数据分布特征的测度

数据分布特征的测度第1页，共81页，2023年，2月20日，星期六数据分布的特征集中趋势(位置)偏态和峰态（形状）离中趋势

(分散程度)第2页，共81页，2023年，2月20日，星期六数据分布特征的测度数据特征的测度分布的形状集中趋势离散程度众数中位数均值离散系数方差和标准差峰态四分位差异众比率偏态第3页，共81页，2023年，2月20日，星期六集中趋势

(Centraltendency)一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值不同类型的数据用不同的集中趋势测度值低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据第4页，共81页，2023年，2月20日，星期六第4章数据分布特征的测度§4.1

集中趋势的测度§4.2离散程度的测度§4.3偏态与峰态的测度第5页，共81页，2023年，2月20日，星期六§4.1集中趋势的测度一.分类数据：众数二.顺序数据：中位数和分位数三.数值型数据：均值四.众数、中位数和均值的比较第6页，共81页，2023年，2月20日，星期六分类数据：众数第7页，共81页，2023年，2月20日，星期六众数

(mode)出现次数最多的变量值不受极端值的影响一组数据可能没有众数或有几个众数主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据第8页，共81页，2023年，2月20日，星期六众数

(不唯一性)无众数

原始数据:10591268一个众数

原始数据:67

9877多于一个众数

原始数据:252828

31

36

3642第9页，共81页，2023年，2月20日，星期六分类数据的众数

(例题分析)不同品牌饮料的频数分布

饮料品牌频数比例百分比(%)可口可乐旭日升冰茶百事可乐汇源果汁露露15119690.300.220.180.120.183022181218合计501100解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值在所调查的50人中，购买可口可乐的人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即

Mo＝可口可乐第10页，共81页，2023年，2月20日，星期六顺序数据的众数

(例题分析)解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别”甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即

Mo＝不满意甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)百分比(%)

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意24108934530836311510合计300100.0返回第11页，共81页，2023年，2月20日，星期六顺序数据：中位数和分位数第12页，共81页，2023年，2月20日，星期六中位数

(median)排序后处于中间位置上的值Me50%50%不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即第13页，共81页，2023年，2月20日，星期六中位数

(位置的确定)原始数据：顺序数据：第14页，共81页，2023年，2月20日，星期六顺序数据的中位数

(例题分析)解：中位数的位置为300/2＝150

从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中。因此

Me=一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意2410893453024132225270300合计300—第15页，共81页，2023年，2月20日，星期六数值型数据的中位数

(9个数据的算例)【例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据:15007507801080850960200012501630排序:7507808509601080

1250150016302000位置:123456789中位数1080第16页，共81页，2023年，2月20日，星期六数值型数据的中位数

(10个数据的算例)【例】：10个家庭的人均月收入数据排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:12345

678910第17页，共81页，2023年，2月20日，星期六四分位数

(quartile)排序后处于25%和75%位置上的值不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据QLQMQU25%25%25%25%第18页，共81页，2023年，2月20日，星期六四分位数位置的确定

(原理：P81—P82)原始数据：顺序数据：第19页，共81页，2023年，2月20日，星期六顺序数据的四分位数

(例题分析)解：QL位置=(300)/4=75QU位置=(3×300)/4

=225

从累计频数看，QL在“不满意”这一组别中；QU在“一般”这一组别中。因此

QL

=不满意

QU

=一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意2410893453024132225270300合计300—第20页，共81页，2023年，2月20日，星期六数值型数据的四分位数

【例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据:15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:123456789第21页，共81页，2023年，2月20日，星期六数值型数据：均值第22页，共81页，2023年，2月20日，星期六均值

(mean)集中趋势的最常用测度值一组数据的均衡点所在体现了数据的必然性特征易受极端值的影响用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据第23页，共81页，2023年，2月20日，星期六简单均值与加权均值

(simplemean/weightedmean)设一组数据为：x1，x2，…，xn各组的组中值为：M1，M2，…，Mk

相应的频数为：f1，f2，…，fk简单均值加权均值第24页，共81页，2023年，2月20日，星期六已改至此！！某电脑公司销售量数据分组表按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)Mifi140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~24014515516517518519520521522523549162720171084558013952640472537003315205017209001175合计—12022200加权均值

(例题分析)第25页，共81页，2023年，2月20日，星期六加权均值

(权数对均值的影响)

甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下

甲组：

考试成绩（x）: 020100

人数分布（f）：118

乙组：考试成绩（x）: 020100

人数分布（f）：811第26页，共81页，2023年，2月20日，星期六均值

(重点：数学性质)1. 各变量值与均值的离差之和等于零

2.各变量值与均值的离差平方和最小第27页，共81页，2023年，2月20日，星期六调和平均数

(harmonicmean)均值的另一种表现形式易受极端值的影响计算公式为第28页，共81页，2023年，2月20日，星期六调和平均数

(例题分析)【例】某集贸市场白菜的价格，早市每斤1元，午市每斤0.95元，晚市每斤0.8元，若早中晚各买一元钱，其平均价格多少元？【例】如早中晚各买3元、2元、1元，则其平均价格为多少元？第29页，共81页，2023年，2月20日，星期六几何平均数

(geometricmean)

n个变量值乘积的

n次方根适用于对比率数据的平均主要用于计算平均增长率计算公式为5.可看作是均值的一种变形第30页，共81页，2023年，2月20日，星期六几何平均数

(例题分析)

【例】某水泥生产企业2007年的水泥产量为100万吨，2008年与2007年相比增长率为9%，2009年与2008年相比增长率为16%，2010年与2009年相比增长率为20%。求各年的年平均增长率。年平均增长率＝114.91%-1=14.91%第31页，共81页，2023年，2月20日，星期六几何平均数

(例题分析)

【例】一位投资者购持有一种股票，在2007、2008、2009和2010年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率算术平均：

几何平均：返回第32页，共81页，2023年，2月20日，星期六众数、中位数和均值的比较第33页，共81页，2023年，2月20日，星期六众数、中位数和均值的关系左偏分布均值

中位数

众数对称分布

均值=中位数=

众数右偏分布众数

中位数均值第34页，共81页，2023年，2月20日，星期六众数、中位数和均值的特点和应用众数不受极端值影响具有不唯一性数据分布偏斜程度较大时应用中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用均值易受极端值影响数学性质优良数据对称分布或接近对称分布时应用第35页，共81页，2023年，2月20日，星期六数据类型与集中趋势测度值数据类型和所适用的集中趋势测度值数据类型分类数据顺序数据间隔数据比率数据适用的测度值※众数※中位数※均值※均值—四分位数众数调和平均数—众数中位数几何平均数——四分位数中位数———四分位数———众数返回第36页，共81页，2023年，2月20日，星期六§4.2离散程度的度量分类数据：异众比率顺序数据：四分位差数值型数据：方差及标准差相对位置的测量：标准分数相对离散程度：离散系数第37页，共81页，2023年，2月20日，星期六数据的特征和度量

(本节位置)数据的特征和测度分布的形状离散程度集中趋势众数中位数均值离散系数方差和标准差峰度四分位差异众比率偏态第38页，共81页，2023年，2月20日，星期六离中趋势数据分布的另一个重要特征反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度不同类型的数据有不同的离散程度测度值第39页，共81页，2023年，2月20日，星期六分类数据：异众比率第40页，共81页，2023年，2月20日，星期六异众比率

(variationratio)1. 对分类数据离散程度的测度2. 非众数组的频数占总频数的比率3. 计算公式为

4.用于衡量众数的代表性第41页，共81页，2023年，2月20日，星期六异众比率

(例题分析)解：

在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好不同品牌饮料的频数分布

饮料品牌频数比例百分比(%)

可口可乐旭日升冰茶百事可乐汇源果汁露露15119690.300.220.180.120.183022181218合计501100第42页，共81页，2023年，2月20日，星期六顺序数据：四分位差第43页，共81页，2023年，2月20日，星期六四分位差

(quartiledeviation)对顺序数据离散程度的测度也称为内距或四分间距上四分位数与下四分位数之差

QD

=QU–QL反映了中间50%数据的离散程度不受极端值的影响用于衡量中位数的代表性第44页，共81页，2023年，2月20日，星期六四分位差

(例题分析)解：设非常不满意为1,不满意为2,一般为3,满意为4,非常满意为5

已知

QL=不满意=2

QU=

一般=

3四分位差：

QD

=QU

=

QL

=3–2

=1甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意2410893453024132225270300合计300—第45页，共81页，2023年，2月20日，星期六数值型数据：方差和标准差第46页，共81页，2023年，2月20日，星期六极差

(range)一组数据的最大值与最小值之差离散程度的最简单测度值易受极端值影响未考虑数据的分布7891078910

R

=max(xi)-min(xi)计算公式为第47页，共81页，2023年，2月20日，星期六平均差

(meandeviation)各变量值与其均值离差绝对值的平均数能全面反映一组数据的离散程度数学性质较差，实际中应用较少计算公式为未分组数据组距分组数据第48页，共81页，2023年，2月20日，星期六平均差

