数列求和的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧第1页，共68页，2023年，2月20日，星期六数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面谈谈数列求和的基本方法和技巧.第2页，共68页，2023年，2月20日，星期六一.公式法：①等差数列的前n项和公式：②等比数列的前n项和公式③④⑤第3页，共68页，2023年，2月20日，星期六例1：求和：第4页，共68页，2023年，2月20日，星期六[例1]

已知

，求

的前n项和由等比数列求和公式得第5页，共68页，2023年，2月20日，星期六错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.既{anbn}型等差等比第6页，共68页，2023年，2月20日，星期六2．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.【错位相减法】设{an}的前n项和为Sn，an＝n·2n，则Sn＝第7页，共68页，2023年，2月20日，星期六[例4]

求数列

前n项的和解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设

…………………①………………②

（设制错位）①－②得∴第8页，共68页，2023年，2月20日，星期六2023/4/219已知数列第9页，共68页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2110解：第一步，写出该数列求和的展开等式第二步，上式左右两边乘以等比数列公比第10页，共68页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2111第三步，两式进行错位相减得：化简整理得:第11页，共68页，2023年，2月20日，星期六解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积设………②

（设制错位）①－②得

（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：

∴

[例3]求和：

………①第12页，共68页，2023年，2月20日，星期六

2.设数列满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求数列的通项；(2)设bn＝，求数列的前n项和Sn.变式探究第13页，共68页，2023年，2月20日，星期六

2．设数列满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求数列的通项；(2)设bn＝，求数列的前n项和Sn.解析：(1)a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①第14页，共68页，2023年，2月20日，星期六(2)bn＝n·3n，Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1两式相减，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，第15页，共68页，2023年，2月20日，星期六第16页，共68页，2023年，2月20日，星期六第17页，共68页，2023年，2月20日，星期六(12分)(2010·四川高考)已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.第18页，共68页，2023年，2月20日，星期六第19页，共68页，2023年，2月20日，星期六3．(2012·“江南十校”联考)在等比数列{an}中，a1>0，

n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中项为16.(1)求数列{an}的通项公式；第20页，共68页，2023年，2月20日，星期六解：(1)设数列{an}的公比为q，由题意可得a3＝16，∵a3－a2＝8，则a2＝8，∴q＝2.∴an＝2n＋1.第21页，共68页，2023年，2月20日，星期六第22页，共68页，2023年，2月20日，星期六2023/4/21231、2、已知数列求该数列的前n项和。第23页，共68页，2023年，2月20日，星期六四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.第24页，共68页，2023年，2月20日，星期六

cn=an+bn({an}、{bn}为等差或等比数列。）项的特征反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差{n}＋一个等比{2n}，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题.分组求和法第25页，共68页，2023年，2月20日，星期六

,

+

n

11.求数列

+

2

3

,

+的前n项和。

,

2

2

2

,

3

2

n

2

+

1

2

3

n解：

=(1+2+3+…+n)

Sn=(1+2)+(2+)+(3+)+…+(ｎ+

)

2

2

3

2

ｎ

2

+(2+2+2+…+2)n23=n(n+1)22(2-1)2-1n+=n(n+1)2+2-2n+1…分组求和法第26页，共68页，2023年，2月20日，星期六例5.求下面数列的前n项和

第27页，共68页，2023年，2月20日，星期六解（1）：该数列的通项公式为

第28页，共68页，2023年，2月20日，星期六[例7]

求数列的前n项和：，…

解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）

当a＝1时，＝（分组求和）

当时，＝第29页，共68页，2023年，2月20日，星期六n个第30页，共68页，2023年，2月20日，星期六[例8]

求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设∴＝将其每一项拆开再重新组合得Sn＝（分组）

第31页，共68页，2023年，2月20日，星期六2求数列1,3＋4,5＋6＋7,7＋8＋9＋10，…，前n项和Sn.2∵ak＝(2k－1)＋2k＋(2k＋1)＋…＋[(2k－1)＋(k－1)]∴Sn＝a1＋a2＋…＋an点评：运用分组求和法数列前n项和公式时，要注意先考虑通项公式．解析第32页，共68页，2023年，2月20日，星期六例6：1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？局部重组转化为常见数列并项求和第33页，共68页，2023年，2月20日，星期六练习：已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）=20=-21第34页，共68页，2023年，2月20日，星期六五.相间两项成等差等比综合第35页，共68页，2023年，2月20日，星期六第36页，共68页，2023年，2月20日，星期六∴{an}是等差数列，an=1+(n-1)=n1.若a1=1,且an+am=an+m(n,m∈N*),则an=_______解:n=m=1时，a2

=a1+a1=2,得a1=1,a2=2m=1时,由an+am=an+m得an+1=an+1，即an+1-an=1n2.若b1=2，且bmbn=bm+n，则bn=_____________解：n=m=1时，b2=b1·b1=4,即b1=2，b2=4，m=1时,由bnbm=bn+m得bn+1=bn·

b1=2bn，故{bn}是首项为b1=2，公比为q=2的等比数列，bn=2·2n-1=2n

2n

练习第37页，共68页，2023年，2月20日，星期六列项求和法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法联想）第38页，共68页，2023年，2月20日，星期六求数列前n项和方法之一：裂项相消法第39页，共68页，2023年，2月20日，星期六1．特别是对于，其中是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用(其中d＝an＋1－an)．第40页，共68页，2023年，2月20日，星期六常见的拆项公式有：第41页，共68页，2023年，2月20日，星期六常见的裂项公式有：第42页，共68页，2023年，2月20日，星期六练习：求和裂项法求和提示：∴第43页，共68页，2023年，2月20日，星期六第44页，共68页，2023年，2月20日，星期六[例9]]

在数列{an}中，，又求数列{bn}的前n项的和

解：∵∴（裂项）

∴数列{bn}的前n项和＝＝第45页，共68页，2023年，2月20日，星期六第46页，共68页，2023年，2月20日，星期六第47页，共68页，2023年，2月20日，星期六第48页，共68页，2023年，2月20日，星期六七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.第49页，共68页，2023年，2月20日，星期六例7：已知数列5，55，555，5555，…求满足前4项条件的数列的通项公式及前n项和公式。练习：求和Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+

……+(1+2+22+……+2n-1)通项分析求和通项=2n-1第50页，共68页，2023年，2月20日，星期六先求通项再处理通项第51页，共68页，2023年，2月20日，星期六第52页，共68页，2023年，2月20日，星期六第53页，共68页，2023年，2月20日，星期六[例14]

求之和.解：由于（找通项及特征）

∴＝第54页，共68页，2023年，2月20日，星期六[例15]

已知数列{an}：的值.解：∵

（找通项及特征）

（设制分组）

（裂项）

∴（分组、裂项求和）

第