微积分定理和公式

欢迎共阅、函数1.1X和y，若对非空集合D中的每一点x，则f有惟一确定的实数y,则称y是x的函数，记作x称为自变量,y,D，y1y|yf(x),x・D?•xoy平面上点的集合：(xy)|y=f(x)x•Dy=f(x)的图形.f定义域D(或记D)与对应法则f是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.f(二)函数的几何特性单调性2 1.2f(x)D上有定义对于D内任意两点X,,x2，xVx2时，f(xj<f(X)成立，f(xDf(xjVf(X)成立，则称f(x)D内严格单增，严格单增也是单增.当f(x)D，又称f(xD.2 有界性【定义1.3】设函数f(x)在集合D内有定义，若存在实数M>0,使得对任意xD,都有|f(x)|<M，则称f(x)在D内有界，f(x)D内的有界函数.【定义1.4】设函数f(x)在集合D内有定义，若对任意的实数M>0,总可以找到一xD,使得|f(x)|>M，则称f(x)在D内无界，或称f(x)为D内的无界函数.【定义1.5】设函数f(x)在一个关于原点对称的集合内有定义，若对任意xD,都有f(-x)--f(x)(或f(-x)=f(x)),则称f(x)为D内的奇(偶)函数.2 1 奇函数的图形关于原点对称，当f(x)为连续的函数时，f(x)=0,即f(x)的图形过原点.偶函数的图形关于y轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律：设fjx)一f(x)为奇函数，g(x),g(y)为偶函数,2 1 2 f'xf(x)为奇函数；g'x)_g(x)为偶函数；f'xg'x)2 j1I•j1j2f(x)j2奇函数了

(x)为奇函数；f(x

(x),g'x)

(x)均为偶函数常数C是偶函数，因此，奇函数加非零常数后不再是°2.°2利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助.4.周期性1.6f(x)dDT,xD恒有f(xf(x)成立,则称f(x)为周期函数.T,f(x)，.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.y二x-[x]是以1为周期的周期函数.y=[x]与y=x-[x]的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.(三) 初等函数基本初等函数常数函数y=C,定义域为(-s,+x),x轴的直线.在yc.幕函数y=x‘,.总在(1,+s，1,1).0时，1-2)欢迎共阅图1-2(3) 指数函数y=：•x(：.-0, 1),其定义域为+x).当0vv1时，函数严格单调递减.当〉>1时，函数严格单调递增.子数图形过点(0,1).微积分中经常用到以e，即y=ex1-3)(4) 对数函数ylog：.x(：-0，篇胡),1,+g)，y三x微积分中常用到以e为底的对数，记作y=1nx,称为自然对数.对数函数的图形过点(1,0)(图1-4)(图1-3)(图1-4)另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数

