2020年高中数学课时跟踪检测含解析(全一册)新人教A版

2020年高中数学

课时跟踪检测含解析

新人教A版

课时跟踪检测一变化率问题导数的概念

课时跟踪检测二导数的几何意义

课时跟踪检测三几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

课时跟踪检测四复合函数求导及应用

课时跟踪检测五函数的单调性与导数

课时跟踪检测六函数的极值与导数

课时跟踪检测七函数的最大小值与导数

课时跟踪检测八生活中的优化问题举例

课时跟踪检测九定积分的概念

课时跟踪检测十微积分基本定理

课时跟踪检测十一定积分的简单应用

课时跟踪检测十二合情推理

课时跟踪检测十三演绎推理

课时跟踪检测十四综合法和分析法

课时跟踪检测十五反证法

课时跟踪检测十六数学归纳法

课时跟踪检测十七数系的扩充和复数的概念

课时跟踪检测十八复数的几何意义

课时跟踪检测十九复数代数形式的加减运算及其几何意义

课时跟踪检测二十复数代数形式的乘除运算

课时跟踪检测(一)变化率问题、导数的概念

一、题组对点训练

对点练一函数的平均变化率

1.如果函数/=@田+6在区间［1,2］上的平均变化率为3,则a=()

A.—3B.2C.3D.—2

解析：选C根据平均变化率的定义，可知?=(2a+?―(a+2=4=3.

△x2—1

2.若函数/'(x)=-f+10的图象上一点仔，斗］及邻近一点仔+Ax,牛+△,,则仁

)

A.3B.—3

C.-3—(△X)2D.一△x-3

解析：选D(A",

.△y—3AA4

，工==一3—Ax.

3.求函数尸F(x)=；在区间[1,1+Ax]内的平均变化率.

解：VAy=A1+Ax)-Al)=--1

q;i+△x

l-dl+Ax1—(1+Ax)

[1+Ax(11+△xy\jl+△x

——△x

一(1+W+Ax)yJl+Ax'

.»y________]_「

••△丁(1+71+AxRl+Ax'

对点练二求瞬时速度

4.某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=N—2表示,

则此物体在f=lS时的瞬时速度(单位：《1人)为()

A.1B.3C.—1D.0

答案：B

5.求第4题中的物体在而时的瞬时速度.

解：物体在♦时的平均速度为]=1>+[?―尻咐

(一+A。3—2—(4一2)39At+3奴△。2+(、H

△t~△t

=34+3toAt+(At)

因为)原故此物体在友时的瞬时速度为

Alifm-0[3t»+3toAt+(A£2]=3f=34m/s.

6.若第4题中的物体在友时刻的瞬时速度为27m/s,求的值.

M一网友+At)-(6)+A一2一(4—2)

解：由“=------y------=-------七--------

3△f+3to(△1)“+(△f)3c21cA、/、、2

=---------------7—^_-_乙=34+310△f+(At)\

△t

因为△△)

lAifm-0[3io4-3tof+(Z']=34.

所以由34=27,解得to=±3,

因为to>O,故fo—3>

所以物体在3s时的瞬时速度为27m/s.

对点练三利用定义求函数在某一点处的导数

7.设函数f(x)可导，则眄“1+黑力―/⑴等于()

ALQ3Ax

A.f(1)B.3〃(1)

c.(i)i).f(3)

J

例希啡Ai.染+3")-«1)

解析：选Alim--------五二』(D.

8.设函数f(x)=ax+3,若F(1)=3,则a等于()

A.2B.—2C.3D.—3

解析：选C-：f⑴=1坷“l+；x)-.l)

ALO△x

&1+△x)+3—(d+3)

=lim,==a,♦・a=3.

Ax-0bx

9.求函数f(x)在x=l处的导数/(1).

解：由导数的定义知，函数在X=1处的导数F(l)=lim""二一"而

41+4才)一/(1)1又题目不4,所以产⑴高

、x.Xx-，1+Ax+1

二、综合过关训练

1.若『⑸在户施处存在导数'则四）

A.与施，/;都有关B.仅与选有关，而与人无关

C.仅与力有关，而与加无关D.以上答案都不对

解析：选B由导数的定义知，函数在x=刖处的导数只与加有关.

