分类讨论思想在中学数学解题中的应用（论文）

分类讨论思想在中学数学解题中的应用摘要：分类讨论思想是一种重要的数学思想，它是教学的难点，也是许多教师都在研究的课题，目前被广泛应用于中学数学的解题中。本文主要探讨了分类讨论思想在初中数学教学中应用，主要包括分类讨论思想在方程问题、应用问题、导数问题、集合问题、数列问题、几何问题的应用。运用分类讨论思想解决具体事例，把研究的对象进行分解，将复杂的问题简单化。关键词：分类讨论思想;中学数学;解题.引言：分类讨论思想是中学数学一种重要的解题思想，通过学习新课程改革和分析历年的中高考数学试题不难发现分类讨论思想是考察的常客，其重要程度不言而喻。分类讨论思想属于思维范畴，俗话说得好：授人以鱼不如授人以渔，只有认真学习和研读分类讨论思想，并应用于实践，方能学有所长，成为自己的东西。在以后的学习解题中才能得心应手。本文主要探讨了分类讨论思想在不同题目中的应用。一.分类讨论思想概述1．分类讨论的定义

分类讨论思想是指在解决问题时，研究对象存在多种情况，不能进行统一研究时，这时就需要对研究对象按照某个标准进行适当的归类划分，然后根据分类的情况逐类讨论汇总，得出问题的最终答案。2．分类讨论的类型为a（1）概念型。根据定义、性质、定理、法则进行分类的。比如：a的定义0，a0，a0三种情况。（2）条件型。根据研究的问题中所涉及的一些变量，需要对变量进行讨论的。比如求等比数列前项和时，要分公比q1和q¹1两种情况进行讨论。（3）含未知参数型。比如解方程ax2-4x=0时，要分类讨论a>0.a=0.a<0时的情况。3．分类讨论的解题步骤

（1）首先确定研究对象，即对问题中哪个变量进行讨论；

（2）其次，选择合合理的方法对所研究对象进行分类，做到不重不漏；（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；（4）归纳汇总，分类讨论各种结果归纳总结。4．分类讨论思想的基本原则

在分类讨论的思想中，最为关键的是如何合理地对所研究的问题进行分类。一般来说，要进行合理地分类就要遵守以下几条基本原则：

（1）同一性原则

在对问题进行分类时可能有几种分法，但是无论采取哪一种分法，每次分类时都应该按照同一标准进行分类不能混合进行分类。例如在对实数进行分类时，我们可以按照实数的范围，不能交叉并行，例如：正实数，有理数，无理数，零，这种分法就是采用了混合的分法，不仅没能对问题进行正确的分类，还把问题变得复杂难以解决了。（2）互斥性原则

互斥性原则，就是在对问题分类时，各部分集合元素不能重复，每个集合部分都应该是不相容的，例如在对实数分类时，有理数,整数，因为整数属于有理数，所以造成了重复。（3）相称性原则

在分类后要确保分类前的集合中的元素等于分类后的集合元素，不能出现遗漏，例如把实数分为正实数和负实数。这就忽略了零，造成了遗漏。（4）层次性原则

对于所研究的问题的不同有时要对问题进行一次分类。但有时也可能进行第二次分类讨论。5分类讨论思想在数学解题的重要作用

从往年的中高考题可以看出，分类讨论思想是一个重要考察的知识点，而且分类讨论的问题往往综合性比较强，考察学生多方面的知识，有利于提升学生的思维方式。另外，学生在运用分类讨论的思想，能够积极的参与数学活动的教学过程中去，通过团结合作，积极交流，独立思考，逐步积累数学知识，提高学习兴趣。让学生感受到学习数学的无穷乐趣，以及数学这门学科的无穷的魅力，从而在促进初中数学教学优化与升级的同时，高校推进教育改革的完美转型。二.分类讨论思想的应用1.分类讨论思想在方程和不等式中的应用

