几何-空间几何-正四面体专题2336

几何-空间几何-正四面体专题一．选择题（共6小题1．已知棱长为a的正四面体ABCD内切球O，经过该棱锥A﹣BCD的中截面A．B．C．）为M，则O到平面M的距离为（）D．2．已知正四面体ABCD的棱长为1，球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，则球O的表面积为（）A．4πB．2πC．D．3．已知球O在一个棱长为A．的正四面体内，如果球O是该正四面体的最大球，那么球O的表面积等于（）B．C．2πD．4．半径为1的球面上的四点A，B，C，D是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（）A．B．C．D．5．正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长和底面边长都等于a，有两个正四面体的棱长也都等于a．当这两个正四面体各有棱锥的侧面PAD，侧面PBC完全重合时，得到一个新的多面体，该多面体是（A．五面体B．七面体C．九面体一个面与正四）D．十一面体6．（2006•江西）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面积相等的两部分，设四棱锥A﹣BEFD与三棱锥A﹣EFC的表面将四面体分成体积分别是S1，S2，则必有（）A．S1＜S2C．S1=S2B．S1＞S2D．S1，S2的大小关系不能确定二．填空题（共14小题）7．已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥A﹣BCD三侧棱中点的截面为α，则O到平面α的距离为_________．8．在正四面体ABCD中，其棱长为a，若正四面体ABCD有一个内切球，则这个球的表面积为_________．菁优网9．已知正四面体棱长为a，则它的外接球表面积为1，则其外接球球面上A、B两点间的球面距离为_________．α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值_________．10．正四面体ABCD的棱长为11．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面范围为_________．12．（2006•浙江）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是_________．13．已知正四面体ABCD的棱长为1，若以的方向为左视方向，则该正四面体的左视图与俯视图面积和的取值范围为_________．14．四面体ABCD中，AB=CD=6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于_________．15．正四面体的棱长为_________．a，它的体积为对棱AB、CD之间的距离为16．棱长为1的正四面体ABCD中，_________．17．已知球O是棱长为12的正四面体S﹣ABC的外接球，D，E，F分别是棱SA，SB，SC的中点，则平面DEF截球O所得截面的面积是_________．18．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r=_________．19．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC重心，则=2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在正四面体ABCD中，若△BCD的中心为则=_________．M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，20．设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d，d2，d3，1图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体d，d2，d3，d4，则有d+d2+d3+d4则有d1+d2+d3为定值；由以上平面图形的特性类比空间ABCD内的且P到四任意一点，个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为11为定值_________．©2010-2012菁优网菁优网几何-空间几何-正四面体专题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知棱长为a的正四面体ABCD内切球O，经过该棱锥A﹣BCD的中截面为M，则O到平面M的距离为（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征。专题：计算题。分析：先利用棱长为a的正四面体ABCD的高的公式：h=a，再利用内切球O的半径即为高的，最后利用O到平面α的距离正好是高的，从而得到结果．解答：解：记棱锥A﹣BCD的高为AO1，且AO1=a．O在AO1上且OO1=AO1；AO1与面α交于M，则MO1=AO1，故MO=OO1=AO1=．