2.函数y=/在施到施+Ax之间的平均变化率为k\,在刘一Ax到刘之间的平均变化

率为左，则尢与人的大小关系为（）

A.kiyk2B.&＜攵2

C.k尸k2D.不确定

而々*K,*n:«Xo+Ax)-«x。)(Xo+Axf—-

国牟析：选Dki-----------------------------—2施+△笛

△x△x

f{Xo\—f{XQ~△x)/一(xo-Ax\

K2=------7--------=-----7------=2照一△

bx△

因为Ax可正也可负，所以人与儿的大小关系不确定.

3.46两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量用（力，wtw、

似》与时间寅天）的关系如图所示，则一定有（）

A.两机关节能效果一样好

B.4机关比6机关节能效果好F｛建

C.4机关的用电量在［0,如上的平均变化率比8机关的用电量在［0,端上的平均变化

率大

D.1机关与8机关自节能以来用电量总是一样大

解析：选B由题图可知，/机关所对应的图象比较陡峭，8机关所对应的图象比较平

缓，且用电量在［0,加上的平均变化率都小于0,故一定有/机关比6机关节能效果好.

4.一个物体的运动方程为s=l—其中$的单位是：m,t的单位是：s,那么物

体在3s末的瞬时速度是（）

A.7m/sB.6m/s

C.5m/sD.8m/s

解析：选C../」r3+Af)+”"rL3+3”5+A

As

/.lim(5+At)=5(m/s).

ALOAZALO

5.如图是函数y=f(x)的图象，则

(1)函数/"(x)在区间［-1,1］上的平均变化率为一

(2)函数f(x)在区间［0,2］上的平均变化率为.