，不在考纲之内•对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握，这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如，设f(x)在(a,b)区间内二阶可导,对任意x(a,b),f"(x)v0.则⑴f'(x)在(a,b)内严格单调减少；(2)f(x)在(1,b)上为凸弧，均不充分.此题可以用举例的方法来说明(1)、(2)均不充分.由初等函数的图形可知，y=-x4为凸弧.y'=-4x3在(—gg+)上严格单调递减但y"=-12x2<0,因此(1),(2)均不充分，故选E.此题若把题干改成f〃(x)<0,则(1),(2)均充分，差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2•反函数1.7yf(x)D,R,yR都有惟一确定的D与之对应,且满足yf(x)xR以y，记作并称其为y=f(x)反函数.习惯上用x作自变量，y作因变量，因此y=f(x)反函数常记为y=f^(x),R.函数y二f(x)与反函数yrf'(x)的图形关于直线y=x对称.严格单调函数必有反函，且函数与其反函数有相同的单调性十 a%y二logax互为反函.y=x2,x•［0,+x］的反函数为y=•..x,而y=x2,x•(-^,0)的反函数为yx(图1-2(b)).欢迎共阅欢迎共阅3•复合函数1.8yf(u),u・Df,yRf.又u—(x),xD：AR,若DfRf非空则称函数为函数yf(uuV:(x)的复合函数.y,x,u.4•初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数 ，等函数在其定义域内有统一的表达.(四)隐函数若函数的因变量y明显地表示成y=f(x)的形式，则称其为显然函数.y=x2,y=1n(3x2-1),y=ix2-1等.设自变量x与因变量y之间的对应法则用一个方程式F(x,y)二0表示,如果存在函数y二f(x)(不论这个函数是否能表示成显函数)，将其代入所设方程，使方程变为恒等式：f其中D为非空实数集.则称函数y=f(x)由方程F(x,y)=0所确定的一个隐函数.f如方程.x「y=1可以确定一个定义在［0,1］上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式即但并不是所有隐函数都可以用x，如exyx0因为y，初等函数，，如x2•y210.(五)分段函数有些函数，对于其定义域内的自变量x的不同值，不能用一个统一的解析式表示，而是要用两个或两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数，如都是定义在(—％,+x)上的分段函数.分段函数不是初等函数，它不符合初等函数的定义.二、极限(不在考试大纲内，只需了解即可)二'I极限是微积分的基础.(一)数列极限n，a,a2…a.n极限定义.1.9an，若通项aA,则称数列；A,或称A,记作.n 否则称数列：alima不存在n n丫七数列极限性质lim^na,|imyn=b,则lim^^aulimxn*=a(k为任意正整数).n—JpClim.Xn=a,U?是有界数列.夹逼定理设存在正整数No,使得No时，数列｛xnHyn｝」Zn｝Zn兰Xn兰yn若limyn二limzn=a，则lim焉=a.禾利用此定理可以证明重要极限((1丫lim1e(e=2.718是一个无理数).o有界,o

使得对任意.,nn_.,n

都有NXo nd<NX

(或

n・1

_X),则

』的极限一定存在n利用此定理可以证明重要极限(1、(二)函数的极限1.

lim1二e(e=2.718，是一个无理数)..n【定义1.10】设函数f(X)在|x|_a(a■0)上有定义，当x—；『：时，函数f(x)无限接近常数A,f J1则称f(X)当x—；:：:时以A为极限，记作I当Xr「*或X)-：：时的极限当X，简记X—•:x)-:：)时,f(x)A,f(X)当X—小-'(X-.)时以A为极限，记作3. 3. X—； 00 0 1.11f(X)X。附近(可以不包括X，当X无限接近X(X=X)时，f(x)0 0 0A,X>X时，f(x)A为极限，记作0左、右极限若当X从X0x::：x0)趋于x0时，f(x)A,A为Xx0时f(x)的左极限，记作limf(x)=A.或f(冷—0)=A\\|•

XTK(T0 0 0 若当x从X的左侧(XX)趋于X时,f(x)A,A为X-；X时f(x)，0 0 0 I(三)函数极限的性质1.惟一性若,limf(x)二A,limf(x)=B则A=B.

lim_/(x)=A.或f(x0+0)=A广xTx广

有界性 X—limf(x)A.

的某邻域内(点X

可以除外)，f(x)是有界的.0保号性 0 0若limf(x)二A.且A>0(或Av0=,则存在x的某邻域(点x可以除外)，在该邻域内有f(X)>0(或f(x)v0=。 ° °

Xio欢迎共阅若limf(x)二A。且在X

的某邻域(点X

f(xf(x)V0A>0「。 。(或A<0)。•不等式性质

x Xo若limf(x)=A,x_X°若limf(x)=A,X—0g(x))，贝UA<Bo

X^gwA>B，则存在X的某邻域(点X0 ° limg(x)=B.且在x的某邻域(点x可以除外)有f(x)<g(x)或(0 ° X>X0

,使f(x)>g(x).同数列(四)无穷小量与无穷大量i1•无穷小量的定义i0【定义1.12】若limf(x)=0,则称f(x)是x>X0

时的无穷小量。0limg(x)-::,f(x)X0X—JX0|—无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量；无\是无穷小量(一-有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。无穷小量阶的比较I设lima(x)=0,lim■-(x^0,XJx0 X0x常用的等价无穷: 0是, e-1~x,1n(1x)~x,：x-1〜x1n：, (1x)--1〜ax等价无穷小具有传递性，即：(x)〜1(x)，又1(x)〜(X)等价无穷小在乘除时可以替换，即：(x)~：*(x)/:(x)~1*(x),lim(或X