故答案为：．故选C．点评：本小题主要考查点、线、面间的距离计算、组合体的几何性质、中截面等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．2．已知正四面体ABCD的棱长为1，球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，则球O的表面积为（）A．4πB．2πC．D．考点：球的体积和表面积；棱锥的结构特征。©2010-2012菁优网菁优网专题：计算题。分析：将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，根据球O是正方体的内切球，从而可求球O的表面积．解答：解：将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线∵正四面体ABCD的棱长为O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，可得球1∴正方体的棱长为∵球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，∴球O是正方体的内切球，其直径为∴球O的表面积为故选C点评：本题考查球的表面积公式解题的关键是将正四面体ABCD，补成正方体，使得球O是正方体的内切球．3．已知球O在一个棱长为的正四面体内，如果球O是该正四面体的最大球，那么球O的表面积等于（）A．B．C．2πD．考点：球的体积和表面积；棱锥的结构特征。专题：计算题。分析：已知球O在一个棱长为的正四面体内，如果球O是该正四面体的最大球，那么球O与此正四面体的四个面相切，即球心到四个面的距离都是半径，由等体积法求出球的半径，再由公式求体积解答：解：由题意，此时的球与正四面体相切，由于棱长为的正四面体，故四个面的面积都是=3又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的，又高为=3，故底面中心到底面顶点的距离都是2由此知顶点到底面的距离是=2此正四面体的体积是×2×3=2又此正四面体的体积是×r×3×4，故有r==球O的表面积等于4×π×故选C=2π点评：本题考查球的体积和表面积，解答本题关键是理解球O是该正四面体的最大球，从中得出此时球是正四面体的内切球，从而联想到用等体积法求出球的半径，熟练掌握正四面体的体积公式及球的表面积公式是正确解题的知识保证．4．半径为1的球面上的四点A，B，C，D是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（）C．A．B．D．©2010-2012菁优网菁优网考点：棱锥的结构特征。专题：计算题。分析：由已知可得，半径为1的球为正四面体A﹣BCD的外接球，由正四面体棱长与外接球半径的关系，我们易得正四面体的棱长，求出正四面体的棱长．解答：解：∵正四面体是球的内接正四面体，又∵球的半径R=1∴正四面体棱长l与外接球半径R的关系l=得l=故选D点评：注意牢记：边长为1的正三角形，高为，内切圆的半径为，外接圆半径为；棱长为1的正四面体，侧高为，侧面内切圆的半径为，侧面外接圆半径为；高为，内切球半径为，外接球半径为5．正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长和底面边长都等于a，有两个正四面体的棱长也都等于a．当这两个正四面体各有侧面PAD，侧面PBC完全重合时，得B．七面体C．九面体一个面与正四棱锥的到一个新的多面体，该多面体是（）A．五面体D．十一面体考点：棱锥的结构特征。专题：探究型。分析：由正四棱锥的相邻二个侧面所成的二面角为arccos（﹣），可知得到的新多面体为五面体．角为arccos，角为arccos（﹣解答：解：正四面体每相邻二个面所成的二面题目所说的正四棱锥的相邻二个侧面所成的二面），所以得到的新多面体为五面体．故选A．点评：本题考查棱锥的结构特征，解题时要认真审题，仔细解答．6．（2006•江西）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，与且BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分积相等的成体两部分，设四棱锥A﹣BEFD与三棱锥A﹣EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A．S1＜S2C．S1=S2B．S1＞S2D．S1，S2的大小关系不能确定©2010-2012菁优网菁优网考点：球内接多面体。专题：计算题分析：比较表面积的大小解答：解：连OA、OB、OC、OD，；综合题。，可以通过体积进行转化比较；也可以先求表面积，然后比较．则VA﹣BEFD=V+V+V+VO﹣BEFDO﹣AFDO﹣ABDO﹣ABEV=V+V+VO﹣EFC又VA﹣BEFD=V而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，又A﹣EFCA﹣EFCO﹣AFC，O﹣AEC面AEF公共故SABD+SABE+SBEFD+SADF=SADC+SAEC+SEFC故选C点评：本题考查球的内接体的表面积问题，找出表面积的共有特征是解题简化的关键，是中档题．