数学物理方法分式线性变换

数学物理方法分式线性变换第1页，共39页，2023年，2月20日，星期六导数f'(z0)的幅角Argf'(z0)是曲线经过w=f(z)映射后在z0处的转动角.w=f(z)Argf'(z0)导数f'(

z0)的模|f'(

z0)|是经过w=f(z)映射后通过z0的任何曲线在z0的伸缩率。Z平面w平面复变函数的导数的几何意义（伸缩系数与旋转角）第2页，共39页，2023年，2月20日，星期六导数不为零的解析变换属于保角变换第3页，共39页，2023年，2月20日，星期六1分式线性变换的定义函数称为分式线性变换,简记为第4页，共39页，2023年，2月20日，星期六52分式线性变换的分解可分解为下述简单类型变换的复合第5页，共39页，2023年，2月20日，星期六6(I)(II)型变换的几何性质旋转位似(伸缩)平移平移映射第6页，共39页，2023年，2月20日，星期六此变换可进一步分解为:关于单位圆周的对称变换;关于实轴的对称变换规定:无穷远点的对称点是圆心O.....第7页，共39页，2023年，2月20日，星期六83.分式线性变换的保圆周(圆)性对(I)显然将圆周(或直线)变为圆周(或直线).对(II)型:圆周(或直线)可表为它表示圆周或直线.第8页，共39页，2023年，2月20日，星期六9注在扩充z平面上,直线可视为过无穷远点的圆周.定理1.5.2关于圆周C的两个对称点，在分式线性变换下，它们的像点也是圆周C的像曲线的对称点.定理1.5.1

分式线性变换在扩充复平面上是一一对应，且具有保圆性的保角变换.注分式线性变换的保对称性.补充定义第9页，共39页，2023年，2月20日，星期六10定理1.5.3注三对对应点唯一确定一分式线性变换.证明先考虑已给各点都是有限点的情形,设所求分式线性函数是那么，由第10页，共39页，2023年，2月20日，星期六11得同理，有因此，有第11页，共39页，2023年，2月20日，星期六12

由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。那么，由同理有

由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。

其次，如果已给各点除外都是有限点。则所求分式线性函数有下列的形式：第12页，共39页，2023年，2月20日，星期六13例3求将分别变为的分式线性变换.解所求的分式线性变换为整理得即第13页，共39页，2023年，2月20日，星期六14.........第14页，共39页，2023年，2月20日，星期六15解例5求线性变换变为上半平面,使将圆盘第15页，共39页，2023年，2月20日，星期六16即整理后得第16页，共39页，2023年，2月20日，星期六17六线性变换的应用

由于线性变换具有共形性,保交比性,保圆(圆周)性和保对称点性,它在处理边界为圆弧或直线的区域变换中,起着重要的作用,下面介绍一些类型.例6第17页，共39页，2023年，2月20日，星期六18事实上,所述变换将实轴变为实轴,且当z为实数时即实轴变为实轴是同向的,或解第18页，共39页，2023年，2月20日，星期六19例7解故第19页，共39页，2023年，2月20日，星期六20即故解该方程组得故所的线性变换为第20页，共39页，2023年，2月20日，星期六21例8解由线线变换的保对称性,第21页，共39页，2023年，2月20日，星期六22因此这个变换应具有形式,故可令从而所求的变换为第22页，共39页，2023年，2月20日，星期六23注1确定变换(7.13)的k,只需再给一对边界对应点.注2第23页，共39页，2023年，2月20日，星期六24例9解因此所求变换具有形式第24页，共39页，2023年，2月20日，星期六25利用单位圆周变为单位圆周的条件知,因此令从而所求的变换为第25页，共39页，2023年，2月20日，星期六26注1确定变换(7.14)的k,只需再给一对边界对应点.注2第26页，共39页，2023年，2月20日，星期六作业

习题（P）1（1）（3）（5）；2第27页，共39页，2023年，2月20日，星期六28....2定理7.1证明第28页，共39页，2023年，2月20日，星期六29....第29页，共39页，2023年，2月20日，星期六303分式线性变换的保对称性定理7.12证明由分式线性变换的保角性,由定理7.11,第30页，共39页，2023年，2月20日，星期六31五分式线性变换的保对称性1定义7.5注证明“必要性”第31页，共39页，2023年，2月20日，星期六32则所以“充分性”第32页，共39页，2023年，2月20日，星期六33例10第33页，共39页，2023年，2月20日，星期六34解作线线变换复合上述两个变换得整理得第34页，共39页，2023年，2月20日，星期六35即由得从而所求的变换为第35页，共39页，2023年，2月20日，星期六36例11解(1)先作伸缩变换(2)再作平移变换第36页，共39页，2023年，2月20