解析：(1)函数F(x)在区间［-1,1］上的平均变化率为

1-(—二1)ZZ

fx+3_1

~~~,一IWxWl,

(2)由函数/Xx)的图象知，f(x)=J2

、x+l,l〈xW3.

所以，函数Ax)在区间［0,2］上的平均变化率为“2厂10)=二=1

Z—0z4

13

答案：(1)2⑵；

6.函数y=一十在点x=4处的导数是.

解析：.••△/=一亚廿十东

11，4+Ax-2

2.4+Ax2寸4+△x

___________Ax_________

-2.4+A74+△x+2)'

.Ay广_I_

'"△尸274+A//4+4x+2),

.,..i

IAxI2y4+AXV4+Ax+2)

_________1__________1_

-2X^4X(^4+2)-16'

“I」

••y*4-jg.

答案：

16

7.一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s=3£一次位移：叱时间：s).

(1)求此物体的初速度；

(2)求此物体在t=2时的瞬时速度;

(3)求力=0到t=2时平均速度.

解：⑴初速度的=!匹"A?L°)=!再"=!囱(3一△a=3(m/s).

即物体的初速度为3m/s.

£2+△t)—s(2)

⑵片1期

3(2+△£)—(2+△方—(3><2—4)

一(△广At

lim(―At—1)=—1(m/s).

Ar—0

即此物体在/=2时的瞬时速度为1m/s,方向与初速度相反.

s(2)-s(0)6-4-0

—1(m/s).

即t=0至IJt=2时的平均速度为1m/s.

8.若函数f(x)=-d+x在［2,2+Ax］(Ax>0)上的平均变化率不大于-1,求△了的

范围.

解：因为函数f(x)在［2,2+Ax］上的平均变化率为:

Ay/(2+Ax)—«2)

一(2+A冷2+(2+△X)—(-4+2)

—4Ax-\-Ax—(Ax)1

=­=—3—Ax,

Ax

所以由一3一AxW-l,

得△x2一2.

又因为Ax>0,

即的取值范围是(0,+8).

课时跟踪检测（二）导数的几何意义

一、题组对点训练

对点练一求曲线的切线方程

1.曲线y=f+ll在点(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()

A.-9B.-3C.9D.15

解析：选C:切线的斜率k=lim/=1im(1+」可+11-12

ALO△XA.r-oAX

,1+3•Ax+3•(A^)2+(AX)3-1

=1出-------------Ax—

=lim[3+3(△x)+(△x)1=3,

Ax—O

.•.切线的方程为y—12=3(x—1).

令x=O得y=12-3=9.

2.求曲线在点g,2)的切线方程.

11

△Vx+&xx—11

解：因为y'=lim——=lim---;-----=lim-TT----7=—2,

ALO△X&LO△X&，L(}x+x•△xX

所以曲线在点（；，2）的切线斜率为“=/|x=g=-4.

故所求切线方程为y—2=—41一习，即4x+y-4=0.

对点练二求切点坐标

3.若曲线y=/+ax+6在点（0,⑸处的切线方程是*―/+1=0,则（）

A.a=l,b=lB.a=­1,b=1

C.a=l,b=—lD.a=­1,Z?=~1

解析:选A催点（0,8）在直线x—y+l=O上,：.b=l.

（x+Ax）2+a（x+Ax）+l—x—ax—l

又/=1期--------------------------------=2x+a,

.♦•过点（0,»的切线的斜率为V|i=a=L

4.已知曲线尸29+4x在点〃处的切线斜率为16,则点夕坐标为—

解析：设析（凡2篇+4a）.

«施+△x）一4用）2（△工）'+4刘△x+4Ax

则/（xo）—lim=4岗+4,

又,：f(新)=16,，4场+4=16,...旅=3,；.P(3,30).

答案：(3,30)

5.曲线尸的切线分别满足下列条件，求出切点的坐标.

(1)平行于直线y=4x—5；

(2)垂直于直线2x-6y+5=0；

(3)切线的倾斜角为135°.

设尸(加加是满足条件的点.

(1)：切线与直线y=4x—5平行，；.2刘=4,.•.xo=2,%=4,即户(2,4),显然尸⑵4)

不在直线尸4x—5上，.•.符合题意.

]39,39、

(2)：切线与直线2x—6y+5=0垂直，.北施•§=T,.5=一1,%即(一],才.

(3)：切线的倾斜角为135°,.•.其斜率为-1,即2x0=—1,；.园=一%=；,即

\2,4/

对点练三导数几何意义的应用

6.下面说法正确的是()

A.若f(扬)不存在，则曲线y=f(x)点(即/(加)处没有切线

B.若曲线y=f(x)在点(施，丹曲))处有切线，则f(施)必存在

C.若f(8)不存在，则曲线尸f(x)在点(灰，f(x。))处的切线斜率不存在