二．填空题（共14小题）7．已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥A﹣BCD三侧棱中点的截面为α，则O到平面α的距离为．考点：点、线、面间的距离计算。专题：计算题。分析：先利用棱长为a的正四面体ABCD的高的公式：h=a，再利用内切球O的半径即为高的，最后利用O到平面α的距离正好是高的，从而得到结果．解答：解：记棱锥A﹣BCD的高为AO1，且AO1=a．O在AO1上且OO1=AO1；AO1与面α交于M，则MO1=AO1，故MO=OO1=AO1=．故答案为：．©2010-2012菁优网菁优网点评：本小题主要考查点、线、面间的距离计算、组合体的几何性质、中截面等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．8．在正四面体ABCD中，其棱长为a，若正四面体ABCD有一个内切球，则这个球的表面积为．考点：球的体积和表面积。专题：计算题。分析：作出正四面体的图形，球的球心位置，说明OE是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积．解答：解：如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为：a；所以OE为内切球的半径，BF=AF=BE=，所以AE=，BO2﹣OE2=BE2，所以OE=球的表面积为：4π•OE2=故答案为：点评：本题考查正四面体的内切球的表面积，是一道典型题目，考试常考题，考查空间想象能力，计算能力，是©2010-2012菁优网菁优网基础题．9．已知正四面体棱长为a，则它的外接球表面积为．考点：球的体积和表面积。专题：计算题。分析：由正四面体的棱长，求出正四面体的高，设外接球半径为R，利用勾股定理求出R的值，可求外接球的表面积．解答：解：正四面体的棱长为：a，底面三角形的高：a，棱锥的高为：=，设外接球半径为R，R2=（a﹣R）2+解得R=a，所以外接球的表面积为：4πa2=a2；故答案为a2．点评：本题考查球的内接多面体的知识，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．10．正四面体ABCD的棱长为1，则其外接球球面上A、B两点间的球面距离为（π﹣arcos）（或arcos（﹣））．考点：球面距离及相关计算；球内接多面体。专题：计算题。分析：由题意求出外接球的半径，然后求出∠AOB的大小，即可求解其外接球球面上A、B两点间的球面距离．解答：解：正四面体的棱长为1，所以面上的高为，面中心到顶点的距离为，所以正四面体的高为：=．正四面体的内切球半径为r，由等体积法知，，（s是正四面体的底面面积），∴r=，正四面体的外接球的半径为：．设球心为O．©2010-2012菁优网菁优网∴cos∠AOB==，，外接球球面上A、B两点间的球面距离为：．故答案为：．（或arcos（﹣））点评：本题考查正四面体的外接球的球面距离的求法，考查空间想象能力，计算能力．11．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为．考点：平行投影及平行投影作图法。分析：首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果．，投影面积最大应是线段AB相对的侧棱与投影面平行时取到，投影面的最小值应在正四面体的一面与投影面垂直时取到．解答：解：由题意当线段AB相对的侧棱与投影面平行时投影最大，此时投影是关于线段AB对称的两个等腰三角形，由于正四面体的棱长都是1，故投影面积为×1×1=当正四面体的与AB平行的棱与投影面垂直时，此时投影面面积最小，此时投影面是一个三角形，其底面边长为线段AB的投影，长度为1，此三角形的高是AB，CD两线之间的距离，取CD的中点为M，连接MA，MB可解得MA=MB=，再取AB中点N，连接MN，此线段长度即为AB，CD两线之间的距离，可解得MN=，此时投影面的面积是××1=，故投影面的取值范围是故答案为点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题12．（2006•浙江）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是．考点：平行投影及平行投影作图法。专题：计算题。分析：首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果．©2010-2012菁优网菁优网解答：解：因为正四面体的对角线互相垂直，且棱AB∥平面α，当CD⊥平面α，这时的投影面等于正四面体的侧视图的面积，根据正四面体的性质，面积此时最大，是当面ABC⊥平面α面积最小是，此时构成的三角形底边是1，高是正四面体的高面积是，故答案为：[]点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题．13．已知正四面体ABCD的棱长为1，若以的方向为左视方向，则该正四面体的左视图与俯视图面积和的取值范围为．考点：由三视图求面积、体积。专题：计算题。