在解复杂方程时通常要用到分类讨论思想，方程中若是含有绝对值或是未知参数，这时就要分类问题，分组讨论，可以把复杂的问题变得简单，明了。例1已知关于x的一元二次方程(a-3)xa-1+x2-3=0，求a的值。0；(2)解：(1)当a130或3x232时，a3或-1，此时方程为：x2当a11时，a2或0，此时方程为：x2x30或x2x30；(3)当a10时，a1，此时方程为：x250。综上所述，a的值为-1,0,1,2或3。例2求函数yk1x2kx1与x轴的交点坐标。解:（1）当k1时，此函数是一次函数yx1，与x轴的交点坐标为（2）当k1时，此函数为二次函数，4(k)1k2，而二次函数的图像与x轴的交点个数与的符号有关，因而要分0，0两种情况进行讨论。若D>0，即k¹2时，有两个交点、

k110,。若0，即k2时，有一个交点。例3设函数fx()=x2+-a+xÎR.(1)判断函数fx()的奇偶性；（2）求函数fx()的最小值.解：（1）当a=0时，函数f(x)(x)2x1f(x)，即函数f(x)为偶函数.当a0时，f(a)a21，f(a)a22a.1f(a)f(a)，f(a)f(a)即函数f(x)为非奇非偶函数。（2）①当xa时，函数f(x)x2xa1(x1)2a3.24若a1，则函数f(x)在，上单调递减。从而函数f(x)在，上的最2小值为f(a)a21;若a1,则函数f(x)在,a上的最小值为f(1)3a且f(1)f(a)；2242②当xa时，函数f(x)x2xa1(x1)2a3.24若a1，则函数f(x)在,a上的最小值为f(1)3a，且224f(1)f(a)；2若a1，则函数f（x）在,a上单调递减。从而函数f(x)在a上的2最小值为f(a)a21。综上，当a1时，函数f(x)的最小值为3-a；当-1a1时，函数f()2422的最小值为a21；当a1时，函数f(x)的最小值为a3。24（x例4解不等式4a）x6a)0（a为常数，a1）.2a12解：当a10时，则a1；当46a时，则a0.因此可以分以下2四种情况进行讨论：（1）当a0时，x4ax6a)0,解得：x4a或x6a；（2）当a0时，x20,解得：x0；（3）当-1a0时，x4ax6a)0解得：x6a或x4a；2（4）当a1时，（x4a）x6a)0,解得：6ax4a。2a0综上所述，当a0时，x4a或x6a；当a0时，x0；当-12时，x6a或x4a;当a1,6ax4a。22．分类讨论思想在应用问题中的讨论在实际生活中，对于一些实际的问题，通常要用分类讨论的思想进行讨论，从而对于不同的情况进行单独的讨论，从而使问题得以解决。例5某家具生产厂家生产一种木床和木柜，已知木床每件定价200元，木柜每件定价40元。在今年的国庆节期间，厂家向顾客提供两种优惠方案。方案一：买一件木床送一件木柜；方案二：木床和木柜均按定价的90%出售（两种优惠方案不可同时采用）。一家家具商店老板要到该家具厂购买木床20件和木柜若干件（超过20条），请你帮助商店老板想出一种比较优惠点的方案。解：设商店老板需要购买木柜x条，则按方案一购买，应付款2002040x20=403200（元），按方案二购买，应付款2002040x9.0=363600（元）.设y40x320036x3600=4400（元）,（1）当y0时,4x4000,即20x100,方案一比方案二省钱；（2）当y0时，4x4000，即x100，方案一与方案二同样省钱；（3）当y0时，4400，即x100，方案二比方案一省钱。综上所述，如果购买木柜超过20条但不高于100条时，方案一是较为明智、经济的选择；如果购买木柜正好为100条时，这两种方案经济效果是一致的；如果购买木柜超过100条时，选择方案二省钱。3．分类讨论思想在导数中的应用例6已知函数fm1x2lnx,mR,讨论函数f的单调性。解：函数的定义域为x0，且mx22xmf(x)＝x2 .（1）当m0时，f(x)>0对x,0恒成立，所以f(x)在（0，＋）上单调增。（2）当m0时，若m1，fx)0对x,0恒成立，所以f(x)在（0，＋）上单调递减；若-1m0,由f(x)=0得m2f(x)在x1,x2上单调递x111m2，x211xx上单调递减，又由x1x20,可知fx()在0，x1与2x,增。综上所述，当m0时， f(x)在（0，＋）上单调递增；当m1时， f(x)在（0，＋）上单调递减；当-1m0时，f在0，x1与2x,上单调递减，f在x1,x2上单调递增。例7设函数flnxax2.（1)若f(x)的极值点是x1，则a的值是多少，并讨论f(x)在其定义域内上的单调性。（2）若f(x)存在极值，那么a的取值范围是什么，并证明f(x)所有极值之和大于lne

