傅里叶变换的基本性质

3-5傅里叶变换的基本性质傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。一、线性傅里叶变换是一种线性运算。若af(t)+bf(t)—aF(加)+bF(加)(3-55)1212其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数F(j)。11f(t)=U(t)=-+-sgn(t)AA由式(3-55)得F(F(沁)=国(t虐**24gn(t是、12*、—x2nd(①)+—x——=兀8(①)+2j①二、对称性若f(t)—F(加)F(jt)—2nf(-o)(3-56)证明因为1f(t)=——jF(j®)egd®2兀一8有2时(t)=j8f(j®)ejgd®-82时(-t)=j8F(j^)e-j①dw-8将上式中变量①换为x,积分结果不变，即2兀f(-t)=j8F(jx)e-jxtdx

-8再将t用①代之，上述关系依然成立，即2酒'(-w)=j8F(jx)e-jwxdx-8最后再将x用t代替，则得2时(-w)=j8F(jt)e-jwtdt=匚F(jt)}

-8所以F(jt)f2荷(-w)证毕若f(t)是一个偶函数，即f(-t)=f(t)，相应有f(-W)=f(①)，则式(3-56)成为F(jt)f2寸(W)(3-57)可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数2兀。式中的-w表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如f(t)=5(t)fF(jw)=1F(jt)=1f2时(w)=2航(w)例3-7若信号f(t)的傅里叶变换为

[2nAH<T/2F(网=]0网>c/2试求f(t)。解将F(加)中的®换成t,并考虑F(加)为①的实函数，有「2兀A|t|<t/2F(jt)=F(t)={[0t>T/2该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为°F(t)}=2俱Sa(号)根据对称性F(t)〜2荷(-Q)故fE)=AtSa(。)再将f(-3)中的-3换成t，则得f(t)=AtSa弓)f(t)为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。三、折叠性若

F(加)—F(沁)[F(加)—F(沁)[f(t)]为虚函数358四、尺度变换性观看动画°,、13、，,,f(at)IF(j)(a为大于零的实常数)aa(3-59)证明因a〉0,由匚{f(at)}=广f(at)e-j—dt-8令x=at，则dx=adt，代入前式，可得5f3)}=』8f(x)e-j—x/ad=1F(j—)_gaaa证毕函数f(at)表示f(t)沿时间轴压缩(或时间尺度扩展)aF(j—)而a则表示F(j—)沿频率轴扩展(或频率尺度压缩)a倍。该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。例3-8已知f(t)=t<t/4It>T/4，求频谱函数F(j—f(t)=的频谱函数，且rE|0F0（沁）=ETSa（与）A根据尺度变换性，信号f(t)比f0(t)的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数F（沁）=2F0（j§=%Sa（普）A

E_f（t）A

E_f（t）-t/40t/4五、时移性（3-60）五、时移性此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。它表明若在时域f(t)平移时间10，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变W10。f(t)=例3-9求0<t<Tt<0,t>T的频谱函数F(加)。解：根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有F(jw)=ESa(竺)e-jwT/2

t2六、频移性f(t)e土jW0—F[j(W+W)]0(3-61)证明匚f(t)e土汕0f(t)e土jw0te-jwtdt=j"f(t)e-j(w矽0vdt=F[j(w+W)]一80证毕频移性说明若信号f(t)乘以e±加0‘，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以e±jW0t，这就使频谱中的每条谱线都必须平移W0，亦即整个频谱相应地搬移了必0位置。频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移实现原理是将信号f(t)乘以所谓载频信号cosWt或f(t)coswt.2F[j(w+w)]+F[j(w—w)]}f(t)sinwt〜%F[j(w+w)]一F[j(w-w)£七、时域微分性dnf(t)寺"沁)nF(j)(3-62)证明因为f(t)=—"F(jw)e=dw2兀E两边对t求导数，得d-^t^=—卜j®F(jw)egd3dt2兀e所以df(t)守-(网F(冷)同理，可推出证毕dnf(t)证毕Ij)nF(j①)dtn例3-10求f(t)=5(n)(t)的频谱函数F(加)。解：因为6(t)11由时域微分性F(j®)=(j®)n例3-11图3-22所示信号f(t)为三角形函数f(tt=a(9q111T0Id<TkE求其频谱函数F（加）。解:将f⑴微分两次后，得到图3-22（c）所示函数，其表达式为1c2c1c解:f"(t)=-b(t+T)--d(t)+-d(t-T)

TTT由微分性匚f"(tJ=(沁)2匚f(t)}=上(e加一2+e-j)T)=—[cos①t-1]TT所以匚f(t)}_2(cos匚f(t)}_2(cos①t-1)tsin2(①T/2)(①c/2)2①T、=TSa2(~2~)(1/T不《71/T)~一^~0t(-2/t)(c)八、频域微分性(3-63)(3-63)例3-12求f(t)=们(t)的频谱函数F(L)。解：因为U(t)◊航(①)+根据频域微分性们(t)-航(叫+L1=l丸&(3)-——①2九、时域积分性若(3-64)j七f(t)dt〜Fj)+兀F(0)80)(3-64)-8j①例3-13根据8(t)11和积分性求f(t)=U(t)的频谱函数。解：因为8(t)11U(t)=jt8(x)dx-8根据时域积分性例3-14求图3-23所示信号f(t)的频谱函数F(加)。