分析：由题意求出左视图的面积，然后确定俯视图面积的指正的范围，即可得到该正四面体的左视图与俯视图面积和的取值范围．解答：解：正四面体ABCD的棱长为1，若以的方向为左视方向，所以左视图为等腰三角形，边长为，面积为=，俯视图面积最小值为等腰三角形，边长为，面积为=，俯视图为对角线是1的正方形时面积最大，面积的最大值为：=，所以该正四面体的左视图与俯视图面积和的取值范围为：．故答案为：．点评：本题是中档题，考查几何体的三视图的画法，空间想象能力，逻辑思维能力和计算能力，找出俯视图的最小值与最大值是解题的关键．14．四面体ABCD中，AB=CD=6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。专题：计算题。分析：把四面体分割成四个小三棱锥，根据体积相等，即可得解取CD的中点E连接AE、BE，取AB的中点F，连接EF由题意知AE⊥CD，BE⊥CD解答：解：©2010-2012菁优网菁优网又∵AE∩BE=E∴CD⊥面ABE又AB=CD=6，其余的棱长均为5∴AD=5，DE=3∴AE=4，同理BE=4∴等腰△ABE底边AB上的高为EF=∴△ABE的面积S=∴三棱锥ABCD的体积V=又=设内切球的半径为R，则球心O到每个表面的距离为R，且球心O到每个表面的距离为R∴三棱锥ABCD的体积V==∴故答案为：点评：本题考查求几何体的体积，利用等体积法求半径，本题采取了割补法的技巧．属中档题15．正四面体的棱长为a，它的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。专题：计算题。分析：先计算此四面体的底面积，再计算它的高，利用公式V=sH即可得此正四面体的体积解答：解：正四面体的底面积为s=a2×=正四面体的底面半径为r=∴正四面体的高H=×===∴正四面体的体积为V=sH=××=故答案为©2010-2012菁优网菁优网点评：本题考查了棱锥体积计算公式，特别是正棱锥、正四面体的体积计算，解题时要善于将空间问题转化为平面问题解决16．棱长为1的正四面体ABCD中，对棱AB、CD之间的距离为．考点：点、线、面间的距离计算。计算题；转化思想。先设AB，CD的中点为E，F，根据正四面体得到EF⊥CD；把问题EF的长，最后在三角形中求出EF的长即AF=BF，进而得EF⊥AB；同理得转化为求可．解：设AB，CD的中点为E，F，连接AF，BF；因为其为正四面体，各面均为等边三角形，边长为1；∴AF=BF=，∴EF⊥AB，同理可得EF⊥CD．即EF的长即为AB、CD之间的距离．∵EF===．即AB、CD之间的距离为．故答案为：．点评：本题主要考察点、线、面间的距离计算．解决本题的关键在于分析出EF的长即为AB、CD之间的距离．17．已知球O是棱长为12的正四面体S﹣ABC的外接D，E，F分别是棱SA，SB，SC的中点，则平面DEF球，截球O所得截面的面积是48π．考点：棱锥的结构特征。专题：计算题；作图题；综合题；数形结合；转化思想。分析：作出图形，设M点球心，Oʹ为截面圆的圆心，求出MOʹ的距离，再求截面圆的半径，求出平面DEF截球O所得截面的面积．©2010-2012菁优网菁优网解答：解：作图如图，设M点球心，可为高SO的四等分点处，Oʹ为截面圆的圆心，可知其在高的中点处，易求出∴s=πr2=48π．∴故答案为：48π点评：本题考查棱锥的结构特征，几何体的外接球的知识，考查计算能力，是基础题．18．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r=．考点：球内接多面体。专题：计算题；新定义。分析：先根据题意作出图形，如图所示，圆O是棱长为F是底面三角形BCD的中心，AG是大圆O的切线，中，求出AE，在直角三角形AEF中，求出AF，再利用△AOG∽△AEF，得出关于O是棱长为1的正四面体ABCD的旁切球的大圆，F是底面三角形BCD的中心，AE是侧面上的中线，AG是大圆O的切线，G为切点，设R，1的正四面体ABCD的旁切球的大圆，G为切点，设大圆的半径为R，在三角形ABCR的方程即可求出答案．AF是正四面体AF是正四面体ABCD的高，解答：解：根据题意作出图形，如图所示，圆A﹣BCD的高，大圆的半径为在三角形ABC中，AE==ED，在直角三角形AEF中，EF=ED=×∴AF==，=，在三角形AOG和三角形AEF中，∵∠OAG=∠EAF，∠AGO=∠AFE=90°，∴△AOG∽△AEF，∴即，∴R=．故答案为：．©2010-2012菁优网菁优网点评：本小题主要考查球内接多面体、棱锥的几何特征、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力．属于基础题．19．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC重心，则=2”．若把该结论推广到空O到四面体间，则有结论：“在正四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点各面的距离都相等，则=3．考点：归纳推理。专题：探究型。分析：设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=