2022-2023学年新疆高考数学三模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）A． B．C． D．2．设等比数列的前项和为，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知，，分别是三个内角，，的对边，，则（）A． B． C． D．4．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则（）A．170 B．10 C．172 D．125．已知集合，集合，那么等于（）A． B． C． D．6．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）A．甲的数据分析素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C．乙的六大素养中逻辑推理最差D．乙的六大素养整体平均水平优于甲7．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（）A． B． C． D．8．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（）A． B． C． D．9．已知是函数图象上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（）A． B． C．0 D．10．的内角的对边分别为，若，则内角（）A． B． C． D．11．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．12．已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是__________元.14．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_________，该几何体的表面积为_________．15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．16．已知集合，其中，.且，则集合中所有元素的和为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知椭圆经过点，且离心率，过右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右顶点为，线段的中点为，记直线的斜率分别为，求证：为定值.18．（12分）如图，正方体的棱长为2，为棱的中点.（1）面出过点且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求与该平面所成角的正弦值.19．（12分）已知函数．(Ⅰ)求函数的极值；(Ⅱ)若,且,求证：．20．（12分）有最大值，且最大值大于.（1）求的取值范围；（2）当时，有两个零点，证明：.(参考数据：)21．（12分）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线和直线的极坐标方程分别是（）和（），其中（）.（1）写出曲线的直角坐标方程；（2）设直线和直线分别与曲线交于除极点的另外点，，求的面积最小值.22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）在曲线上取一点，直线绕原点逆时针旋转，交曲线于点，求的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

设坐标，根据向量坐标运算表示出，从而可利用表示出；由坐标运算表示出，代入整理可得所求的轨迹方程.【详解】设，，其中，，即关于轴对称故选：【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.2、C【解析】

根据等比数列的前项和公式，判断出正确选项.【详解】由于数列是等比数列，所以，由于，所以，故“”是“”的充分必要条件.故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前项和公式，属于基础题.3、C【解析】

原式由正弦定理化简得，由于，可求的值.【详解】解：由及正弦定理得.因为，所以代入上式化简得.由于，所以.又，故.故选：C.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.4、D【解析】

中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.【详解】由茎叶图知，甲的中位数为，故；乙的平均数为，解得，所以.故选：D.【点睛】本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.5、A【解析】

求出集合，然后进行并集的运算即可.【详解】∵，，∴.故选：A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.6、D【解析】

根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.【详解】对于A选项，甲的数据分析分，乙的数据分析分，甲低于乙，故A选项错误.对于B选项，甲的建模素养分，乙的建模素养分，甲低于乙，故B选项错误.对于C选项，乙的六大素养中，逻辑推理分，不是最差，故C选项错误.对于D选项，甲的总得分分，乙的总得分分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D选项正确.故选：D【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.7、D【解析】

由题知，又，代入计算可得.【详解】由题知，又.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.8、D【解析】

由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积．【详解】如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即＝60°，由底面边长为3得，∴．正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为，则由得，解得，∴．故选：D．【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．9、C【解析】

先画出函数图像和圆，可知，若设，则，所以，而要求的最小值，只要取得最大值，若设圆的圆心为，则，所以只要取得最小值，若设，则，然后构造函数，利用导数求其最小值即可.【详解】记圆的圆心为，设，则，设，记，则，令，因为在上单调递增，且，所以当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以（当时等号成立）.故选：C【点睛】此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.10、C【解析】

由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得．【详解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．11、B【解析】

由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积．【详解】由题意原几何体是正三棱柱，．故选：B．【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．12、A【解析】

根据图象关于轴对称可知关于对称，从而得到在上单调递增且；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】为偶函数图象关于轴对称图象关于对称时，单调递减时，单调递增又且，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1元【解析】设分别生产甲乙两种产品为桶，桶，利润为元