(例题分析)某电脑公司销售量数据平均差计算表按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)140—150150—160160—170170—180180—190190—200200—210210—220220—230230—24014515516517518519520521522523549162720171084540302010010203040501602703202700170200240160250合计—120—2040第49页，共81页，2023年，2月20日，星期六平均差

(例题分析)

含义：每一天的销售量平均数相比，平均相差17台第50页，共81页，2023年，2月20日，星期六方差和标准差

(varianceandstandarddeviation)数据离散程度的最常用测度值反映了各变量值与均值的平均差异根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差4681012x=8.3第51页，共81页，2023年，2月20日，星期六样本方差和标准差

(simplevarianceandstandarddeviation)未分组数据：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式标准差的计算公式注意：样本方差用自由度n-1去除!第52页，共81页，2023年，2月20日，星期六样本方差

自由度(degreeoffreedom)一组数据中可以自由取值的数据的个数当样本数据的个数为

n

时，若样本均值x

确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则

x

=5。当

x

=5

确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差s2去估计总体方差σ2时，s2是σ2的无偏估计量第53页，共81页，2023年，2月20日，星期六样本标准差

(例题分析)某电脑公司销售量数据平均差计算表按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)140—150150—160160—170170—180180—190190—200200—210210—220220—230230—24014515516517518519520521522523549162720171084540302010010203040501602703202700170200240160250合计—120—55400第54页，共81页，2023年，2月20日，星期六样本标准差

(例题分析)

含义：每一天的销售量与平均数相比，平均相差21.58台第55页，共81页，2023年，2月20日，星期六相对位置的测量：标准分数第56页，共81页，2023年，2月20日，星期六标准分数

(standardscore)1.也称标准化值2. 对某一个值在一组数据中相对位置的度量3. 可用于判断一组数据是否有离群点4. 用于对变量的标准化处理5.计算公式为第57页，共81页，2023年，2月20日，星期六标准分数

(性质)均值等于02. 方差等于1第58页，共81页，2023年，2月20日，星期六标准分数

(性质)

z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在改组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0，标准差为1。

第59页，共81页，2023年，2月20日，星期六标准化值

(例题分析)9个家庭人均月收入标准化值计算表家庭编号人均月收入（元）标准化值z

123456789150075078010808509602000125016300.695-1.042-0.973-0.278-0.811-0.5561.8530.1160.996第60页，共81页，2023年，2月20日，星期六经验法则经验法则表明：当一组数据对称分布时约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内第61页，共81页，2023年，2月20日，星期六相对离散程度：离散系数第62页，共81页，2023年，2月20日，星期六离散系数

(coefficientofvariation)1. 标准差与其相应的均值之比对数据相对离散程度的测度消除了数据水平高低和计量单位的影响4. 用于对不同组别数据离散程度的比较5.计算公式为第63页，共81页，2023年，2月20日，星期六离散系数

(例题分析)某管理局所属8家企业的产品销售数据企业编号产品销售额（万元）x1销售利润（万元）x21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0【例】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度第64页，共81页，2023年，2月20日，星期六离散系数

(例题分析)结论：计算结果表明，v1<v2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度v1=536.25309.19=0.577v2=32.521523.09=0.710第65页，共81页，2023年，2月20日，星期六数据类型与离散程度测度值数据类型和所适用的离散程度测度值数据类型分类数据顺序数据数值型数据适用的测度值※异众比率※四分位差

※方差或标准差—异众比率

※离散系数（比较时用）——平均差——极差——四分位差——异众比率第66页，共81页，2023年，2月20日，星期六§4.3偏态与峰态的测度一.偏态及其测度二.峰态及其测度第67页，共81页，2023年，2月20日，星期六数据的特征和测度

(本节位置)数据的特征和测度分布的形状离散程度众数中位数均值离散系数方差和标准差峰度四分位差异众比率偏态集中趋势第68页，共81页，2023年，2月20日，星期六偏态与峰态分布的形状扁平分布尖峰分布偏态峰态左偏分布右偏分布与标准正态分布比较！第69页，共81页，2023年，2月20日，星期六偏态第70页，共81页，2023年，2月20日，星期六偏态

(skewness)统计学家Pearson于1895年首次提出数据分布偏斜程度的测度2. 偏态系数=0为对称分布3. 偏态系数>0为右偏分布4. 偏态系数<0为左偏分布第71页，共81页，2023年，2月20日，星期六偏态系数

(skewnesscoefficient)根据原始数据计算根据分组数据计算第72页，共81页，2023年，2月20日，星期六偏态系数

(例题分析)

某电脑公司销售量偏态及峰度计算表按销售量份组(台)组中值(Mi)频数

fi140—150150—160160—170170—180180—190190—200200—210210—220220—230230—24014