D.若曲线y=F(x)在点(粉/•(刘))处没有切线，则，(扬)有可能存在

解析：选C根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(施，㈤处有导数，则切线一

定存在，但反之不一定成立，故A,B,D错误.

7.设曲线尸/"(X)在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线()

A.垂直于x轴B.垂直于y轴

C.既不垂直于x轴也不垂直于y轴I).方向不能确定

解析：选B由导数的几何意义知曲线f(x)在此点处的切线的斜率为0,故切线与y轴

垂直.

8.如图所示，单位圆中弧的长为8/Xx)表示弧A?与弦4?所/一、

围成的弓形面积的2倍，则函数y=f(x)的图象是()I(1\

A'B

x

解析：选D不妨设力固定，8从1点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧18

长度很小,这时给x一个改变量Ax,那么弦46与弧48所围成的弓形面积的改变量非常小，

即弓形面积的变化较慢；当弦接近于圆的直径时，同样给x一个改变量Ax,那么弧

与弦48所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始,

随着8点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢.由上可知函数尸M*)

图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选

项知D正确.

9.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=/(x)的图象可能是(填序

号).

解析：由y=f(x)的图象及导数的几何意义可知，当水0时f(x)>0,当x=0时，f(x)

=0,当x>o时，faxo,故②符合.

答案：②

二、综合过关训练

1.函数F(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(

A.0<f(a)<r(a+l)</(a+l)-/(a)

B.0<f(a+l)<f(a+l)-f(a)<f‘(a)

C.0<r(a+l)</(aXAa+D-Aa)

D.0<Aa+l)-Aa)<r(a)<r(a+1)

解析：选Bf(a),f(a+1)分别为曲线f5)在*=@,x=a+l处的切线的斜率,

/(a+1)—«a)

由题图可知/(a)>F'(a+l)>0,而f(a+l)-F(a)=表示(a,f(a))与(a+1,

(a+1)-a

f(a+l))两点连线的斜率，且在f(a)与(a+1)之间./.0<r(a+l)<Aa+l)-

(a).

2.曲线在点P(2,1)处的切线的倾斜角为()

X—1

；—AX△V-1

角窣析：选D△尸;)、------7~7=;।.—1=.,,slim".■—=—

2+Ax—12—11+Ax1+△y…。Ax…。1+Ax

L斜率为一1,倾斜角为牛.

3.曲线尸f—2x+i在点(i,o)处的切线方程为()

A.y=x—\B.y=­x+l

C.y=2x—2D.y=—2x+2

解析：选A由Ay=(l+A%)3-2(1+A^)+1-(1-2+1)=(AX)3+3(A%)2+A^r

得lim?=lim(△x/+B△x+1=1,所以在点(1,0)处的切线的斜率A=1,切线过点(1,0),

Ax—O△XAA-0

根据直线的点斜式可得切线方程为y=x-i.

4.设代为曲线/"(x)=£+x—2上的点，且曲线在耳处的切线平行于直线y=4x—1,

则片点的坐标为()

A.(1,0)B.(2,8)

C.(1,0)或(一1,—4)D.(2,8)或(一1,—4)

.(x+△x)"+(x+△x)—2—(f+x—2)

解析：选CfU=lim--------———d—--------------

A/-0△x

=lim(3」+1)△△立+(△式=3召+1.由于曲线/•(入)=系+矛―2在H处的切线平行

Ax-0AX

于直线y=4x-l,所以f(x)在&处的导数值等于4.设R(刘，㈤，则有/(.)=3/+1=

4,解得施=±1,耳的坐标为(1,0)或(-1,—4).

5.已知二次函数y=F(x)的图象如图所示，则y=f(x)在4、8

两点处的导数f(a)与f⑶的大小关系为：

f(a)_f(⑸(填“〈”或

解析：f(a)与f'(6)分别表示函数图象在点/、6处的切线

斜率，故/(a)>F(6).

答案：〉

6.过点P(—1,2)且与曲线y=3f—4x+2在点水1,1)处的切线平行的直线方程为

解析：曲线y=3f—4x+2在点水1,1)处的切线斜率k^y'=lim

3(1+4*)2—4(1+Ax)+2—3+4—2

腐(3Ax+2)=2.所以过点P(—1,2)的直线的斜