■(X)

limX>x0(或x)：)

:(X)：*(x)欢迎共阅欢迎共阅第二讲函数的连续性、导数的概念与计算式、复合函数求导公式、导数的四则运算。三、函数的连续性(一) 函数连续的概念1两个定义o° 1.13y=f(x)D,x°•Dlimf(x)f(x，则称f(xxf(x)在D中每一点都连续，则称f(xxo° o 1.14limf(x)=f(x)，则称f(xxo o limf(x)f(x)，则称f(xXo XJxo_o f(xX点连续二f(xXo 2•连续函数的运算厂I\ /■/连续函数经过有限次四则运算或复合而得到的函数仍然连续，处连续。(二) 间断点

因而初等函数在其定义区间内处° limf(xlimf(x)f(x，则称x为f(x)° x)pxo xJxo~olimf(x)f(x)f(x)xo

无定义)，则xox

为f(x)的可去间断点。若limf(x)与limf(x)都存在，但不相等，则称X。为f(x)的跳跃间断点。X—X X_xo—limf(xlimf(x)x为f(x)的第二类间断点。oX—十 X—JX)—(三) 闭区间上连续函数的性质若f(X)在区间［a,b］limf(x)flimf(x)f(b)f在闭X x=b-区间［a,b］上连续。

'llII最值定理设f(x)在［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上必有最大值M和最小值m,即存在［a,b］，使f(xj=M,f(xJ=m,且m込f(x)込M,x［a,b］。价值定理设f(x)在［a,b］上连续，且m,M分别是f(x)在［a,b］上最小值与最大值，则对任意的［m,M］，总存在一点c［a,b］,使f(c)=k。【推论1】设f(x)在［a,b］上连续，m,M分别为最小值和最大值，且mM<0,则至少存在一点c［a,b］,使f(c)=0。【推论1】设f(x)在［a,b］连续，且f(a)f(b)<0，则一定存在c［a,b］,使f(c)=0。欢迎共阅推论1推论2又称为零值定理第二章导数及其应用一、导数的概念•导数定义0 2.1y=f(x)xo的某邻域内有定义在该邻域内给自变量一个改变量相应改变量f(x：=x)-f(x)0 存在,则称此极限值为函数y=f(x)在xo点的导数，此时称y=f(x)在xo点可导,用°f"(x).或 y‘ ,或 dy ，或 df(x)°

的表示的

x,函数值有x=x

dyxx=x

dx|x=x()。。若yf(x)Df(x)D内可导)，则对任意X。，D,X。。变化而变化，因此它是x的函数，称其为y=f(x)的导函数，记作f(X)或 y,或 dy,或 df(x).导数的几何意义

