双曲线基础知识题

双曲线一、基本知识概要：双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F,F距离的差的绝对值等于2a（2a<1FFI）的点的轨1212迹，即点集I||PFj-\PF2\=2a|（2a=\FF^为两射线；2a>\FF^无轨迹。）无外面的绝对值则为半条双曲线，左-右为右支，上-下为下支等。第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数（e>1）的动点的轨迹。即点集]p迹。即点集]pI牛=e>1]=]pPF———=e>1d2一个比产生整条双曲线。2.双曲线的标准方程及几何性质标准方程X2 y2=1(a>0,b>0)a2 b2y2 X2=1(a>0,b>0)a2 b2图形lit性质焦占八、、八、、F1（7°），F2（C，0）F1(0，-c)，F2(o,c)焦距1FiF2|=2c a2+b2=c2一个RtA范围IxI>a,ygRIyI>a,xgR对称性关于x轴，y轴和原点对称顶点(—a,0)。(a,0)(0，—a)(0，a)轴实轴长2a,虚轴长2b准线,a2x=土——c±a2y=±—c渐近线X土2=0。y=±ab ax丄y c 丄a_±_=0oy=±_xb a bX y y2 x2共渐近线的双曲线系方程 7=k或 =k(k丰0)a2 b2 a2 b2

焦半径P在上支上,r=PF=ex+ar=PF1iiir=PF=ex焦半径P在上支上,r=PF=ex+ar=PF1iiir=PF=ex一ar=PF2222P在右支上,P在左支上,=ey+a=ey一aP在下支上,r=PF=-(ex+a)1r二PF二-(ex一a)一r=PF=-(ey+a)一r21二PF2二一(ey-a)PF=c一amin平面几何性质e= (e>1)，e大开口大a离心率a2 2a2焦准距p= ,准线间距= ,焦渐距=b。c c说明：(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具,所以要对双曲线的两个定义有深刻的认识。双曲线方程中的a,b,c,e,p与坐标系无关，只有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b，一个定位条件，焦点坐标或准线，渐近线方程。求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方程法。直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。x y y2 x2利用共渐近线的双曲线系」--=k或'- =k(k主0)方程解题，常使解法简捷。a2b2 a2b2双曲线的焦半径，当点P在右支(或上支)上时，为ex土a,(ey土a);当点P在左支(或00下支)上时，为-(ex土a),[-(ey土a)];利用焦半径公式，解题简洁明了，注意运用，00重点、难点：深刻理解确定双曲线的形状，大小的几个主要特征量，掌握定义，性质，掌握直线与双曲线的位置关系。思维方式：方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等。二、例题：例1：根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线学-笃=1有共同渐近线，且过点(-3,2<3)；9 16X2y2⑵与双曲线16-宁=1有公共焦点’且过点（22）。x2 x2 y2【解】（1）设所求双曲线方程为c—二91617丰0）'将点（—Z代入得“4,x2y2所以双曲线方程为0-16⑵设双曲线方程为总-总=1'将点宀代入得k二°’x2y2所以双曲线方程为右-g=1。128【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系方程解题简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。x2y2例2：在双曲线〒-牙=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。169【解】设p点的坐标为（X，y），FF分别为双曲线的左’右焦点。•・•双曲线的准线方程为x=±160IPF•・•双曲线的准线方程为x=±160IPFI|16|=IX+I

5|PF|2|161Ix一I5IPF1=21PFI.・.p2在双曲线的右支上。2IPFIIPFC—— C16 16X+ X—\o"CurrentDocument"5 5・•・X二¥。把X二48代入方程x2 y2 3 48 3一=1得y=± 119。所以，P点的坐标为（W，±2^119）169 5 5 5【思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了.例3.（2002年全国，19）设点P到点M（―1,0）,N（1,0）距离之差为2m,到x轴、y轴距离之比为2,求m的取值范围。y解：设点P的坐标为（x,y），依题意得一=2,即y=±2X（X主0）。 （1）X因此，点P（x.y）,M（-1,0）,N（1,0）三点不共线，得||PM|-|PN||<|MN|=2||PM|-PN=2m〉0,.°.0<m<1