&x

率为2.由点斜式得y-2=2(x+l),即2%-y+4=0.所以所求直线方程为2x-y+4=0.

答案：2x―什4=0

7.甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试

(1)甲、乙二人哪一个跑得快？

(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？

解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大，故乙跑得快；

(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大，故快到终点时，乙跑得快.

8.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到p

最高时爆裂.如果烟花距地面的高度Mm)与时间Ms)之间的关系式为不

从Z)=-4.91+14.7L其示意图如图所示.根据图象，结合导数的几何V

意义解释烟花升空后的运动状况.M—六

解：如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在r-1.5s

附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0,达到最h\~A

高点并爆裂；在0-L5s之间，曲线在任何点的切线斜率大于0且切W

线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小~/

的速度升空；在L5s后，曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的

倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地.

课时跟踪检测(三)几个常用函数的导数、基本初等函数的

导数公式及导数的运算法则

一、题组对点训练

对点练一利用导数公式求函数的导数

1.给出下列结论:

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

解析：选B因为(cosx)'=—sinx,所以①错误.sin—=＞而=°，

所以②错误.冏,=0一歹二手=子，所以③错误.(一划,

131

谟―所以④正确.

2.已知/"(x)=x"(aGQ*),若f(1)=(,则。等于()

1111

a

A.3-B.2-8-D.4-

解析：选D(才)=。才”[

，/、1

"(1)=。=[

对点练二利用导数的运算法则求导数

3.函数夕=5：111X9cosX的导数是()

A.yf=cos"-sin%B.y'=cos'x-sir?x

C.y'=2cosx,sinxD.y'=cosx,sinx

解析：选By'=(sinx•cosx)'=cosx•cosx+sinx•(—sinx)=cos2^—sin2%.

4.函数尸工的导数为

x+3

_(六),(x+3)_.(x+3)，_2A(x+3)—f_殳+6x

解析:y'一(x+3)2=~(x+3>-=(x+3广

行3攵+6x

口案：(x+3f

5.已知函数f(x)=axlnx,(0,+°°),其中a为实数，F(x)为F(x)的导函数.若

f(1)=3,则a的值为________.

解析：ff(x)=a(lnx+x•0=a(l+lnx),由于f(1)=a(l+ln1)=a,又£(1)

=3,所以a=3.

答案：3

6.求下列函数的导数.

不

(l)y=sinx-2x；(2)y=cosx•Inx；(3)y=~7-----.

smx

解：(l)y'=(sinx—2x)1=(sinx)'—(2/)r=cosx—4x.

(2)yl=(cosx•Inx)'=(cosx)f•Inx+cosx•(Inx)'=­sinx•Inx+

cosx

x°

_(Q_(e)•sinx-e"•(sin»_e'•sinx-e*•cosx_

3，(sinx)sin、sir?x

e”(sinx-cos力

si•n2x•

对点练三利用导数公式研究曲线的切线问题

7.(2019•全国卷I)曲线尸3(f+必/在点(0,0)处的切线方程为..

解析：y'=3(2x+l)e*+3(f+x)e*=e*(3f+9x+3),

.•.切线斜率X=e°X3=3,.•.切线方程为y=3x.

答案：y=3x

8.若曲线f(x)=x・5简*+1在犬=+处的切线与直线ax+2y+l=0互相垂直，则实

数a—.

解析：因为尸(x)=sinx+xcosx,所以F(司=sin万十万cos5=1.又直线ax

+2y+l=0的斜率为一/所以根据题意得1X(—*=-1,解得a=2.

答案：2

9.已知aGR,设函数F(x)=ax—Inx的图象在点(1,F(D)处的切线为/,则/在y

轴上的截距为