)将随XL—\

\ _>■#h \X"/

■■'of(x)xo处可导，则f(x)y=f(x)在点(xo,yo)处切线的斜率，此时切线方程为o％° o ° o

f'Mir'［i\ Jo o 当f(x)=o,y=f(x)在点(xo,yox轴，切线方程为y二y二f(xo o of(x)xo处连续，又当x时f(x)-；心y=f(x)在点(xo,yoxo轴,切线方程为x=xo.左、右导数* _\\ I【定义2.2】设f(x)在点xo点的左侧邻域内有定义若极限存在，则称此极限值为f(x)在点xo处的左导o数，记为「-(X)ooof(X X)-f(X)oo-Z类似可以定义右导数.f(x)在点xo点处可导的充要条件是f(x)在点xo点处的左、右导数都存在且相等，即f(Xo)存在 二 f』Xo)=ff](Xo)存在.欢迎共阅欢迎共阅右f(x)在(a,b)内可导，且仁(a)及口b)都存在，则称f(x)在［a,b］上可导.可导与连续的关系若函数y= f(x)在Xo点可导，则f(x)在点Xo处一定连.此命题的逆命题不成.°lim卫=limx)-f(x存在可知，fg在X。点可导,°IAx 3 Axo 必有0，故f(x)X点连续.但f(x)X0时,0,Ayo oo 1x时,，f(x)x点不可导只有紬与厶x，或勺是比厶x高阶的无穷小时f(x)在xoo 1例如，y=x3,y=\x|在x=0点连续，.二、导数的运算几个基本初等函数的导数(1)

y:二c

y=0.

y: a二x,y: x

*y=ax

a_Jx二x, * x 二ea(4) y:=loga(1)

A xy=a1na;y=e,y[cu(x)]二cu(x)；[u(x)_v(x)]=u(x)v(x)；

1y二x(2)(3)(4)

[u(x)v(x)]=u(x)v(x)u(x)v(x)；U(x).u(x)v(x)-u(x)v(x);_v(x)

v2(x)设函数u二(x)在x处可导，而函数y二f(u)在相应的点u在点x二(x)处可导，则复合函数y二f[u(x)]处可导，且

d；=fW(x)