2fx)12x，f)10,故解:(1)xaa3.2从而fx)2x2x3x1(2x1)(x)1,f(x)的定义域为-3，.3x3222当-3x-1时.fx)0；当-1x-1时,fx)0;当x-1时，222fx)0.从而f(x)分别在区间-3，1，-1，上单调递增，在区间

-,112上单调递22减。f(x)的定义域为-a,，fx)2x22ax1。方程2x2ax10（2）xa的判别式4x28。（i）若0,即-2a2,在f的定义域内fx)0,故f(x)无极值.(ii)若0，则a2或a2.若a2时，x(2,)，fx)2x1，当x2时，fx)0x22当x

- 22，2

2,

时，fx)0.所以f(x)无极值。若a2，2x(2,).fx)(2x)120,f(x)也无极值。x2(iii)若0,即a2或a2.则2x2ax10有两个不同的实数根x1aa22，x2aa22，22当a2时，x1a，x2a.从而f(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由极值的判别方法知f(x)在x1x，x2x处取得极值。综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为2，.f(x)的极值之和为：f(x1)f(x)ln(x1a)x12ln(x2a)x22ln1a211ln2lne。2224．分类讨论思想在集合中的应用集合中的元素含有参数时，要对参数讨论。此外还要注意空集的可能。例8已知集合A={1,3, m},B={1,m},ABA,则m=（ ）。A.0或 3 B.0或3C.1或 3 D.1或3解：由ABA得B A，即有m= m或m=3，即m=3或m=1或m=0.又因为集合元素的互异性可知m1，因此选B.例9已知集合M={xx=1}，集合N={xax=1}，若NËM,那么a的值为（）。A.1B.-1C.1或-1D.0,1或-1解：由已知条件NËM,则有N=F或N¹F两种情况：当N=F时，方程ax1无解，此时a0；当N¹F时，此时a¹0,则有ax1,即N=ìxx=1üaý

þ=ìí

î1ü。若1a1íîaý

þ，则a1;若11，则a1.故选择D.a5.分类讨论思想在数列中的应用数列中有两类分类讨论的问题，即对公比q是否等于1、公差d是否等于0的讨论，这是非常重要而且比较常见的，往往又是比较容易忽略的。例10已知等差数列{}，首项a¹10，它的前n项和为s，求limnan的值。nn®¥sn解：在等差数列{}中，设公差为d.当d=0时，na=a1，ns=na1，故limn®¥nan=1；sn，所以当d¹0，na=a1+(n-1)d，sn=na1nn-+21)dlim

x®¥nan=limx®¥na1+nn-1)d=2.snna1+1(nn2-1)d所以lim

x®¥nanì=íî1,d=0,sn2,d¹0.n1ann1(2)2nnN*,其中0.例11在数列n 中,a12a求数列n 的前n项和ns.解：由an1n1(2)2nnN*,0,可得an1(2)n1an(2)n1,n1n故

ann2n

为等差数列，它的公差为1，首项为0，可知an næö=-，lnçèøl ÷-1所以数列n 的通项公式为ann1n2n。设Tn22334........n2n1n1n，①Tn32435.......n2nn1n1，②当1时，由①-②得：（1）Tn23......nn1n12n1n1n1，1所以Tn2n1n1n1n1n2nn121从而数列n 的前n项和snn1n2nn12.当1时，Tnnn1。这时数列2snnn12n12。2n 的前n项和为：6．分类讨论思想在几何中的应用在圆锥曲线问题中常常会有直线到曲线的距离等问题时，这时就要分类讨论斜率是否存在。还有关于动点的问题，由于动点的位置不确定，这时就需要引入参量，所以要对参量进行分类讨论，以确定不同情况的轨迹方程。例12已知圆x2y24，求经过点，且与圆相切的直线方程。解：（1）当斜率存在时，设切线的点斜式方程为：y4k(x2)。即：kxy2k40.因为直线与圆相切，所以2k42，解得k3。所以直线k214方程为3xy100。（2）当斜率不存在时，直线方程为：x2.此时直线方程为：x2时，直线与圆相切。综上所述，所求的直线方程为：3xy100或x2。例13设动点Aa(,)(a>0)和直线l:x1,点B是直线上的动点，ÐBOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。解：根据题意，记B1，b,bR,则直线OA与OB的方程分别为y0和ybx.设点C(x,y),则有0xa，由OC平分∠AOB，可知点C到OAOB距离相等，根据点到直线的距离公式得：yybx，①，得：1b2依据题意知点C在直线AB上，故有：yba(xa)，由xa01b1(a)y.②xa将②式代入①式得：y21(a)x22ax