①

a-b<0

,那么a<b;如果②

a-b=0

,那么a=b;如果③

a-b>0

,那么a>b结论确定任意两个实数a,b的大小关系,只需确定它们

的差与④0

的大小关系即可

不等式的性质性质1:如果a>b,那么a+c⑥>

b+c.性质2:如果a>b,c>0,那么ac⑦>

bc.性质3:如果a>b,c<0,那么ac⑧<

bc.性质4:如果a>b,b>c,那么a>c.性质5:a>b⇔b<a.

不等式的几个常用推论推论1:如果a+b>c,那么a⑨>

c-b.推论2:如果a>b,c>d,那么a+c⑩>

b+d.推论3:如果a>b>0,c>d>0,那么ac

>

bd.推论4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n>1).推论5:如果a>b>0,那么

>

.

反证法首先假设结论的

否定

成立,然后由此进行推理得到矛盾,最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法,反证法是一种间接证明的

方法.

综合法综合法中,最重要的推理形式为p⇒q,其中p是已知或者已经得出的结论,所以

综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论.

判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.1.a>b是ac>bc的充分不必要条件.

(

✕)当c=0时,a>b⇒/ac>bc.2.a>b是

>

的必要不充分条件.

(√)a3>b3,则a>b.

(√)ac2>bc2,则a>b.

(√)中国某高中生暑假去加拿大旅行,中午在一景点吃比萨,他点了个直径为9英寸的

比萨.过了一会儿,服务员客气地端来了两份直径5英寸的比萨,说:“9英寸的比萨

卖完了,给您两个5英寸的,多送您1英寸表示歉意.”这名中国高中生听后一愣,客气地请服务员叫来了店老板,说:“圆的面积公式为S

=πr2

平方英寸,两个5英寸的比萨面积加起来约是39.26平方英寸,你给我三个比萨我还

亏着呢!怎么能说多送我1英寸呢?”老板听后无语,最后给了他四个5英寸的比萨,并竖起大拇指道:“中国高中生真厉

害!”利用不等式的性质比较两实数(代数式)的大小问题1.你能把服务员犯的错误用不等式表示出来吗?提示:服务员错误地认为:若a+b>c,则a2+b2>c2.2.文中的高中生是如何比较出比萨的大小的?提示:用作差法比较比萨面积的大小.

作差比较法作商比较法依据a-b>0⇔a>b;a-b<0⇔a<b;a-b=0⇔a=ba>0,b>0且

>1⇒a>b;a>0,b>0且

<1⇒a<b;a>0,b>0且

=1⇒a=b应用范围数(式)的大小不明显,作差后可

化为积或商的形式同号两数比较大小步骤①作差;②变形;③判断符号;④下结论①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④下结论变形技巧①分解因式;②平方后再作差;③配方法;④分子(分母)有理化按照同类的项进行分组破疑典例1.(

)(1)比较2+

与4的大小;(2)比较(a+1)(a-4)与(a+3)(a-6)的大小;(3)设x,y是不全为零的实数,试比较2x2+y2与x2+xy的大小.思路点拨:作差

变形

判断符号

确定大小.解析(1)2+

-4=

-2,因为(

)2-22=7-4=3>0,所以

-2>0,所以2+

>4.(2)因为(a+1)(a-4)-(a+3)(a-6)=(a2-3a-4)-(a2-3a-18)=14>0,所以(a+1)(a-4)>(a+3)(a-6).(3)2x2+y2-(x2+xy)=x2-xy+y2=

+

,因为

≥0,

≥0,当且仅当x=y=0时同时取等号,但x,y不全为零,所以

+

>0,所以2x2+y2>x2+xy.2.(

)已知<b,试比较a3与b3的大小.解析

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)

,因为a<b,所以a-b<0,又

≥0,

≥0,当且仅当a=b=0时同时取等号,但a<b,所以

+

>0,所以(a-b)·

<0,故a3<b3.3.(

)比较

+

与

+

的大小.思路点拨:思路一:作差

变形

判断符号

确定大小.思路二:作商

变形

判断商与1的大小关系

确定大小.解析解法一(作差法):

-(

+

)=

=

=

=

.3.(

)比较

+

与

+

的大小.思路点拨:思路一:作差

变形

判断符号

确定大小.思路二:作商

变形

判断商与1的大小关系

确定大小.解析解法一(作差法):

-(

+

)=

=

=

=

.因为a>0,b>0,所以

+

>0,

>0.又因为(

-

)2≥0(当且仅当a=b时,等号成立),所以

≥0,所以

+

≥

+

(当且仅当a=b时,等号成立).解法二(作商法):

=

=

=

=

=1+

≥1(当且仅当a=b时,等号成立).因为

+

>0,

+

>0,所以

+

≥

+

(当且仅当a=b时,等号成立).

已知-4≤x-y≤-1,-2≤x+y≤3.问题x-y和x+y表示出2x-y?提示:能,用待定系数法.x-y的取值范围?提示:能,利用不等式的性质可以求出2x-y的取值范围.

利用不等式的性质求代数式的取值范围

问题,对于这类问题要注意“同向不等式的两边可以相加”,但这种转化不是等

价变形,在一个解题过程中多次进行这种转化时,就有可能扩大真实的取值范围,

解题时务必小心、谨慎.同时要注意正确使用不等式的性质,避免误用不等式的性质致错.解决此类问题,可先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过

一次不等关系的运算求得待求式的取值范围,可以避免错误.2.利用不等式性质求取值范围的一般思路:(1)借助性质,转化为同向不等式相加进行解答;(2)借助所给条件整体使用,切不可随意拆分所给条件;(3)结合不等式的传递性进行求解.破疑典例(

)(1)已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围;(2)已知-1<a<b<1,求a-b的取值范围;(3)已知x、y∈R,且3≤xy2≤8,4≤

≤9,求

的取值范围.思路点拨:先将待求范围的代数式用条件中的代数式表示出来,再利用已知范围进行不等关

系的运算求未知代数式的取值范围.解析(1)设m(a+b)+n(a-b)=4a-2b,整理得(m+n)a+(m-n)b=4a-2b,则

解得

∴4a-2b=(a+b)+3(a-b).∵3≤3(a-b)≤6,2≤a+b≤4,∴5≤4a-2b≤10.故4a-2b的取值范围为[5,10].(2)∵-1<b<1,∴-1<-b<1.又∵-1<a<1,∴-2<a-b<2.∵a<b,∴