rdydydu0或----dxdudx若函数区(a,b)内可导，一般说，其导数y> f(x)仍然是x的函数，如果y二f(x)也是可导，则对其继续求导，所得的导函数称为f(x)的二阶导数，记为y：f(x),d 1 d2f(x)dx2'dx2【注】更高阶的导数MBA大纲不要求，二阶导数主要用来判定极值、函数凹凸区间及拐点•导数的计算要求非常熟练、准确第三讲微分、导数的应用重点：微分的概念及运算、求曲线切线方程的方法、函数单调区间、极值、最值的求法三、微分1. 微分的概念2.3y二f(x)xo，若在其中给xox,可以表示为0 其中A与二x无关,则称f(x)x，且称Axf(x)x点的微分，Ax：y的线性主部0 。 y=f(x)在X可微的充要条件是f(x)在X可导，且dy =f"(xoAx).当f(x)=x时，。 oX=xodx二x，因此由此可以看出，微分的计算完全可以借助导数的计算来完成.0(2)微分的几何意义当xx0变到x0「X时，，x0的改变量为dy.如图2-1所示.dyy，.dy>：y图2-1•微分运算法则设u(x),v(x)可微，则一阶微分形式不变性：设y=f［(x)］f(u)uV(x)复合而成，yfL(x)］x可微，且dy二f(u)du，u，，.了：若u是自变量,yf(u).若u是中间变量,uu(x),则y=fuux.四、利用导数的几何意义求曲线的切线方程求切线方程大致有四种情况，最简单的一种是求过曲线y=f(X)上一点(X。，f(xo))的切线方程,此时只需求出f(X。),切线方程为y-f(X。)=f(Xo)(x-X。).第二种情况是过曲线y=f(x)外一点(a,b),求曲线的切线方程，此时b=f(a).设切点为(x。,f(x。))，切线方程为y-f(x。)=f(x°)(x-x。),将点(a,b)代入方程中，有b-f(x。)=f(x°)(a-X。)从中求出x。,化成第一种情况的切线方程，若得到Xo惟一，则切线也不惟一.第三种情况是求两条曲线的公共切线，这两条曲线可能相离，也可能相交.设两曲线为y=f(x)与y=g(x)解题方法是设在两条曲线上的切点分别为(a,f(a)),(b,g(b))这两点的切线斜率相等，从而有方程f(a)二g(b).①另外过点(a,f(a))的切线方程y—f(a)二f(a)(x—a)也过点(b,g(b)),故有g(b)—f(a)二f(a)(b—a) ②由①、②求出a,b,有了切点，切线方程也就可以写出来了.第四种情况是求两条曲线在某公共点处的公切线 •设曲线y=f(ax)与y=g(x)在某点处相切，求a的值与切线方程.则可设切点为(x),g(x)),从而有oo f(ax)=g(x (f(ax))丸仁)，X=oo o o 由两方程联和可得a的值及切点横坐标x.即切点(x,g(x)),再由第一种情况，写出切线方程o o 五、函数的增减性、极值、最值函数的增减性的判定：：：f(x)［a,b］在(a,b)内可导f(x).0(x)0),f(x)［a,b］f在(a,b「(x)—0(x)0)二者的差异在于有没有等号.：：：、 *■、 ~------z 1极值概念与判定【定义2.4】设f(x)在X。的某邻域内有定义,对该邻域内任意点X,都有° ° f(xf(X(或f(xf(X),f(«)为极大值(或极小值)X，极值点一定是内点，° ° 0 0 极值存在的必要条件：若f(x)X点可导且X，则f(X)=0.因此,极值点只需在f(x=0的点(驻点)或f，,f(x)=0或f,但这种点并不一定都是极值点，0 0 ，，.0 ° 0 0- .高f(x)X点连续,且fx0(或f(X)不存在).0X(X、,X0 ° 0 0- 0 时，有f(x)>0 (或f(x)不存在)，当X (X,X 时，有 f(x)<0 (或f(x)>0)0 0 0 0 此时X.f(X)f(x)X，则X0 0 0 以上判别法用下表示意更清楚.+极大值点一一极小值点++不是极值点+一不是极值点一X第二判别法需用二阶导数判定，只适用于二阶导数存在且不为零的点，因此有局限性.X当f&0)=0,f"(x°)O则X0为极小值点若f"(x°)：：：0,X°，f"(x°)=0,仍需用第一判别法.［a,t］上的最大值与最小值极值是函数的局部性质.最值是函数的整体性质.求最大值与最小值只需找出极值的可疑点(驻点和不可导点)，把这些点的函数值与区间的端点函数值比较，找出最大的与最小的即为最大值和最小值，相应的点为最大值点和最小值点•第四讲函数图形的凹凸性、拐点、不定积分六、函数图形的凹凸性、拐点及其判定1概念【定义2.5】若在某区间，曲线弧上任一点处的切线位于曲线的下，则称曲线在此区间内是上凹的，或称为凹(简记为)；反，切线位于曲线上，则称曲线是上凸，亦称凸(简记为 曲线凹、凸的分界点称为拐•2•凹凸的判定设函数y=f(x)在区间(a,b)内二阶可，若在(a,b)内恒有f(x)>0(或f(x)<0),则曲线y=f(x) 在(a,b)内是凹(或凸弧).3•拐点的求法与判定\ X/■o 拐点存在的必要条件是f”(X)=O或f”(X)o o o o o设f(x) 在(a,b)内二阶可,x(a’b),f(X)=o或f(x)不存在若f(x)在X点的左右变,则点(x,f(x))是曲线y=f(x)的拐点o o o o，，,种点一共有k,则这个kk+1个子区间，f(x),由f(x)>O(或f(x):::O)判定f(x)在该子区间内单调递增(或递减),同时也可以将极大值点和极小值点求出.求函数曲线的凹凸区间与拐点.只需求二阶导数等于零或二阶导数不存在的点，然后用上面的方法加以判定.第三章定积分及其应用一、不定积分1•不定积分概念【定义3.1】(原函数)若对区间I上的每一点x,都有则称F(x)是函数f(x)在该区间上的一个原函数.原函数的特性若函数f(x)有一个原函数F(x),则它就有无穷多个原函数，且这无穷多个原函数可表示为F(x)+C的形式，其中C是任意常数.【定义3.2】(不定积分)函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分，记作f(x)dx.若F(x)是f(x)的一个原函数，则【定义3.3】(原函数的存在性)在区间I上连续的函数在该区间上存在原函数；且原函数在该区间上也必连续.不定积分的性质•kf(x)dx二kf(x)dx (常数k=0)[f(x)_g(x)]dx二f(x)dx_g(x)dx基本积分公式求不定积分的基本方法和重要公式直接积分法所谓直接积分法就是用基本积分公式和不定积分的运算性质，或先将被积函数通过代数或三角恒等变形,再用基本积分公式和不定积分的运算性质可求出不定积分的结果换元积分法(I)第一换元积分法【公式3.1】若f(u)du二F(u)C，则=F(u)CF((x))C.【说明】1，u(x)

