高考真题文科数学(北京测试卷)

2016年高考真题文科数学（北京卷）

文科数学

考试时间：一分钟

题型单选题填空题简答题总分

得分

单选题（本大题共8小题，每小题一分，共一分。）

1.已知集合4={x|2<x<4},3={x|x<3负>5},贝!]=

A.材2*5}

B.{立<4或x>5}

C.{限*3}

D.{木<2如>5}

A.i

B.1+i

C.T

D.1-i

3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为

A.8

B.9

C.27

D.36

4.下列函数中，在区间GLD上为减函数的是

1

AA.y=-----

1-x

B.y=cosx

C.y=1n(x+l)

D.y=2x

5.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为

A.1

B.2

C.

D.2万

6.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为

7.已知A(2,5),B(4,1)若点P(x,y)在线段AB上，则2x-y的最大值为

A.-1

B.3

C.7

D.8

8.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10

名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.

学生序号.，1-&加善5^6^7~和10。

1.91.91.81.81.71.71.71.71.61.6

立定跳远（单位，米）+

的2，2外6^«*&，0*

30秒跳绳（单位：次）.63。375Q60，63P72~70Qerl^枚65。

在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛

的有6人，则

A.2号学生进入30秒跳绳决赛

B.5号学生进入30秒跳绳决赛

C.8号学生进入30秒跳绳决赛

D.9号学生进入30秒跳绳决赛

填空题（本大题共6小题，每小题一分，共一分.）

9.已知向量。=（1,君）,3=（g,l）,则a与b夹角的大小为.

10.函数/（x）=-（x>2）的最大值为.

x-1

1L某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.

on

!l：<I：>例《左）优图

例视图

12.已知双曲线W-口=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(、疗,0),

ab

贝!Ia=;b=.

13在SBC中，乙4=空，a=7Mc,则.

3c

14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种

商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，

则该网店

①第一天售出但第二天未售出的商品有种；

②这三天售出的商品最少有种.

简答题(综合题)(本大题共6小题，每小题一分，共一分。)

已知｛涮是等差数列，｛4｝是等差数列，且A=3,正=9,a=b,如=4

15.求｛an｝的通项公式；

16股Cn=an+bn,求数列｛◎｝的前“项和.

已知函数£(x)=2sin3XCOS3X+COS2cox(3>0)的最小正周期为IT.

17.求3的值；

18.求f(x)的单调递增区间.

某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超

出W立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某

月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

19.如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方

米，w至少定为多少？

20.假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人

均水费.

如图，在四棱推P-ABCD中,PS平面ABCD,AB//DC,DCLAC

/1\

/.，人___、

21.求证：DCJ_平面巳4。;

22.求证：平面上仍_1平面P4C;

23股点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得H41平面CEF?说明理由.

已知椭圆C:W+[=1过点A(2,0),B(0,1)两点

a2h2

24.求椭圆C的方程及离心率；

25.设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于

点N,求证：四边形ABNM的面积为定值.

设函数/(^)=x3+ax2+bx+c.

26.求曲线y=/(x).在点(0,/(0))处的切线方程；

27.设a=Z，=4,若函数/(x)有三个不同零点，求c的取值范围；

28.求证：，-3b>()是/(x).有三个不同零点的必要而不充分条件.

冬室

口

单选题

1.C2.A3.B4.D5.C6.B7.C8.B

填空题

9.

71

6

10.

2

11.

3

2

12.

12

13.

1

14.

1629

简答题

15.

<■、&9c

⑴等比数列也｝的公比夕=社=1=3,

所以4=—=1,"=44=27.

q

设等差数列｛4｝的公差为d.

因为q=4=1,a.=4=27,

所以1+1纭=27,即d=2.

所以为=2〃一1(〃=1,2,3,

16.

由(I)知，4=2〃-1,〃=3~.

因此。”=.+5"=2〃-1+3”T.

从而数列｛5｝的前"项和

Sn=1+3+…+(2〃-1)+1+3+…+3”«

M(1+2M-1)1-3"

21-3

=普十--------・

2

17.

(I)因为/(x)=2sm6zrcosa)x+cos2a)x

=sin2a)x+cos2a)x

=、5sin(20x+q)z

所以/(X)的最小正周期T=『=—.

2a)m

依题意，—=7I,解得0=1.

(O

18.

7T7T

函数歹=sinx的单调递增区间为2kn--,2kn^-—(keZ).

由2br_]<2x+2<2左乃+],

^kn-^-<x<kji+—.

88

,3万,n,

所以/(x)的单调递增区间为k九——,A^4--(左eZ).

OO

19.

由用水量的频率分布直方图知，

该市居民该月用水量在区间[051],(LL5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频

率依次为01，0.15,0.2,0.25,0.15.

所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.

依题意，w至少定为3.

20.

