傅里叶大系数逼近

关于傅里叶变换的研究——傅里叶大系数逼近摘要astract本文通过研究傅里叶变换的定义、性质和原理，利用原有原理进行扩展讨论进行大系数通近的理论依据及实际应用的范围，并通过实例实现傅里叶级数的基本原理，并完成算法仿真，同时对大系数处理过的信号进行必要的误差分析。关键词：傅里叶大系数基函数匕呈.一、目示1、傅里叶级数的定义、（1）定义在（白，左）区间的两个函数（Pl（t）和夕Jr）,若满足（r）dz=o（两函数的内积为0）则称（pAt）和eJ”在区间（&,左）内正交。（2）正交函数集：若刀个函数<px（t）,<p冏,…，q>n（t）构成一个函数集，当这些函数在区间（久"内满足睥加（g="：0,；•二则称此函数集为在区间（白，左）上的正交函数集。（3）完备正交函数集：如果在正交函数集甲冏,…，0,（1）｝之外，不存在任何函数9“）（=0）满足J6（Z=l,2,…，〃）则称此函数集为完备正交函数集。

例如：三角函数集函,cos｛nQt),sin(n^t)fn=l,2,…｝和虚指数函数集｛矿气n=0,±±2,…｝是两组典型的在区间(如扁+7)(片2兀/Q)上的完备正交函数集。|cos〃气rcos"?即dr=<0（m。n）Tl万（m=n）i/0+T..sinnco^tsinma）|cos〃气rcos"?即dr=<i/0+T..sinnco^tsinma）Qtdr=Asin〃知cos"76?（/dr=0A2、离散形式的傅里叶变换町以利用数字计算机快速的实现(FFT),但进行运算时需要大量的、数据处理。此外对整个时域信号进行分析很难达到实时处理的要求；3、傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用；4、由于基2-FFT算法将离散傅里叶变换(DFT)的运算量由片减少到NlogN,因此具有广泛的应用，因此对于基2-FFT算法的高精度实现成为研究的一个方向。其寻找是否有个方法可以更加简化FFT的过程，令其在一定的精度范闱内能尽量的逼近和接近原时域信号进过FFT变化后的频域信息。此时可以想到是否可以利用FFT变化后在频域上利用在不同的基函数上投影分量的大小进行，大系数逼近，因此这就引出了此问题。二、要点1、对输入信号傅里叶变换：三角函数系的性质：性质1：(正交性)任意两个不相同的函数的乘积在［-兀，兀］上的积分都等于零，即「cosnxdx=「sinnxdx=0,fcosmxcosnxdx=0(/〃#n)siiimxsinnxdx=0(in丰〃)，coswxsinnxdx=0(也,"=1,2,)J—Jf性质2：定义在3o,&)上的周期为2兀的周期函数人力如果在［-兀，兀］上可枳，则系数。0，力”完全由_/(•¥)所确定，并旦是唯一的。由此可以得到人力的傅里叶级数

/W~-y+X£cosnx+bnsinnx)/W~-y+H=11r弁n=0,1,2,〃=1,2,3,%=n=0,1,2,〃=1,2,3,其中勿Jfbn=上「/(x)sinnxdx/J2、理论分析：其中在进行完时域信号的傅里叶变换，是时域信号成为频域的信号，此信号就在频域新现新的形态，在频域中同样包涵着时域信号的一切信息，但由于在频域对信号进行分析是数据量比较大因此我们利用了三角函数的正交性，频域信号在不同的基函数上的投影分量不一样，因此我们可以取出较大的N项系数，代表频域的整个频域信号的信息。这样的话，就会出现一个新的问题，这些被选出的N个大系数是否能够代表频域上大部分的信息。以下从两个角度进行分析：利用实例进行说明例如：对于周期矩形脉冲信号进行分析f(t)f(t)()〃饥"2_ejn^r/2()〃饥"2_ejn^r/2\EL(一力s】)f(0=勇W1F=-{\Ee^ldt91TJ-L212分析:通过对周期信号的傅里叶变换，例如方波信号，可以从频谱中看出在某些基函数上对应的谱系数较大，如果把这些谱系数按大小顺序取N个出来代表和近似频谱，在一定程度可以体现时域信号的信息，当N趋近于无穷大时，就等于是取了频谱上所用基函数的谱值，因此就可以完全体现信号的全部信息。因此，周期信号进行傅里叶变换后也可以选出较大的谱值基函数进行大系数的逼近。（2）利用能量的角度进行说明:分析：从图上可以明显的看出下有限长信号进行傅里叶变换后，能量有一定程度上的集中，因此为频域上利用投影值较大的基函数作为大系数的对象有了一定的理论依据。通过对能量谱的分析，可以推论如果把能量集中的基函数选出来，换句话说就是在基函数投影值较大的那些基函数选出来，用其对应的值来代表整个信号的信息。这种做法是可行的，但是一定程度上会出现误差。总结：无论是有限长信号，还是无限长信号都可以通过在傅里叶变换，在频域上选取较大的系数进行逼近。这就是我们的大系数逼近的理论依据。三、仿真Simulation（1）周期函数信号在无穷区的傅里叶变换（傅里叶级数）实现：（2）对主要误差因素进行误差分析ExampIe实验结果：方波及对方波进行FFT变换后的频谱图为1、FFT后取5个最大值并计算误差方波变换后总和为2465（1）选取5个最大值求和结果为914.3求得误差为62.91%（2）随机选取5个值求和结果为17.81求得误差为99.5%2、FFT后选取10个最大值并计算误差方波变换后总和为2465（1）选取10个最大值求和结果为1140求得误差为53.75%（2）随机选取10个值求和结果为24.73求得误差为99.5%

三角波及对三角波进行FFT变换后的频谱图为1、FFT后取5个最大值并计算误差三角波变换后总和为200010.90.80.70.020001500■.0.5I0.411OOO.0.3|0.2I1500.0.1Or.rO2500X1O4（3）选取5个最大值求和结果为9370求得误差为79.5%（4）随机选取5个值求和结果为1.435求得误差为99.8%2、FFT后选取10个最大值并计算误差2500X1O4三角波变换后总和为20001（1）选取10个最大值求和结果为16231求得误差为53.15%（3）随机选取10个值求和结果为1.435求得误差为99.8%四、评论Remark通过对实际信号的仿真及分析显而易见大系数可以更好的代表原信号的信息，如果随意挑选基函数来代表信号的频域信息，没有选用大系数的基函数误差五、结论ConeIusion（1）傅里叶级数可以用于解决周期函数信号在无限长区间的傅里叶变换处理，并将周期函数展开成在完备正交信号空间中的无穷级数；（2）傅里叶级数可以将周期函数分解为各次谐波函数；（3）傅里叶级数可以将周期函数分解的条件为狄里赫利条件；（4）选用大系数的基函数来