解：f⑴对t求两次微分后，得11f"(t)=8(t+t/2)—8(t—t/2)T1/2——e-j^T/2T.2如=j-1/2——e-j^T/2T.2如=j-sin(——)

t2由时域积分性f(t)=Itf"(x)dxf—sln(^^)+兀x08(s)=—STS2冬sln(竺f(竺)TS22f(t)=「f'(x)dxf—S2sln(竺)+nSa(0)8(①)=兀8(①)+上Sa(ST)js2T2js2f(1/T-t/20T/2At(1/TL—t/20T/2—i~>t(-1/T)(b)图3-23(c)十、频域积分性若f(t)fF(js)TOC\o"1-5"\h\z111…寸(0)8(t)+f(t)f1F(jx)dx(3-65)jtj—sf(t)=愈f(.、例3-15已知t，求(js)。解：因为

sin(t)sin(t)=j-e-〃)〜史2j2jB(①-1)-8(①+1)]=j兀b(①+1)-60-1)]根据频域积分性sin(t)f1f°j兀Is(尤+1)-8(尤一1)Lr=n\u(①+1)-U(①一1)]tj-8十一、时域卷积定理若f1f1(t)fF1(加)f2(t)fF2(加)f(t)*f(t)fF(加)F(加)(3-66)1212证明Ff(t)Ff(t)*f(t)}="「"f(T)f(t-T)&12n_812e-j^tdt="f(t)-s1"f(t-t)e-wdtdT=一-s2-证毕jsf(t)F(j①)e-网dT=F(j①)jsf(t)e-j&T=F(j①)F(j①)证毕-s122-s1-例3-16图3-24(a)所示的三角形函数\|t|f(t)』1-「14<T、0|t|>T可看做为两个如图3-24(b)所示门函数Gt(()卷积。试利用时域卷积定理求其频谱函数F(加)G(t)-c1解：因(a)(b)图3-24sin(竺)G(t)5:=母(与)T①c2~T所以sgn(t)F(沁)=cSa2(:)sgn(t)1例3-17一个信号f(t)的希伯特变换&)是f(t)和M的卷积，即兀一8(t"I)解：因为则对称性2一f2兀sgn(一①)=-2ksgn(①)jt

一jsgn(co)7lt由时域卷积定理1

fG)=-jsgn(co)F(j(D)nt即^(J«)-Jsgn(CD)F(j(D)十二、频域卷积定理若/(O^F(jco)/(O^F(jco)TOC\o"1-5"\h\z1122则1f(OfF(J°)*F(JCO)(3-67)122兀12或f(0/(0—F(j冲F5)

1212例3-18利用频域卷积定理求皿)=们(t)的傅里叶变换F(j®)。解：因为8(，)0j®由对称性jt—2k5(-co)=-2k5(co)有tcJ2航'(co)E/Q).航(co)+L所以根据频域卷积定理

7i8((d)+—沁F(沁)=—,2兀87i8((d)+—沁11J7l8'(CD)+8'(CD)*—=j7l8'((Jl))+8(CD)*(—)，CDCD1F(J(D)=7715(CD)-(一)CD2十三、帕塞瓦尔定理00F(为"(jG)迦(3-68)1Z—co可推广十三、帕塞瓦尔定理00F(为"(jG)迦(3-68)1Z—co可推广00|F(jCD)|2tZco—00'(3-69)若匕⑺为实函数，则8F2(jCD)tZCD-001(3-70)若成号）为实函数，则8f(W(t)dt=-oo12J-PF(jco)F9(jco)J®(3-71)2—-例3-19求-oo解：因f20So2(co)如=—2So((D)2xSo(co)dco-004271_g2Sa(o)I由帕塞瓦尔定理可得"SQ2(co)dcof20So2(co)如=—2So((D)2xSo(co)dco-004271_g2Sa(o)I由帕塞瓦尔定理可得"SQ2(co)dco=G(t)G(t)dt=7i-002_822十四、奇偶性若/(0〜F(jco)=F(co)ej<p(®)=A(co)+jX(co),贝！j（1）当了⑺为实函数时，则F(①)=|仃(网|=F(-co)

(p((o)=-(P(-CD)A((o)=R(_(d)

x(3)=—X(—①)(3-72)若3为实偶函数，即fQ）=f（T）,则F(jco)=F(cd)=R(co)X(①)=0（实偶函数）(3-73)若的）为实奇函数，即坷=—心），则日(网=/X(CD)A(cd)—0（虚奇函数）(3-74)（2）当了（*）为虚函数，即f。）=jx（t）时，则(3-75)F(o)=F(-cd)

(P(CD)=-(P(-CD)(3-75)R(CD)=—R(—CD)

X(CD)=X(—CD)傅里叶变换的基本性质归纳如表3-3所示。表3-3傅里叶变换的基本性质

性质名称时域频域1.线性af1(t)+bfp)aF(j①)+bF(j①)2.对称性F(jt)2&(-w)3.折叠性f(-t)F(-jw)4.尺度变换性f(at)1,w、-F(j-)aa5.时移性f(t土10)F(jw)e士jw06.频移性e土冲f(t)F[j(ww0)]7.时域微分5(t)dtn(jw)nF(jw)8