由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：

组号

1

2

3

4

5

6

7

8

分组

RM]

(4,6]

38]

(8,10]

(10,12]

(12,17]

(17,22]

(22,27]

频率

0.1

0.15

0.2

0.25

0.15

0.05

0.05

0.05

根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：

4x0.1+6x0.15+8x0.2+10x0.25+12x0.15+17x0.05+22x0.05+27x0.05

=10.5(元).

21.

(I)因为PC_L平面ABCD,

所以PC_LDC.

又因为DCJLAC,

所以DC_L平面PAC

22.

因为AB//DC,DC±AC,

所以ABJLAC.

因为PCJ_平面ABCD,

所以PC_LAB.

所以ABI,平面PAC.

所以平面PAB_L平面PAC.

23.

棱PB上存在点F，使得PA〃平面CEF.证明如下：

取PB中点F,连结EF,CE,CF.

又因为E为AB的中点，

所以EF//PA.

又因为PAa平面CEF,

所以PA//平面CEF.

24.

由题意彳导，a=2,b=\.

r2

所以椭圆C的方程为—+/=1.

4

又c=Vzi2—b1=y/31

所以离心率e=£=走

a2

25.

设PG。,%)(0<0,%<。)，则£+4立=4.

又A(2,0),B(O,l),所以，

直线PA的方程为丁=々;卜一2).

令x=0,得％=--~~,从而|BM|=1-％=1+2^°.

/一/xQ-Z

y—1

直线PB的方程为丁=为一x+l.

令…，得/,从而心|=2-/=2+/.

所以四边形ABNM的面积

5=^|AN|-|BM|

X：+4y：+4/%—4%-8%+4

2(x01yo—%—2%+2)

2/%―2/4%+4

/%_/_2%+2

2.

从而四边形ABNM的面积为定值.

26.

由/(x)=x3+ax2+bx+c，得/,(x)=3x2+2ax+b.

因为/(。)=。，r(o)=》，

所以曲线y=/(x)在点(O,/(O))处的切线方程为y=bx+c.

27.

当a=Z>=4时，/(X)=X3+4X2+4X+C,

所以/'(X)=3X2+8X+4.

2

令/'(x)=。,彳导3%2+8x+4=0,解彳导x=—2或x=—§.

〃x)与/'(X)在区间(ro,*。)上的情况如下：

X

(--2)

-2

2

3

*

/'(x)

+

0

■

0

+

□

c

□

32

c-----

27

□

所以，当c>0且c—为<0时，存在X]e(-4,-2),x2e^—2,——,

三仁一|，0)，使得/(%)=/卜2)=/(吃)=。.

由/(x)的单调性知，当且仅当时，函数/(0=丁+4，+4工+。有三个不同

零点.

28.

当A=4fl2一i2b<0时，f'(x)=3xz+2ax+b>Q,xe(-<n,+oo),

此时函数/(X)在区间(—，位)上单调递增，所以/(X)不可能有三个不同零点.

当A=4z?一126=0时，/'卜)=3必+2。+6只有一个零点，记作。.

当X<T»,XO)时，f'[x}>0,在区间(Tn/。)上单调递增；

当xyx。,他))时，/'(x)>0,/(x)在区间(X。,”)上单调递增.

所以/(x)不可能有三个不同零点.

综上所述，若函数/(x)有三个不同零点，则必有A=4/2—i2b>0.

故〃—3b〉0是/(x)有三个不同零点的必要条件.

当。=办=4,c=O时，a2-36>0,/(工)=/+4，+4X=工(*+2)2只有两个不同零

点

所以A2-36>0不是/(x)有三个不同零点的充分条件.

因此4-36>0是/(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.

解析

单选题

1.

4n8={冲＜*＜3}

2.

l+2{_(1+20(2+0

2-i-(2-/M2+0~l

3.

由程序框图得k=os=0k=ls=lk=2s=9k=3不满足上＜2所以输出s=9

4.

画出每个函数的图像，由图像得d是对的

5.

圆心(-1,0)直线为x-y+3=0由点到线的距离公式得：

d=S阳山=&

J^+B2V2

6.

设5个人分别为abcde

(a,b)(a,c)(a,d)(a,e)(b,c)(b,d)(b,e)(c,d)(c,e)(d,e)

42

含a的情况有：(a,b)(a,c)(a,d)(a,e)所以a被选中的概率为：—

7.

由线性规划的知识可知，在（4,1）处2x-y取得最大值为7在（2,5）处2x-y取得最小值

为T

8.

由题意得立定跳远决赛的有8人，所以序号为123,4,5,6,7,8的学生入选，又因为同时进入

立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，所以30秒跳绳决赛的6人一定从1~8学号的学

生选取，假设5号不入选，那么1~8序号的学生中有5人入选，与题意6人入选矛盾，所

以5号一定入选。

填空题

9.

+㊁%―6+百_619=-

彳唇m2X226

10.

_,X—-X—1+1.1

㈣出歹=----的图像y=-------=1+----

x-1x-1x-1

由图像可知当工之2