解析：因为/(x)=a-：，所以f(D=a—1,又/'(l)=a,所以切线/的方程为y

—a=(a—1)(x—1),令x=0,得p=L

答案：1

10.在平面直角坐标系才分中，点P在曲线Gy=7-10%+13±,且在第一象限内，

已知曲线C在点〃处的切线的斜率为2,求点〃的坐标.

解：设点尸的坐标为(加内)，因为V=3/-10,所以3/一10=2,解得选=±2.又

点〃在第一象限内，所以质=2,又点尸在曲线。上，所以H=23-10X2+13=1,所以点〃

的坐标为(2,1).

二、综合过关训练

1.汇(x)=sinx,/；(*)=/o(x),i(x),…，E+i(x)=F〃(x),〃£N,则

fl019(X)=()

A.sinxB.—sinxC.cosxD.—cosx

解析：选D因为(x)=(sinx)'=cosx,f2[x}=(cosx)'=—sinx,£(x)=(一

sinx)1=—cosx,£(x)=(-cosx)'=sinx,f5(x)=(sinx)r=cosx.所以循环周

期为4,因此分oi9(X)=/Kx)=—cosx.

¥1

2.已知曲线旷=^一31nx的一条切线的斜率为5,则切点的横坐标为()

A.3B.2C.1D.1

解析：选A因为v=Tv--3,所以根据导数的几何意义可知，x5—32=5,解得x=3(x

乙X/X乙

=-2不合题意，舍去).

3.曲线尸.—在点1仟，0)处的切线的斜率为()

smx十cosx2\4)

11也也

A.--B.-C.一看D.彳-

cos*sinx+cos力一sinA(COSx-sinx)______]__n

解析：选B(sinx+cos%)21+sin2xX4

代人得导数值为:，即为所求切线的斜率.

4.已知直线y=3x+l与曲线尸aY+3相切，则a的值为()

A.1B.±1

C.—1D.—2

解析：选A设切点为(xo,jb),则为=3照+1,且％=a/+3,所以3选+1=@京+3…

①.对尸a/+3求导得y'=3/,则3•=3,痴=1…②，由①②可得照=1,所以a=

1.

5.设石为实数，函数〃*)=寸+之9+心—3)才的导函数为/(才)，且/J)是偶函数,

则曲线尸f(x)在点(2,A2))处的切线方程为.

解析：f(x)=3/+2a%+a—3,

,:f(x)是偶函数，・・・a=0,

2

A/U)=x—3xff(x)=3%—3,

"(2)=8—6=2,f(2)=9,

・,・曲线y=f(x)在点(2,F(2))处的切线方程为y-2=9(才一2),

即^x—y—16=0.

答案：9x-y-16=0

6.设f(x)=x(x+l)(x+2)・・・(x+〃)，则/(0)=.

解析：令g(x)=(x+1)(x+2)…(x+〃),则f(x)=xg(x),

求导得/(x)=x'g(x)+xg'(x)=g(x)+xg'(x),

所以/(0)=g(0)+0X"(0)=g(0)=lX2X3X…X〃.

答案：1X2X3X…X〃

7.己知曲线尸x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线尸a/+g+2)x+i相切，则己=

解析：法一：•.•y=x+lnx,

=l+p/lx=i=2.

.,・曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y—l=2(x—1),即p=2x—1.

Vy=2x—1与曲线y=ax+(a+2)x+1相切，

・・・a¥0(当己=0时曲线变为y=2x+l与已知直线平行).

|y=2x—1,

由彳2।।।1消去外得dx-+ax+2=0.

[y=ax+(a+2)x+l,

由△=——8a=0,解得a=8.

法二：同法一得切线方程为尸2x—1.

设y=2x—1与曲线y—ax+(a+2)x+l相切于点(电(2+2)照+1).

V/=2ax+(a+2),

.•・/Ix=xo=2axo+(a+2).

1

[2aAb+(a+2)=2,Ab=~

由《解得j2

〔a瑞+(a+2)xo+1=2照-1,

、a=8.

答案：8

8.设f(x)=f+ax2+"+i的导数J)满足/(1)=25,f(2)=—4其中常数

a,b£R.求曲线y=F(x)在点(1,f(D)处的切线方程.

解：因为f(x)=x-\-ax+bx+\,

所以尸(x)=3x+2ax+b.

令x=l,得f'⑴=3+2a+b,

又/(l)=2a,3+2a+6=2a,

解得6=-3,

令x=2得£(2)=12+4a+4

又/(2)=—bf

所以12+4a+6=-b,

解得a=--

Q5

则f[x}=X--X—3X+19从而

又一⑴=2X«）=-3,

所以曲线尸/'（x）在点（1,/'（1））处的切线方程为了一（一9=一3（*—1）,

即6x+2y—1=0.

9.已知两条直线y=sinx,y=cosx9是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一