•I\'\/■/厂2°第一换元积分法的实质正是复合函数求导公式的逆用 •它相当于将基本积分公式中的积分变量x用x的可微函数(x)替换后公式仍然成立.用第一换元积分法的思路[*、\■-不定积分.f(x)dx可用第一换元积分法，并用变量替换u=“X),其关键是被积函数g(x)可视为两个因子的乘积且一个因子f((x))是(x)的函数(是积分变量x的复合函数)，另一个因子:(x)是(x)的导数(可以相差常数因子).有些不定积分，初看起来，被积函数不具有上述第一换元积分法所要求的特征，在熟记基本积分公式的前提下，注意观察被积函数的特点，将其略加恒等变形：代数或三角变形，便可用第一换元积分法•(II)第二换元积分法量替换换令 量替换【公式3.2】 f(x)dx (t))「(量替换换令 量替换【说明】第二换元积分法与第一换元积分法实际上正是一个公式从两个不同的方向运用用第二换元积分法的思路 令归若所给的积分.f(x)dx不易积出时，将原积分变量换元法用新变量t的某一函数：(t)来替换，化成以t为积分变量的不定积分.f(「(t))L(t)dt，若该积分易于积出，便达到目的。被积函数是下述情况，一般要用第二换元积分法： 11°被积函数含根式naxF(a=0,b可以是0)时，令naxt，求其反函数。作替换x丄(tn-b)，可消去根式，化为代数有理式的积分2°被积函数含根式-,e^a时，令e_a=t，求其反函数，作替换x=1n(t2_a)可消去根式。1被积函数含指数函数ax(或ex)，有时也要作变量替换：令ax=t(或ex=t)，设x二丄1nt(或x=1nt)，1na以消去ax(或ex)。分部积分法【公式3.3】u(x)v(x)dx二u(x)v(x)-v(x)u(x)dx或用分部积分法的思路公式的意义欲求uvdxvudx.(II)u和v用分部积分法的关键是，当被积函数看作是两个函数乘积时，选取哪一个因子为U二u(x),哪一个因子为v〉v(x).—般来说，u和V：1V，2u和v］vudxuvdx易于计算；3°有的不定积分需要连续两次(或多于两次)运用分部积分法，第一次选作v(或u)的函数,第二次不能选由v(或u)所得到的v(或v).否则,经第二次运用，被积函数又将复原.(川)分部积分法所适用的情况乘积时，.求不定积分需要注意的问题

，因此，被积函数是两个函数(1)由于初等函数在其有定义的区间上是连续的，所以每个初等函数在其有定义的区间上都有原11函数，但初等函数的原函数并不都是初等函例如e」,ex,ex,1 等的原函数就无法用初等函数表2 21nx.」I示.对同一个不定积，采用不同的计算方，往往得到形式不同的结.这些结果至多相差一常数，这是由于不定积分的表达式中含有一个任意常数所致 .第五讲重点：定积分的概念、性质、变限求导、牛顿和分部积分法