因此，点P在以M,N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故三-y=1 (2)m2 1一m2m2（1-m2） - CT- 小将（1）代入（2）,并解得x2= ,t1—m2> —5m2>01一5m2解得0V|m|<£，即m的取值范围为(一£，°)U(0,£)。【思维点拨】本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。例4：已知双曲线——二=1的离心率e>1+迈，左，右焦点分别的为F,F，左准线a2b2 12为l，能否在双曲线的左支上找到一点P,使得IPFI是P到/的距离d与IPFI的等比中112项。【解】设在左半支上存在点P，使IPF|2=1PFId，由双曲线的第二定义知12IPFIIPFITOC\o"1-5"\h\z+= —=e,即丨PF1=eIPFI ①dIPFI 2 11再由双曲线的第一定义，得IPFI—IPFI=2a ②212a 2ae由①②，解得：IPFI—-,IPFI=—-1e—1 2e—1由在APFF中有IPFI+IPFI>2c， .•.互+込>2c12 2 1 e—1e—1解得1解得1-\:2<e<1+\：2利用e=，从③式得e2—2e—1<0ae>1•1<e<1+v2，与已知e>1+、：2矛盾。 二符合条件的点P不存在。【思维点拨】利用定义及假设求出离心率的取值是关键。y2 x2例5.如图，在双曲线二—右=1的上支有三点A(x,y),B(x,6),C(x,y)，它们与点121311233F(0，5)的距离成等差数列。求y+y的值13证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标解:(1)c=、.：12+13=5,故F双曲线的焦点，设准线为l，离心率为e，

由题设有2FB=|FA|+|FC1)分别过A、B、C作x轴的垂线AA2,BB2,CC2,交1于A1，B由题设有2FB=|FA|+|FC1)定义有|FB|=e|BBI，|FA|=e|AA,|FC|=eCC|,代入(1)式，得轴距离的2倍，有2|BBj=AA1+ICCI，此即2x6=y22AC=123线程为X—X/X+X—1 (X式，得轴距离的2倍，有2|BBj=AA1+ICCI，此即2x6=y22AC=123线程为X—X/X+X—1 (X— :y—y 2133),即y—6二一xy一y13x2一x2亠X+ 1 3-2(y―y)132)y2x2由于A、C在双曲线上，所以有-13)二13-12二1312x2一x2y2一y2 x2)二13-12二1312相减得1 3= 11小3,于疋有 *=7^(y+yTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 12 y—y12 1 313\o"CurrentDocument"x一x 25 25故(2)式化为y=一—4X+ ，易知此直线过定点D(0,)。\o"CurrentDocument"y一y 2 213【思维点拨】利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决，中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题。例6：(备用)已知双曲线的焦点在x轴上，且过点A(1,O)和B(-1,0),P是双曲线上异于解】：设双曲线方程为X2一A、B的任一点，如果△解】：设双曲线方程为X2一=1P(Xo,yo)为双曲线上任一点，BN，PM疋APB的两条高，则BN方程为y=匕(X+高，则BN方程为y=匕(X+1)y0PM方程为x二xoy2又Xo2一盂=1得H(Xo，-汐，又H在双曲线上,.X.•・b2二1,所以双曲线方程为x2-y2二1FF2,直线思维点拨】设方程，消参数。例7：(备用)双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为耳3,它的两个焦点分别为F,

j21l过F且与直线FF的夹角为«，且tana=—^,l与线段FF的垂直平分线的交点为P,线段PF与双曲线的交点为Q,且IPQI:|QF2|=2:1，建立适当的坐标系，求双曲线的方程。【解】以FF的中心为原点，F,F所在的直线为x轴建立坐标系，1212x2y2则所求双曲线方程为———厂=1(a>0,b>0)，设F2(c,0)，a2b2 2不妨设l的方程为y=耳(x—c)，它与y轴交点P(0,由定比分点坐标公式Q点的坐标为<由定比分点坐标公式Q点的坐标为<0+2cx=3■<21—cy=3■；21c62 v'21即Q(J,-<c)36一 4