则根据题意可得目标函数，作出可行域，如图所示作直线然后把直线向可行域平移，

由图象知当直线经过时，目标函数的截距最大，此时最大，

由可得，即此时最大，

即该公司每天生产的甲4桶，乙4桶，可获得最大利润，最大利润为1．【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值，根据条件建立不等式关系，以及利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．14、；【解析】试题分析：如图：此几何体是四棱锥，底面是边长为的正方形，平面平面，并且，，所以体积是，解得，四个侧面都是直角三角形，所以计算出边长，表面积是考点：1．三视图；2．几何体的表面积．15、丙【解析】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．考点：反证法在推理中的应用.16、2889【解析】

先计算集合中最小的数为，最大的数，可得，求和即得解.【详解】当时，集合中最小数；当时，得到集合中最大的数；故答案为：2889【点睛】本题考查了数列与集合综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）详见解析.【解析】

（1）由椭圆离心率、系数关系和已知点坐标构建方程组，求得，代入标准方程中即可；（2）依题意，直线的斜率存在，且不为0，设其为，则直线的方程为，设，，通过联立直线方程与椭圆方程化简整理和中点的坐标表示用含k的表达式表示，，进而表示；由韦达定理表示根与系数的关系进而表示用含k的表达式表示，最后做比即得证.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，即，所以.依题意，，即，解得，所以，.所以椭圆的标准方程为.（2）证明：依题意，直线的斜率存在，且不为0，设其为，则直线的方程为，设，.与椭圆联立整理得，故所以，，所以.又，所以为定值，得证.【点睛】本题考查由离心率求椭圆的标准方程，还考查了椭圆中的定值问题，属于较难题.18、（1）见解析（2）.【解析】

（1）与平面垂直，过点作与平面平行的平面即可（2）建立空间直角坐标系求线面角正弦值【详解】解：（1）截面如下图所示：其中，，，，分别为边，，，，的中点，则垂直于平面.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.设平面的一个法向量为，则.不妨取，则，所以与该平面所成角的正弦值为.（若将作为该平面法向量，需证明与该平面垂直）【点睛】考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题.19、(Ⅰ)极大值为：，无极小值；(Ⅱ)见解析.【解析】

(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数的极值；(Ⅱ)得到,根据函数的单调性问题转化为证明，即证,令，根据函数的单调性证明即可．【详解】(Ⅰ)的定义域为且令，得；令，得在上单调递增，在上单调递减函数的极大值为，无极小值(Ⅱ)，，即由(Ⅰ)知在上单调递增，在上单调递减且，则要证，即证，即证，即证即证由于，即，即证令则恒成立在递增在恒成立【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，考查运算求解能力及化归与转化思想，关键是能够构造出合适的函数，将问题转化为函数最值的求解问题，属于难题．20、（1）；（2）证明见解析.【解析】

（1）求出函数的定义域为，，分和两种情况讨论，分析函数的单调性，求出函数的最大值，即可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围；（2）利用导数分析出函数在上递增，在上递减，可得出，由，构造函数，证明出，进而得出，再由函数在区间上的单调性可证得结论.【详解】（1）函数的定义域为，且.当时，对任意的，，此时函数在上为增函数，函数为最大值；当时，令，得.当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即，解得.综上所述，实数的取值范围是；（2）当时，，定义域为，，当时，；当时，.所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.由于函数有两个零点、且，，，构造函数，其中，，令，，当时，，所以，函数在区间上单调递减，则，则.所以，函数在区间上单调递减，，，即，即，，且，而函数在上为减函数，所以，，因此，.【点睛】本题考查利用函数的最值求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，利用所证不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于难题.21、（1）；（2）16.【解析】

（1）将极坐标方程化为直角坐标方程即可；（2）利用极径的几何意义，联立曲线，直线，直线的极坐标方程，得出，利用三角形面积公式，结合正弦函数的性质，得出的面积最小值.【详解】（1）曲线：，即化为直角坐标方程为：；（2），即同理∴当