-菜布尼兹公式、定积分的换元积方法二、定积分1.定积分的定义【定义3.1】(定积分)函数f(x)在区间［a,b］上的定积分定义为i其中.：x=max|X|.i，

b nI二af(X)dX二顾.°1f(i)X,；b b⑵定积分的值与积分变量无关，即［f(x)dx=［f(t)dt;b a a［(3) f(x)dx=- f(x)dx,特别地f(x)dx=O.［定积分的几何意义设f(x)在［a,b］上边续，［f(x)dx在几何上表示介于iy=f(x)x=a,x=b之间各部分面，在x，在x轴下方取负号.利用定积分的几何意义，可以计算平面图形的面积，也是考纲中要求的定义应用内容.3.2】()f(x)在区间［a,b］上可积，f(x)在［a,b］上有界.3.2】()f(x)在区间［a,b］上连续，f(x)在［a,b］上可积.【定理3.4】(可积的充分条件)在区间［a,b］上只有有限个间断点的有界函数f(x)在该区间上可积.定积分的性质设f(x),g(x)在［a,b］上可积b b(1)［kf(x)dx=k［f(x)dx,k为常数；b b b⑵J［f(x)±g(x)］dx=〕f(x)dx±Jg(x)dx;a a⑶对积分区间的可加性对任意三个数⑷比较性质设f(x)^g(x),x・［a,b］,则

a,b,c,总有

//IIb b［f(x)dxE［g(x)dx.特别地1°若f(x)-0,X

b［a,b］,则.f(x)dx—0;*ab b2°Jf(x)dx列|f(x)|dxa ab(5)dx=b-a.a【定理3.5】(估值定理)若f(x)在［a,b］上的最大值与最小值分别为M与m,则bm(b-a)空f(x)dx空M(b-a).a【定理3.6】(积分中值定理)若f(x)在［a,b］上连续,则在［a,b］上至少存在一点E，使abf(x)dx二f()(b-a).a1上式若写成「)一f,该式右端称为函数f在区间［b］.ba扫微积分学基本定理3.7】()在区间［a,b］上连续，则函数f(x)在[a,b]dfx设(x)；-(x)可导

:：J(x)adxr

f(t)dt

二f(x).丿【推论1】设①(x)=[f(t)dt,则①(x)=f(®(x))申"(x).2】设尬

(x)f(t)dt,则(x)二f((x)):(x)-fC(x)p(x).；(x)【推论3】①(x)=[f(t)g(x)dt,则「- Qx) = Qx)

-I'i①(x)=|g(x)[f(t)dt=g(x)L f(t)d^g(x)f^(x)^\x).【定理3.8】(牛顿-莱布尼茨公式)若函数f(x)在区间［a,b］上连续，F(x)是f(x)在［a,b］上的一个原函数，则bjf(x)dx=F(x)

=F(b)-F(a).上述公式也称为微积分基本定理

，是计算定积分的基本公式计算定积分的方法和重要公式II .(1)直接用牛顿-莱布尼茨公式这时要注意被积函数f(x)在积分区间［a,b］上必须连续.(2)换元积分法【公式3.4】设函数f(x)在区间［a,b］上连续，而函数x=F:(t)满足下列条件：1° ：(t)在区间「，订上是单调连续函数2° ()=a,(J-b;3° ：(t)在［,|B则af(x)dx二f((t))「(t)dt.该公式从右端到左端相当于不定积分的第一换元积分法

；从左端到右端相当于不定积分的第二换元积分法，即用定积分的换元积分法与不定积分的换元积分法思路是一致的应地变换积分上下限•分部积分法【公式3.5】设函数u(x),v(x)在区间［a,b］上有连续的导数，则

，要相bb bbfu(x)v"(x)dx=u(x)v(x)-［v(x)『(x)dx.站 a用该公式时，其思路与不定积分法的分部积分法是相同的.除此此外，当被积函数为变上限的定x b积分时，，设f(x)(t)dt,af(x)dx,这时，应设u=f(x)dvdx.计算定积分常用的公式T 21° 扁 2x=才旧2T 22°奇偶函数积分设f(x)在［-a,a］上连续，则厂I\\/■/aa1aaa3°=f(x)dx=2.」f(x) f(-x)］dx二0［f(x)f(-x)］dx.计算定积分，当积分区间为［-a,a］时,应考虑两种情况：其一是函数的奇偶性；其二是作变量替换x=-u,用上述公式3°,当公式右端的积分易于计算时，便达目的.4°周期函数积分设f(x)是以T为周期的周期函数，则5f(x)T，丿