点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.

解：不存在.由于尸sinx,y=cosx,设两条曲线的一个公共点为尸（照，为），

,

所以两条曲线在尸（苞，㈤处的斜率分别为％=/lx=xo=cosAb,k2=y|x=Ab=—

SinAb.

若使两条切线互相垂直，必须使cosx（）•（—sin照）=一L

即sinAb•cos照=1,也就是sin2照=2,这是不可能的，所以两条曲线不存在公共

点，使在这一点处的两条切线互相垂直.

课时跟踪检测（四）复合函数求导及应用

一、题组对点训练

对点练一简单复合函数求导问题

1.y=cos>的导数是()

A.yr=­3cos2xsinxB.y'=-3cos2x

C.yl=­3sin'D.y'=_3cosxsinx

r22

解析：选A令£=cosx、则y=汽y'=yj,tx=3t,(—sinx)=—3cos%sin

x.

2.求下列函数的导数.

(l)y=ln(eA+/)；

⑵

(3)y=sinx+cos

解：(1)令〃=e'+f,则尸inu.

iip'+2x

A/=y'u<〃'A=-•(e'+y)'=.2,(e'+2jr)=..

xuex-rxex十x2

,ul3

(2)令u=2x+3,则y=10",.•・_/x=yw•u'.v=10•In10•(2x+3)'=2X10~'ln

10.

(3)y=sinx+cos4x=(sinx+cos2x)2—2sinJx•cos2x=1-^sin22^r=1—­-(l-cos4x)

3,1

=：+TCOS4X.

44

所以/=^~+^cos4,，=—sin4x.

对点练二复合函数与导数运算法则的综合应用

3.函数尸/cos2x的导数为()

A.yl=2xcos2x-x?sin2xB.yl=2xcos2x-2xsin2x

C.yr=xcos2x—2xsin2xD.yl=2xcos2x+2x?sin2x

解析：选By'=(x)'cos2x+x(cos2x)f=2xcos2x+x(—sin2x)•(2x)'=

2xcos2x—2xsin2x.

4.函数y=Wn(2x+5)的导数为()

A.ln(2x+5)-2*+5B.ln(2x+5)+?x+5

X

C.2xln(2x+5)D，2x+5

解析:选By'=[xln(2x+5)r=♦ln(2x+5)+x[ln(2x+5)「=ln(2x+5)+

12x

x•」_二•(2x+5)'=ln(2%+5)+..

2x十52X十5

5.函数尸sin2xcos3x的导数是______.

解析：Vy=sin2%cos3x,

*.yf—(sin2x)‘cos3x+sin2x(cos3x)'=2cos2xcos3x-3sin2xsin3x.

答案：2cos2ACOS3%—3sin2xsin3x

6.已知F(x)=e""sinnx,求f(x)及「自.

解：・."(x)=e”'sinnx,

:・f(%)=ne"'sinnx+encosnx=ne"x(sinnx+cosnx).

f

(3="e/sinf+coS^=ne\

对点练三复合函数导数的综合问题

7.设曲线y=ax—ln(x+l)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()

A.0B.1

C.2D.3

解析：选D令y=ax—ln(x+l),则/(x)=a一/7所以f(0)=0,且(0)=2.

联立解得a=3.

8.曲线尸ln(2x—1)上的点到直线2x—y+3=0的最短距离是()

A.4B.2乖

C.3邓D.0

解析：选A设曲线y=ln(2x—1)在点(刖，㈤处的切线与直线2x—y+3=0平行.

,2

2

.=照=2的一]=2,解得照=1，

/.y0=ln(2—1)=0,即切点坐标为(1,0).

・•・切点(1,0)到直线2x—y+3=0的距离为〃=与毕匚=乖，

y/4+l

即曲线y=ln(2x—1)上的点到直线2x—y+3=0的最短距离是乖.

9.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种

现象称为衰变.假设在放射性同位素葩137的衰变过程中，其含量加单位：太贝克)与时间

寅单位：年)满足函数关系：其中筋为t=0时的137的含量.已知t=30

JU

时，钠137含量的变化率是一101n2(太贝克/年)，则/60)=()

A.5太贝克B.751n2太贝克

C.1501n2太贝克D.150太贝克

1--

解析：选D〃(t)=—In2X,tt230,

JU

1——30

由"(30)=—而In2XM230=-10In2,

解得跳=600,

所以欣。=600X2方，

601

--1

所以f=60时，钠137的含量为,"(60)=600X23。=600