a-T T/f(x)dx=(f(x)dx.第六讲,* 'i:L II j1I•重点： 广义积分、利用定积分的性质还应平面图形面广义积分i.|

(直角坐标系下).. 前面引进的定积分

f(x)dx有两个特点：积分区间为有限区间；被积函数f(x)在［a,b］上为连续a函数或只有有限个第一类间断点,从而f(x)在［a,b］上是有界函数.广义积分是指具有下列两个特点之一的积分：积分区间为无穷区间；被积函数f(x)为有限区间上的无界函数.MBA大纲只要求无穷区间上的积分.无穷积分在概率中广泛应用.无穷区间上的积分【定义3.4】函数f(x)在区间［a,+s］上有定义，在［a,b］(a<bv+x)上可积.若极限Ji^gbf(x)dx存在,则称广义积分〕f(x)dx收敛,并规定a欢迎共阅若上述极限不存在，则称广义积分

f(x)dx发散.类似地，广义积分f(x)dx用极限的存在与否来定义它的敛散性•函数f(x)在(二,=)上的广义积分，定义为其中c是任一有限数，任当等号右端的两个广义积分都收敛时，左端的广义积分才收敛；否则称它是发散的•()面积公式1y二f(x)，xa,xb(a:::b)y0所围图形的面积IZ2°曲线y=f(x),y=g(x)和直线x=a,x=b(a:::b)所围图形的面积3°曲线xV:(y)，直线y=c,y=d(c:::d)及x=0所围图形的面积4°曲线x二(y),x-*(y)和直线y二c,y=d(c:::d)及x二0所围图形的面积解题程序1°据已知条件画出草图；2°选择积分变量并确定积分限：直接判定或解方程组确定曲线的交点；3°用相应的公式计算面积.【说明】选择积分变量时，一般情况下计算面积时，图形不分块或少分块为好•第七讲第四章多元函数微分学.*F '|性、』 I.I~_ J一、重要定义、定理及公式I1多元函数、极限与连续概念【定义4.1】(二元函数定义)以x,y为自变量,z为因变量的二元函数记作数对集D是函数的定义域，f是由(x,y)对应z的法则;若记Z二｛z|z二f(x,y),(x,y)D｝，则Z是函数的值域.几何意义函数z=f(x,y),(x,y)•D,其图形是空间直角坐标系下一张空间曲；该曲面在Oxy平面上的投影区域就是该函数的定义域 D.4.2】()z二f(x,y)P°(x0,y。)P。以外都有定义如果动点Py卩0(心丫0。)，y2趋向于0时，f,)趋向于一个常数A，那么就称A为P趋向于Po时函数f(x,y)的极限，记作欢迎共阅欢迎共阅o4.3】(连续性)f(x,y)P0(x0,y0)，若f(x,y)P连续f(x,y)P间断.o4.4】(最值定理)D，在D上必有最大值和最小值2. 偏导数o 4.5】(偏导数定义)z二f(xy)在点(x，y)xo f(xyZ 淀义为x ° °

(3%(X

,y。)z=f(x,y)

(x，y

)关于y的偏导数记作f

(x,y

),z* 、，ooo o ； o oo

(x,y)、，色/ 、;定义为o o o 创(x,y)矽o o o 函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)的偏导数分别记作偏导数存在与连续的关系 ；

. ”/xyy 二元函数xyy

)在点 ( ,0 o

、、、/J【定义4.5】(高阶偏导数)函数z=f(x,y)在偏导数竺>—关于x和关于y的偏导数，称为&x cyf(x,y)的二阶偏导数，共有四个：xy 4.6z=f(xy)f(xy)f(x,y)D内连续，xy x； f (x,y)=f (x,x； 3多元函数的极值II 2II4.7】()z二f(xy)F0(xo,yo)的某邻域内若有f(x,y)：：f(xo,y。